2021年常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 积分因子充要条件是（ ）。

有只
含
y 积分因子充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若
12(),(),
,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程n 个解，则它们线性无关充要条件是
__________________________。

５、形如___________________方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和
()t ψ都是
'()x A t x
=基解矩阵，则
()
t φ和
()
t ψ具备关系是
_____________________________。

７、当方程特性根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定，相应奇点称为___________。

二、计算题（６０％）
1、
3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-
３、若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt
４、
32(
)480dy dy
xy y dx dx -+=
５、求方程2
dy
x y dx =+通过（0，0）第三次近似解
三、证明题（１０％）
１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案
一填空题
１、()M N
y x
x N ϕ∂∂-∂∂=
()
M N
y x
y M ϕ∂∂-∂∂=-
２、
2()()()dy
p x y Q x y R x dx =++
y y z =+
３、 ()()n
dy
p x y Q x y dx =+
(1)()(,)n p x dx
n u x y y e --⎰
=
４、
12[(),(),
,()]0n w x t x t x t ≠
５、
1
11
10n n n n n n n d y d
dy
x a a a y dx dx dx ---++++=
６、
()()t t C ψφ=
７、零 稳定中心 二计算题
１、解：由于
1,1M N
y x
∂∂==-∂∂，因此此方程不是恰当方程，方程有积分因子
2
2
ln 21
()dy
y
y y e
e y
μ--⎰===，两边同乘2
1y 得3
20dx x y dy y y +-=
因此解为 32
1x x y y dx dy c y y y
⎡
⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰
2
2x y c y +=即
2
2()x y y c =+此外y=0也是解
２、线性方程0x x ''+=特性方程
2
10λ+=故特性根i λ=± 1()sin f t t = i λ=是特性单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程
A=-
12
B=0
2()cos 2f t t
=-
2i
λ=不是特性根，原方程有特解
cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =
B=0 因此原方程解为1211
cos sin cos cos223x c t c t t t t
=+-+
３、解：
22
1
()690
1
4p λλλλλ--=
=-+=-解得1,2
3λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
111123322120()()(3)()!i
t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤
=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt=
10()!i
n t
i
i t e
A E i λλ-=-∑得
[]33310111exp (3)01111t
t
t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ４、解：方程可化为
3
2
84dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=令dy p
dx =则有
3284p y x yp +=（*）
（*）两边对y 求导：3
2
2322(4)(8)4dp
y p y p y p y p
dy -+-=
即
32(4)(2)0dp p y y
p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即
2
()p y c =将y 代入
（*）22
24c p x c =+即方程 含参数形式通解为：22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩p 为参数
又由
32
40p y -=得1
23
(4)p y =代入（*）得：
3427y x
=
也是方程解
５、解：
002
100225
200410725118
3000
2()4220()4400202204400160x
x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=
=++=+
=++++=+++
⎰⎰⎰ 三、 证明题
由解存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件n 解：
10200''
1020011
1
10200()1,()0,
,()0()0,()1,
,()0
()0,()0,
,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========
考虑
102001
0010[(),(),
,()]10
1
n w x t x t x t =
=≠
从而()(1,2,
)i
x t i n =是线性无关。

常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 持续函
数。

2、 形如_____________方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(持续函
数.n ，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.0
3、 如果存在常数
使得不等式
,0 L _____________对于所有
称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于
y 满足利普希兹条件。

4、 形如_____________-方程，称为欧拉方程，这里是常数。

,,21a a
5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='某一解，则它任一解
可表为)(t γ_____________-。

二、计算题40%
1、 求方程的通解。

26xy x y
dx dy -= 2、 求方程xy
e x y
dx dy =+通解。

3、 求方程t
e x x x 25'6''=++隐式解。

4、 求方程）的第三次近似解。

、通过点（002y x dx dy
+=
三、证明题30%
1.实验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-t t 22102
x,x=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包括原点区间
a b t ≤≤上基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '
=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）原则基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明：
()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
《常微分方程》期终试卷答卷
一、填空题（每空5分）
1)()(y x f dx dy ϕ= 2、n y x Q y x P dx dy )()(+= z=n
y -1
3
),(),(21y x f y x f -2
1y y L -≤
4、011
1
11=++++----y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n
5、)()()(t t t ϕφγ+= 二、计算题（每题10分）
1、这是n=2时伯努利不等式，令z=1
-y ,算得dx dy y dx
dz 2--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6
，这是线性方程，求得它通解为z=826
x x c + 带回本来变量y ，得到y 1=82
6x x c +或者c x y x =-886，这就是原方程解。

此外方程尚有解y=0. 2、
解：x y xe xy e dx dy xy xy
-=-=
dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+ dx xe dxy xy = xdx e dxy
xy =
积分：
c x e xy +=
--2
21
故通解为：0
212
=++-c e x xy
3、
解：齐线性方程05'6''=++x x x 特性方程为0562
=++λλ，
5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=
2=λ不是特性根，因此方程有形如t
Ae t x 2)(=
把)(t x 代回原方程 t t t t
e Ae Ae Ae
22225124=++
211=
A 于是原方程通解为t
t t e e c e c t x 2521211)(+
+=--
4、 解
0)(0=x ϕ
⎰=
+=x
x dx x x x 02
2
012)]([)(ϕϕ 202)]([)(5
22
12x x dx x x x x
+
=+=⎰ϕϕ 4400160202)]([)(11850
22
23x x x x dx x x x x
+
++=+=⎰ϕϕ 三、证明题（每题15分）
1、证明：令()t Φ第一列为1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 22,这时'1ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22t =⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-t t 221021ϕ(t)故1ϕ(t)是一
种解。

同样如果以2ϕ(t)表达()t Φ第二列，咱们有2ϕ(t)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01= ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t
221022ϕ(t)这样
2ϕ(t)也是一种解。

因而()t Φ是解矩阵。

又由于det ()t Φ=-t 2故()t Φ是基解矩阵。

2、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。

（2）由于()t Φ为方程x '
=Ax 解矩阵，因此()t Φ1
-Φ(t 0)也是x '
=Ax 解矩阵，而
当t= t 0时，Φ(t 0)1
-Φ(t 0)=E ，Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解存在唯一性定理，得()t Φ1
-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)
3、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）原则基解矩阵（即))0(E =φ，证明
)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

3、证明：)(t φ为方程Ax x ='基解矩阵
)(01t -φ为一非奇异常数矩阵，因此 )(t φ)(01
t -φ也是方程Ax x ='基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 基解矩阵，且都满足初始条件)(t φ)(01t -φE =，E t t ==-)0()(00φφ
因此
)(t φ)()(001
t t t -=-φφ
常微分方程期终考试试卷（5）
一． 填空题 （30分）
1．)()(x Q y x P dx dy
+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx
x P e )( ，其通解为
_________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列
{})(x n ϕ极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤______ 。

4．方程2
2y x dx dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则通过点（0，0）解存
在区间是 _______ 。

5．函数组t
t t e e e 2,,-伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若
),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程一种基本解组，)(t x -
为非齐线性方程一种特解，则
非齐线性方程所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('
t f x t A x +=满足初
始条件
0)(0=t ϕ解；向量函数)(t ϕ= _____
是)()('
t f x t A x +=满足初始条件
ηϕ=)(0t 解。

8．若矩阵A 具备n 个线性无关特性向量
n v v v ,,,21 ，它们相应特性值分别为n λλλ ,,2
1，
那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='
一种基解矩阵。

9．满足 _______ 点
),(**y x ，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）
10．求方程
0)1(24322=-+dy y x dx y x 通解。

11．求方程0
=-+x e dx dy
dx dy
通解。

12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx
dy
1
,11:≤≤+y x R 解存在区间，并求第二次近似解，给
出在解存在区间误差预计。

13．求方程t t x x 3sin 9'
'=+通解。

14．试求方程组)('t f Ax x +=解).(t ϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ
三．证明题 （10分）
16．如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件
ηϕ=)(0t 解，那么[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷答案 一．填空题 （30分）
1．
)
)(()()(⎰+⎰⎰
=-c dx e x Q e y dx
x P dx
x P
2．),(y x f 在R 上持续，存在0>L ，使2
121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于任意
R y x y x ∈),(),,(21
3．1
)!1(++n n h
n ML
4．41
4
1≤
≤-
x 5．
t
t
t
t t t
t t t
e e e e e e e e e 22242----
6．
)
()()(1
t x t x c t x i n
i i -
=+=∑
7．
ds
s f s t t
t )()()(1
-ΦΦ⎰
ds
s f s t t t t
t )()()()()(0
101
⎰--ΦΦ+ΦΦη
8．
[]
n t t t
v e v e v e n λλλ,,,2121
9．0),(,0),(==y x Y y x X 二．计算题 （60分）
10．解：y
x x N
y x y M 226,8=∂∂=∂∂
y M x N
y M 21-=-∂∂-
∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y
μ 两边同乘后来)(y μ方程变为恰当方程：
0)1(243
2
13
2
2
=-+-dy y x y dx y x 3
224y x M x u
==∂∂ 两边积分得：)(3423
3y y x u ϕ+=
2
1
213'21322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y u
ϕ
得：2
1
4)(y y -=ϕ
因而方程通解为：
c y x y =-)3(3
2
1
11．解：令
p
y
dx
dy
=
='
则
=
-
+x
e
p p
得：
p
e
p
x+ =
那么
⎰⎰+
=
=dp
e
p
pdx
y p)
1(
c
e
pe
p
p
p+
-
+
=
2
2
因而方程通解为：⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
-
+
=
+
=
c
e
p
p
y
e
p
x
p
p
)1
(
2
2
12．解：
4
)
,
(
max
)
,
(
=
=
∈
y
x
f
M
R
y
x
b
y
y
a
x
x=
≤
-
=
≤
-1
,
1
0，4
1
)
,
min(=
=
M
b
a
h
解存在区间为4
1
1
=
≤
+
=
-h
x
x
x
即4
3
4
5
-
≤
≤
-x
令
)
(
=
=y
x
ϕ
3
1
3
)
(
3
1
2
1
+
=
+
=⎰-x
dx
x
x x
ϕ
42
11
9
18
63
3
)
3
1
3
(
)
(
4
7
3
1
2
3
2
2
+
-
-
-
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
-
+
=⎰-x
x
x
x
dx
x
x
x x
ϕ
又
L
y
y
f
=
≤
-
=
∂
∂
2
2
误差预计为：
24
1
)!1
(
)
(
)
(1
2
=
+
≤
-+n
n
h
n
ML
x
xϕ
ϕ
13．解：
i
i3
,3
9
2
1
2-
=
=
⇒
=
+λ
λ
λ
i 3=λ是方程特性值， 设it
e B At t t x 3)()(+=-
得：it e At Bi Ait Bt A x 32")961292(-++-=
则t Bi Ait A =++6122
得：
361
,121=-
=B i A
因而方程通解为：t t t t t c t c t x 3sin 361
3cos 1213sin 3cos )(221+-
+=
14．解：
)5)(1(3
4
2
1
)det(=-+=----=
-λλλλλA E
5,121=-=λλ
0)(11=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=αα1v 取⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=111v 0)(22=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ββ22v 取⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=212v 则基解矩阵
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=Φ-t t
t t
e e e e t 552)(
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ΦΦ-----t t t t
t t
e e e e e e t 11212
101
2)0()(551
η
⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+--+=ΦΦ⎰-51211035241203)()()(551
0t t t t t t e e e e ds s f s t 因而方程通解为：
⎰--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds
s f s t t t 0
)()()()0()()(11
ηϕ
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+=--512110
3524120
355t
t t t
t t e e e e e e
三．证明题（10分）
16．证明：由定理8可知
ds
s
f
s
t
t
t
t t
t
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
1
1⎰-
-Φ
Φ
+
Φ
Φ
=η
ϕ
又由于
)
ex p(
)
(ex p
)
(
,
ex p
)(
1
1At
At
t
At
t-
=
=
Φ
=
Φ-
-
)
(=
s
f
因此
ηϕ)
ex p(
ex p
)(
At
At
t-
⋅
=
又由于矩阵
)
(
)
(
)
(
)
(
At
At
At
At⋅
-
=
-
⋅
因此
[]ηϕ)
(
ex p
)(
t
t
A
t-
=
常微分方程期终考试试卷(6)
三．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dx
dy
=f(x,y)满足0
)
(y
x=
ϕ
解等价于求积分方程____________________持续解。

4、若函数f(x,y)在区域G内持续，且关于y满足利普希兹条件，则方程
)
,
(y
x
f
dx
dy
=
解
y=
)
,
,
(
y
x
x
ϕ
作为0
,
,y
x
x
函数在它存在范畴内是__________。

5、若
)(
),...
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
为n阶齐线性方程n个解，则它们线性无关充要条件是
__________________________________________。

6、方程组
x
t
A
x)(
/=
_________________称之为
x
t
A
x)(
/=
一种基本解组。

7、若
)(t
φ是常系数线性方程组Ax
x=
/
基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________点（
*
*,y
x），称为方程组奇点。

9、当方程组特性根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 ，相应奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =
31
2
+++-y x y x 2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程23=dx dy 3
1y 在如何区域中满足解存在唯一性定理条件，并求通过点（0，0）一
切解
4、求解常系数线性方程：
t e x x x t cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/
一种基解矩阵，并计算
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛3421,为其中A e At 三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果
Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 解，那么
=)(t ϕ[]
η)
(0t t A e -
常微分方程期末考试答案卷
一、 一、填空题。

（30分）
1、x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(
2、)
(x y f dx
dy = 3、y=0y +dx y x f x
x ⎰0),(
4、持续
5、w
[]0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n
6、n 个线性无关解
7、)0()(1
-ΦΦt 8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心 二、计算题。

（60分）
1、解： (x-y+1)dx-(x+2
y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0
即21d 2
x -d(xy)+dx-3
31dy -3dy=0 因此C
y y x xy x =--+-331
2132 2、解：2)(1
)(2-+-+-
=y x y x dx
dy ，令z=x+y 则dx dy dx
dz +
=1 ,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-12
因此 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3
|1|+z =x+z+1C
即y
x Ce y x +=++23)1(
3、解： 设f(x,y)= 233
1
y ,则)0(2132
≠=∂∂-y y y f
故在0≠y 任何区域上y f
∂∂存在且持续，
因而方程在这样区域中满足解存在唯一性定理条件，
显然，0≡y 是通过点（0，0）一种解；
又由23=dx dy 31y 解得，|y|=2
3
)(c x -
因此，通过点（0，0）一切解为0≡y 及
|y|=
⎪⎩⎪⎨
⎧≥>-≤是常数0),()()
(023c c x c x c x
4、解： (1)
i
21,
0322,12
±==+-λλλ
齐次方程通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t +
(2)i ±-=1λ不是特性根，故取t
e t B t A x -+=)sin cos (
代入方程比较系数得A=415，B=-414
于是
t e t t x --=)sin 414
cos 415(
通解为x=)2sin 2cos (21t c t c e t
++t e t t --)sin 4cos 5(411
5、解： det(A E -λ)=0
543
42
1
2=--=----λλλλ
因此，5,
121=-=λλ
设11-=λ相应特性向量为1v
由0
110
442211≠⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----ααv v 可得
取
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=211121v v 同理取
因此，)(t Φ=
[
]
=-251v e v e t
t ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---t t
t t
e e
e e 552
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t t
t t t t t
t t t t At e e e
e e e e e e e e e e e e e t e 5555551
551
222231111223121112)0()(
三、证明题。

（10分）
证明： 设)(t ϕ形式为)(t ϕ=C e At
（1）
（C 为待定常向量）
则由初始条件得
)(0t ϕη==C e At 0
又
1)(0-At e =0At e - 因此，C=
1
)(0-At e η=0At e -η 代入（1）得)(t ϕ=
ηη)(00
t t A At At e e e --= 即命题得证。

常微分方程期终试卷(11) 一．填空
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2． 称为黎卡提方程，若它有一种特解 y(x),则通过变换 ，可化为伯努利方程。

3．若ϕ（x ）为毕卡逼近序列
{})(x n ϕϕ极限，则有ϕ（x ）—)
(x n ϕ≤。

4．若
)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满
足一阶线性方程 。

5．若
)(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程一种基本解组，x(t)为非齐线形方程一种特解，
则非齐线形方程所有解可表为 。

6．如果A(t)是n ×n 矩阵，f(t)是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上满足 时，方程组x ˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x （t 0）=η解在a ≤t ≤b 上存在唯一。

7．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具备关系：。

8．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=
基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=解
()t ψ=_____________________
9.满足 _________________________________________点（
**
,x y ），称为方程组奇点。

10．当方程组特性根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定，相应奇点称为 _______________________ 。

二．计算题（60分）
1．
3
()0ydx x y dy -+= 2．
32(
)480dy dy
xy y dx dx -+=
3．求方程2
dy
x y dx =+通过（0，0）第三次近似解
4．sin cos2x x t t ''+=-
5．若
2114A ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦试求方程组x Ax '=解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--奇点,并判断奇点类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设
(,)f x y 及f
y ∂∂持续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程充要条件是它有仅依赖与x 积
分因子.
答案
一. 填空
1. ()()dy
p x y Q x dx =+ ()p x dx e -⎰ ()()(())p x dx p x dx e Q x e dx c -⎰⎰+⎰
2. 2
()()()
dy p x y Q x y R x dx =++
y y z =+ 3.1
(1)!n n ML h n ++
4. 1()0w a t w '+=
5.
1
()()()
n
i i i x t c x t x t ==+∑ 6． A(t) f(t)持续
7．
()(),det 0t t c c ϕψ=≠ 8。

0()()()t t t ψϕϕη=
9．(,)(,)dx
X x y dt dy Y x y dt ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心
二．计算题
1． 1． 解：由于
1,1M N
y x
∂∂==-∂∂，因此此方程不是恰当方程，方程有积分因子
2
2
ln 21()dy
y y y e e
y
μ--⎰===，两边同乘2
1y 得3
20dx x y dy y y +-=
因此解为 32
1x x y y dx dy c y y y
⎡
⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰
22x y c y +=即
2
2()x y y c =+此外y=0也是解 2． 2．
解：方程可化为
3
2
84dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=令dy p
dx =则有
32
84p y x yp +=（*）
（*）两边对y 求导：3
2
2322(4)(8)4dp
y p y p y p y p
dy -+-=
即
32(4)(2)0dp p y y
p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即
2
()p y c =将y 代入
（*）22
24c p x c =+即方程 含参数形式通解为：22224()c p
x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩p 为参数
又由
32
40p y -=得1
23
(4)p y =代入（*）得：
3
427y x
=
也是方程解 3．解：
002
100225
200410725118
3000
2()4220()4400202204400160x
x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=
=++=+
=++++=+++
⎰⎰⎰
4． 线性方程0x x ''+=特性方程
210λ+=故特性根i λ=± 1()sin f t t = i λ=是特性单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程
A=-
12
B=0
2()cos 2f t t
=-
2i
λ=不是特性根，原方程有特解
cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0
因此原方程解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+
5． 解：221()69014p λλλλλ--=
=-+=-解得1,2
3λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!i
n t i
i t e A E i λλ-=-∑得 []33310111exp (3)01111t t
t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 6． 解：由1050x y x y --+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dx x y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 由于
11
11---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0） 由221
121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

三．证明题
证明：1 若该方程为线性方程则有()()dy p x y Q x dx =+（*）此方程有积分因子
()()p x dx x e μ-⎰=
()x μ只与x 关于 2 若该方程有只与x 关于积分因子()x μ则 ()()(,)0x dy x f x y dx μμ-=为恰当方程,
从而(()(,))()x f x y d x y dx μμ∂-=∂()()f x y x μμ'∂=-∂
()()()()()x f dy Q x p x y Q x x μμ'=-+=+⎰其中
()()()x p x x μμ'-=于是方程化为 (()())0dy p x y Q x dx -+=即方程为一阶线性方程.-
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题（30%）
1．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程两个不同解，则用这两个解可把其通解表达为 ．
2．方程2
2d d y x x y +=满足解存在唯一性定理条件区域是 ．
3．),(y x f y '持续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一 条件． 一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x =一种基本解组个数不能多于
个，其中R ∈x ，n
R Y ∈．
5．二阶线性齐次微分方程两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组充要条件是 ． 6．方程y x x y cos sin d d ⋅=满足解存在唯一性定理条件区域是 ．
7．方程y x x y tan d d 2=所有常数解是 ．
8．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ．
9．线性齐次微分方程组解组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组 条件是
它们朗斯基行列式0)(≠x W ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解个数最多为 个．
二、计算题（40%）
求下列方程通解或通积分： 1. x y x y x
y tan d d += 2．y y x y x y sin sin cos cos d d 2=-
3．
0)d 1(d )cos 2(2=-+-y x x x xy 4．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x t y y t x 2d d d d
5．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x t y y x t x 32d d d d
三、证明题（30%）
1．试证明：对任意0x 及满足条件100<<y 0y ，方程 221)1(d d y x y y x y ++-=
满足条件00)(y x y =解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．
2．设)(x f 在),0[∞+上持续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y x y =+任意解
)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x ．
3．设方程)(d d 2y f x x y =中，)(y f 在),(∞+-∞上持续可微，且0)(<y yf ，)0(≠y ．求
证：该方程任一满足初值条件
00)(y x y =解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在．
参照答案
一、填空题
1．)()]()([1211x y x y x y C +- 2．xoy 平面 3．充分 4．n 5．线性无关
6．xoy 平面 7．πk y =， ,2,1,0±±=k 8． ,2,1,0,±±==k k y π； 或 ,2,1,0,2±±=π+π=k k x
9．充分必要 10．n
二、计算题
1．解：令x y u =
，则u x u y '+=' u x u x tan d d =
当0tan ≠u 时
等号两边积分 1d tan d C x x u u +=⎰⎰
C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 2．解：令y z sin =，则x y y x
z d d cos d d = 代入方程得 z x z x z =-cos d d 2
即 x z z x z cos d d 2=-
再令1-=z u ，则得 x u x u cos d d -=+
⎰+⎰-⎰=-)d e cos (e 1d 1d 1C x x u x
x
⎰+-=-)d e cos (e 1C x x x x x
C x x -++-=e )sin (cos 211
因此 x
C x x x -=++e sin cos sin 2
3．解 由于x N x y
M ∂∂==∂∂2，因此原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程通积分为
C y x x xy y x =--⎰⎰00d d )cos 2( 即 C y x y x =--sin 2
4．解 特性方程为 0
121=--=
-λλλE A
即 022=--λλ
特性根为 21=λ，12-=λ
21=λ相应特性向量应满足
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--002121211b a 可拟定出
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a
同样可算出12-=λ相应特性向量为
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122b a
因此，原方程组通解为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221
5．解：特性方程为 0542=+-λλ
特性根为 i ±=22,1λ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b a y x t i )2(e b a ,满足
01211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i
解得 b i a )1(2-=
取 i b +=1，则 1=a ．
于是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t C t t t C y x t t sin cos sin e sin cos cos e 2221 三、证明题
1．证： 由于 221)1(),(y x y y y x f ++-=
22222)1(2)1()1)(12(),(y x y y y y x y y x f y ++--++-='
在全平面上持续，因此原方程在全平面上满足解存在唯一性定理及解延展定理条件．又显然1,0==y y 是方程两个特解．现任取),(0∞+-∞∈x ，)1,0(0∈y ，记)(x y y =为过),(00y x 解，那么这个解可以唯一地向平面边界无限延展，又上不能穿越1=y ，下不能穿越0=y ，因而它存在区间必为),(∞+-∞．
2．证明 设)(x y y =为方程任一解满足
00)(y x y =，由常数变易法有 ⎰-----+=x x x s x x x x s f y x y 000d (s)e e e )()()(0
于是 0000e d e )(lim e lim )(lim 0x x x x x s x x x x x s s f y x y --∞
→-∞→∞→⎰+= = 0 + ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰⎰∞---∞→∞-发散若收敛若，000000d e )(,0e e )(lim d e )(0x x s x x x x x x x s s s f s f s s f
3．证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解存在唯一及解延展定理条件，因而，它任一解都可延展到平面无穷远．
又由已知条件，知0=y 是方程一种解．
且在上半平面)0(>y ，有
0)(2<='y f x y ； 在下半平面)0(<y ，有
0)(2>='y f x y ． 现不妨取点),(00y x 属于上半平面，并记过该点解为)(x y y =．由上面分析可知，)(x y y =一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过x 轴，否则
与唯一性矛盾．故解)(x y y =存在区间必为),[0∞+x。