2022-2023学年山东省青岛莱西市高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛莱西市高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．直线20x -=的倾斜角α是 A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】D
【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角.
【详解】由20x +-=，得y =，
设直线的倾斜角为θ，则tan θ=， [)50,,6
π
θπθ∈∴=
，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
2．如果三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C a b +在同一条直线上，则 A ．3,2a b == B ．6,1a b ==- C ．3,3a b ==- D ．2,1a b =-=
【答案】A
【分析】由三点共线可知,AB AC 为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】
,,A B C 三点共线 ,AB AC ∴为共线向量
又()1,1,3AB =-，()1,2,4AC a b =--+
124
113
a b --+∴
==-，解得：3a =，2b = 本题正确选项：A
【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.
3．对于圆C ：22410x y x +-+=，下列说法正确的为（ ） A ．点()1,1A -圆C 的内部 B ．圆C 的圆心为()2,0- C ．圆C 的半径为3
D ．圆C 与直线3y =相切
【答案】A
【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解.
【详解】对于A ，将点()1,1A -代入圆C 中，得()2
21141110+--⨯+=-<，所以点()1,1A -圆C 的内
部，故A 正确；
对于B ，C ，由22410x y x +-+=，得()2
223x y -+=，所以圆C 的圆心为()2,0，半径为r =B ，C 错误；
对于D ，由圆心()2,0C 到直线3y =的距离为303d =-=，所以3>d
r ，所以圆C 与直线
3y =相离，故D 错误.
故选：A.
4．在平面上，动点P 与两个定点1F ，2F 的距离之和为7，若1210F F =，则P 点的轨迹为（ ） A ．线段 B ．两条射线 C ．椭圆 D ．不存在
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义即可求解
【详解】由题意可知，1212710PF PF F F +=<=, 所以P 点的轨迹为不存在. 故选：D.
5．已知直线l 和平面ABC ，若直线l 的方向向量为()1,2,5n =--，向量()1,0,1AB =-，()2,1,0AC =，则下列结论一定正确的为（ ） A ．l ⊥平面ABC B ．l 与平面ABC 相交，但不垂直 C ．//l 直线BC D ．//l 平面ABC 或l ⊂平面ABC
【答案】D
【分析】计算0n AB ⋅≠可判断A ，判断n 与BC 是否平行可判断C ，求出平面ABC 的一个法向量，由法向量与n 的关系可判断BD ．
【详解】10560n AB ⋅=++=≠，n 与AB 不垂直，也即l 与AB 不垂直，所以直线l 与平面α不垂直，A 错；
(1,1,1)BC AC AB =-=，因此不存在实数k ，使得n k BC =，所以n 与BC 不平行，即直线l 与直线BC
不平行，C 错；
设(,,)m x y z =是平面ABC 的一个法向量，
则020m AB x z m AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，取1x =，则(1,2,1)m =-，1450m n ⋅=+-=，
所以m n ⊥，所以直线l 与平面ABC 平行或在平面ABC 内，B 错D 正确． 故选：D ．
6．已知椭圆C ：221259
x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的一个动点，若1260F PF ∠=︒，
则12PF F △的面积为（ ）
A ．
B ．
C
D 【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由22
1259
x y +
=，得2225,9a b ==，22225916c a b =-=-=，即5,3,4a b c ===， 由椭圆的定义可知，121210,8PF PF F F +==,
在12PF F △中，由余弦定理得2
2
2
1212122cos60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅︒，可得 ()
2
212
1283PF PF PF PF =+-⋅，解得1212PF PF ⋅=.
所以12PF F △的面积为12
1211sin 601222PF F S PF PF =
⋅⋅⋅︒=⨯=故选：B.
7．直线l 过点()1,2P ，()2,3A 和()4,5B -两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．490x y +-=或3280x y +-= B ．460x y +-=或3270x y +-= C ．490x y +-=或2380x y +-= D ．490x y +-=或2380x y +-=
【答案】B
【分析】分类讨论直线l 斜率存在与否，利用点线距离公式判断或得到方程，解之即可. 【详解】依题意，得
当直线l 斜率不存在时，直线l 为1x =，此时()2,3A 到直线l 的距离为1，()4,5B -到直线l 的距离为3，不满足题意；
当直线l 斜率存在时，设直线l 为()21y k x -=-，即20kx y k --+=， 因为()2,3A 和()4,5B -两点到直线l 的距离相等，
=
，即137k k -=+，解得4k =-或3
2
k =-，
所以直线l 为()241y x -=--或()3
212
y x -=--，即460x y +-=或3270x y +-=. 故选：B.
810by +-=与圆221x y +=相交于A ，B 两点，且AOB 是直角三角形，其中a ，b 为实数，O 是坐标原点，则(),P a b 与()0,1G 之间距离的最大值为（ ）
A ．3
B 1
C
D 1
【答案】B
【分析】由题可知O 10by +-=2222a b +=，然后根据两点间距离公式及二次函数的性质即得.
【详解】由题可知AOB 是等腰直角三角形，
所以O 10by +-=
，即2222a b +=，
所以2
2
12
b a =-，且b ≤≤
因此(),P a b 与()0,1G
函数21
(2)2
y b =
-在b ⎡∈⎣上单调递减，
1. 故选：B.
二、多选题
9．已知直线1l ：2340mx y -+=，2l ：(2)(1)250()m x m y m m +-+++=∈R ，则下列选项正确的为（ ）
A ．直线2l 过定点()3,1--
B ．当12l l ⊥时，3m =-或1
2
m =-
C ．当2m ≠时，1l 和2l 相交
D ．当12l l ∥时，两直线1l ，2l 之间的距离为1
【答案】AB
【分析】直线2l 方程整理为关于m 的方程，由恒等式知识可求得定点坐标，判断A ，由垂直的条件求得参数范围，判断B ，由两直线平行的条件求得m 的值可得相交的条件，判断C ，由两直线平行，然后求得m 值，代入后得两平行线的方程，由距离公式计算． 【详解】直线2l 方程整理为(2)250m x y x y -++-+=，
由20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，因此直线2l 过定点(3,1)--，A 正确；
12l l ⊥，则2(2)3(1)0m m m +++=，解得3m =-或1
2
m =-
，B 正确； 由(1)23(2)0m m m -+⋅++=得2m =或3
2
m =-，
所以2m ≠且3
2
m ≠-时，1l 和2l 相交，C 错；
2m =时，两直线方程分别为4340x y -+=，4390x y -+=
，两直线平行，它们的距离为
1=，
3
2m =-时，两直线方程分别为3340x y --+=和112022x y ++=，即403
x y +-=和40x y ++=，两
3= D 错． 故选：AB ．
10．已知圆C ：2260x y x +-=，则下述正确的是（ ） A ．圆C 截直线1l ：y x =
所得的弦长为B ．过点()1,1的圆C 的最长弦所在的直线方程为：210x y --= C ．直线2l
：30x +=与圆C 相切 D ．圆E ：()2
2149x y ++=与圆C 相交 【答案】AC
【分析】根据弦长公式可判断A ，根据圆的性质可判断B ，根据点到直线的距离可判断C ，根据两圆的圆心距可判断D.
【详解】由圆C ：2260x y x +-=，可得()2
239x y -+=，圆心为()3,0C ，半径为3，
所以圆C 截直线1l ：y x =所得的弦长为A 正确；
由圆的性质可知过点()1,1的圆C 的最长弦过圆心，
故所在的直线方程()10
13
11y x ---=
-，即230x y +-=，故B 错误；
因为圆心()3,0C 到直线30x +=3=，
所以直线2l ：30x ++=与圆C 相切，故C 正确； 由圆E ：()2
2149x y ++=可知圆心()1,0E -，半径为7，
所以473EC ==-，故圆E ：()2
2149x y ++=与圆C 相内切，故D 错误. 故选：AC.
11．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，3
ABC π
∠=
，PA ⊥平面ABCD ，P A =AB =2，E 为棱
PB 的中点，F 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的为（ ） A ．平面AEF ⊥平面PBC B ．EF 与平面ABCD 所成角的最大值为
6
π
C ．E 到面P AC
D ．A
E 与PC 所成角的余弦值为1
4
【答案】CD
【分析】取BC 的中点M ，可证得,,AM AD AP 两两垂直，所以以A 为原点，以,,AM AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断. 【详解】取BC 的中点M ，连接,AM AC ， 因为底面ABCD 为菱形，3
ABC π
∠=，
所以AM BC ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ，,AM AD ⊂平面ABCD ， 所以,PA AM PA AD ⊥⊥，
所以,,AM AD AP 两两垂直，所以以A 为原点，以,,AM AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
(0,0,0),1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P -，
因为E 为棱PB 的中点，所以1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭
，
设,0)F a （11a -≤≤），
对于A ，设平面AEF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面PBC 的法向量为222(,,)n x y z =， 因为(
)31,,1,3,,022AE AF a ⎛⎫=-=
⎪ ⎪⎝⎭
，(
)(
)
3,1,2,3,1,2PB PC =
--=
-，
所以1111131
02230m AE x y z m AF x ay ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，22222232032
0n PB x y z n PC x y
z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，
令1x 2x ，
则3333,,2a m a a +⎛⎫=-- ⎪⎭，33,0,2n ⎛
⎫= ⎪⎭，
若平面AEF ⊥平面PBC ，则99
304a m n a
+⋅=-
=，解得3a =不合题意，所以A 错误， 对于B ，平面ABCD 的一个法向量为(0,0,2)AP =，31,122EF a ⎛⎫=+- ⎪
⎪⎝⎭
， 设EF 与平面ABCD 所成角为θ，则
sin cos ,2AP EF AP EF AP EF
θ⋅==
=
=
因为2
2
1
772244a a a ⎛
⎫++=++≥ ⎪⎝
⎭，所以sin θ≤
1
2
>，所以θ大于6π，所以B 错误，
对于C ，设平面PAC 的法向量为(,,)b x y z =，()(
)
0,0,2,3,1,0AP AC =
=，
则20
30
b AP z b AC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x =(3,3,0)b =-，
31,122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以E 到面P AC 的距离为33
23b AE b
+
⋅==+C 正确，
对于D ，设AE 与PC 所成角为α， 31,122AE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，(
)
3,1,2PC =
-，
所以312
122
cos cos ,431
131444
AE PC AE PC AE PC
α--⋅==
=
=++⋅++，所以D 正确， 故选：CD
12．若椭圆1C ：()22112211
10x y a b a b +=>>和椭圆2C ：()22
22222210x y a b a b +=>>的焦点相同，且12a a >，
则下列结论正确的为（ ）
A ．2222
1212->-a a b b
B ．
11
22
a b a b < C ．1212a a b b -<- D ．椭圆1C 和椭圆2C 没有公共点
【答案】BCD
【分析】由焦点相同得22221122a b a b -=-，从而有2222
1212a a b b -=-，再进行变形逐项分析判断即得．
【详解】由已知条件可得22221122a b a b -=-，可得2222
1212a a b b -=-，故A 错误；
由2
2221
1
2
2
0a b a b -=->，12a a >，所以2222
1122
22
12
a b a b a a --<，22122212b b a a -<-， 所以22
12
2212
b b a a >，1212b b a a >，即1122a b a b <，故B 正确；
∵11220,0a b a b >>>>，∴12120a a b b +>+>，
又12121212()()()()a a a a b b b b +-=+-，可得1212a a b b -<-，故C 正确；
因为2222
1212a a b b -=-，而12a a >，则12b b >，可知两椭圆无公共点，故D 正确.
故选：BCD ．
三、填空题
13．已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为_______． 【答案】230y x -=或50x y +-=
【解析】按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：3
2
y x =
即230y x -=，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为1x y
a a
+=，
所以231a a +=，解得5a =，所以直线方程为155
x y
+=即50x y +-=；
综上所述，直线方程为230y x -=或50x y +-=. 故答案为：230y x -=或50x y +-=.
14．若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离为1，则实数a 的值为___________；
【答案】【分析】根据条件得到圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】由圆224x y +=可知圆心为()0,0，半径为2， 要使圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离为1， 则圆心()0,0到直线:l y x a =+的距离为1，
1=，解得a =
故答案为：
15．设1F ，2F 是椭圆的两个焦点，A 为椭圆上的点，且2120AF F F ⋅=，12cos AF F ∠=离心率为___________；
【分析】由题可得212AF F F ⊥，在21Rt AF F △中，结合条件可得1AF =，22AF =，然后根据椭圆的定义及离心率的概念即得. 【详解】因为2120AF F F ⋅=， 所以212AF F F ⊥，即212AF F F ⊥，
设椭圆的焦距为2c ，长轴长为2a ， 在21Rt AF F △中，1222
cos 3
AF F ∠=，122F F c =， 所以
1212132
cos 2223
2F F c A A F F c F =
==∠，22
2
AF c =，又122AF AF a +=， 所以222c a =， 所以椭圆的离心率为2
2
c e a ==
. 故答案为：
22
. 16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则△MAD 的重心到直线BN 的距离为___________.
【答案】5
3##213
【分析】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得ADM △的重心G 的坐标，用空间向量法求点到直线的距离．
【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,1)N ，(0,1,2)M ，(0,0,0)D ，设ADM △的重心是(,,)G x y z ，
则020233x ++=
=，010133y ++==，002233z ++==，即212
(,,)333
G ， 452
(,,)333
BG =--，(2,0,1)BN =-，
82100333BG BN ⋅=++=，222452
()()()5333
BG =-+-+=5BN =，
10
23cos ,355BG BN BG BN BG BN
⋅<>===⨯，
则,BG BN <> 是锐角，225
sin ,1()3BG BN <>=-，
所以G 到直线BN 的距离为55
sin ,53
h BG BG BN =<>==．
故答案为：5
3
．
四、解答题
17．已知直线1l ：x +y -4=0，2l ：x -y +2=0和直线3l ：ax -y +1-4a =0.
(1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是1l ，2l ，3l ，求实数a 的取值范围； (2)若直线l 经过1l 和2l 的交点，且点()1,2M -到l 的距离为2，试求直线l 的方程.
【答案】(1)2
3a ≠-且1a ≠±
(2)x =1或34150x y +-=
【分析】（1）求得1l 与2l 的交点A 的坐标，然后由直线3l 不过点A ，不与直线12,l l 平行求得a 的范围； （2）考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程．
【详解】（1）由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可得：1
3x y =⎧⎨=⎩，∴1l 和2l 的交点A 的坐标为()1,3.
当3l 过点A 时，2
31403
a a a -+-=⇒=-，
此时不存在三角形满足题意，为满足题意，必有2
3
a ≠-，
当31l l ∥或32l l ∥时，由于1l 的斜率为-1，2l 的斜率为1，3l 的斜率为a ，∴a =1或a =-1，
此时也不存在三角形满足题意，为满足题意，必有1a ≠±，综上可知：2
3a ≠-且1a ≠±.
（2）直线l 经过1l 和2l 的交点()1,3A ，当l x ⊥轴时，l 的方程为：x =1， 点()1,2M -到l 的距离为2，符合题意；
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为：3(1)y k x -=-，即30kx y k -+-=，
由于点()1,2M -到l 的距离为23
24k =⇒=-，
此时l 的方程为：34150x y +-=，综上可知，直线l 的方程为：x =1或34150x y +-=. 18．已知圆心为C 的圆经过()1,1A ，()2,2B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上. (1)求圆C 的标准方程；
(2)设P 为圆C 上的一个动点，O 为坐标原点，求OP 的中点M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(3)(2)25x y +++=；
(2)2
2
325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.
【分析】（1）设圆心C 的坐标为(),a b ，可得10a b -+=，结合条件可得330a b --=，进而求得圆心的坐标，半径，即得；
（2）设(),M x y ，()00,P x y ，进而可得()2,2P x y ，然后代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.
【详解】（1）设圆心C 的坐标为(),a b ，半径为r ， ∵圆心C 在直线:10l x y -+=上， ∴10a b -+=，
∵圆C 经过()1,1A ，()2,2B -两点， ∴CA CB =，
化简得：330a b --=，又10a b -+=， 所以32a b =-=-，，
∴圆心C 的坐标为()3,2--，5r AC ==， 所以圆C 的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=； （2）设(),M x y ，()00,P x y ， ∵M 为OP 的中点，
∴0000022202x x x x y y y y +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨
=+⎩⎪=
⎪⎩
， ∴()2,2P x y ， ∵P 在圆C 上，
∴2
2
(23)(22)25x y +++=，即2
2325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪
⎝
⎭， ∴OP 的中点M 的轨迹方程为2
2
325(1)24x y ⎛⎫+++= ⎪
⎝
⎭. 19．如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．
322
-【分析】由BC AC AB =-求出OA BC ⋅，再由cos ,OA BC OA BC OA BC
⋅=求解即可.
【详解】BC AC AB =-
cos ,cos ,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB ∴⋅=⋅-⋅=⋅-⋅ 84cos13586cos12024162=⨯⨯︒-⨯⨯︒=-24162322
cos ,OA BC OA BC OA BC
⋅--∴=
=
=∴异面直线OA 与BC 322
-【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的减法运算以及数量积运算得出OA BC ⋅，进而求出异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．
20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率2
e =，
过1F 作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A ，B 两点. (1)求线段AB 的长；
(2)求2F AB 的周长和面积. 【答案】
(2)2F AB
的周长为
【分析】（1）由题可得1b =，然后根据离心率结合条件可得椭圆方程，进而可得直线方程，然后利用韦达定理法及弦长公式即得；
（2）利用椭圆的定义及三角形面积公式即得. 【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2， ∴1b =，又
∵e =
∴2222212
c a b a a a -==⇒= ∴椭圆C 的方程为：2
212
x y +=，()11,0F -，()21,0F ，
设()11,A x y ，()22,B x y ，直线 l
的方程为：)1y x =+，
由)22
112y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得271240x x ++=， 所以1212
7
x x +=-，1247x x =，
所以
AB
=
===
（2）由于1F ，2F 分别为椭圆的左､
右焦点，
所以2F AB 的周长为12124AF AF BF BF a
+++== 因为()21,0F 到直线l ：)1
y x +
的距离为
d =
=
所以2F AB
的面积12712AB d ⨯=
=⋅=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//CD AB ，90ABC ∠=︒，
224AB BC CD ===，侧面PAD ⊥面ABCD ， 2.PA PD ==
(1)求证：PA BD ⊥；
(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使得平面PCD 和平面NCD 的夹角的53
？若存在，请确定N 点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析
(2)存在点N ，N 在线段PM 上，1
5PN PM =，或者N 在线段PM 的反向延长线上，35PN PM =
【分析】（1）根据已知条件及两条平行线的性质，再利用勾股定理及余弦定理，结合面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理即可求解；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出平面PCD 和平面NCD 的法向量，结合向量的夹角与平面PCD 和平面NCD 的夹角关系即可求解. 【详解】（1）因为//CD AB ，90ABC ∠=︒， 所以90BCD ∠=︒， 因为2BC CD ==，
所以2222BD BC CD +=45CBD ∠=︒，从而45ABD ∠=︒， 因为4AB =，
所以2222cos 8AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠=， 所以222AD BD AB +=，从而BD AD ⊥，
因为侧面PAD ⊥面ABCD ，侧面PAD ⋂面ABCD AD =，BD ⊂面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂面PAD ， 所以PA BD ⊥.
（2）延长AD 和BC 交于点M ，连接PM ，则l 就是直线PM ，CD 为ABC 的中位线， 以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，
则(2P ，()2,2,0D ，()4,0,0M ，()2,0,0C ， 所以()0,2,0CD =，(1,1,2PD =-， 设面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则 由11
00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020y x y z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，
令11z =，则12x ，10y =，取(
)
12,0,1n =
，
设在l 上存在点N ，满足()R PN PM λλ=∈，则
(2)(3,3,2)(31,3(12(1))CN CP PN CP PM λλλλλ=+=+=-+-=---.
设平面NCD 的法向量为()2222,,n x y z =，则
由22
00n CD n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()())222220
3131210y x y z λλλ=⎧⎪⎨-+--=⎪⎩，
令231z λ=-，则)221x λ=--，20y =，取2(2(1),0,31)n λλ=---， 设平面PCD 和平面NCD 的夹角为θ，则
1212212
5353cos cos ,311103
n n n n n n λθλλ⋅-==
=
=
⋅⨯-+，解得1
5
λ=或35λ=-， 所以在l 上存在点N ，N 在线段PM 上，1
5
PN PM =，或者N 在线段PM 的反向延长线上，
3
5
PN PM =.
22．已知点()10
B ,，点M 是圆()2
2:116A x y ++=上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA 于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；
(2)作BQ x ⊥轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线():,l x my n m n =+∈R 与轨迹E 交于C 、
D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.
【答案】(1)22
143
x y +=
(2)2m =
【分析】（1）分析可知P 点的轨迹E 是以A 、B 为焦点的椭圆，设其方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
求出a 、b 的值，即可得出轨迹E 的方程；
（2）求出点Q 的坐标，设()11,C x y 、()22,D x y ，将直线l 的方程与轨迹E 的方程联立，列出韦达定理，分析可知0CQ DQ k k +=，利用斜率公式以及韦达定理可求得实数m 的值. 【详解】（1）解：圆()2
2:116A x y ++=的圆心()1,0A -，半径4r =，
点P 为线段MB 的垂直平分线与半径MA 的交点，PM PB ∴=，
42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=，
P ∴点的轨迹E 是以A 、B 为焦点的椭圆，设其方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
则24a =，22c =，所以2a =，1c =，223b a c =-= 因此，轨迹E 的方程为22
143
x y +
=. （2）解：设()11,C x y 、()22,D x y ，BQ x ⊥轴，Q 点在x 轴的上方，
将1x =代入方程22
143x y +
=，可得32y =±，则31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 联立22
3412x my n x y =+⎧⎨+=⎩可得()222
3463120m y mny n +++-=， ()()222236123440m n m n ∆=-+->，可得2234n m <+， 由韦达定可得122634mn y y m +=-+，2122312
34n y y m -=
+. 因为CQ 、DQ 关于直线BQ 对称，则0CQ DQ k k +=，
则()()1212211233
332201101122y y x y x y x x -
-
⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭，
又11x my n =+，22x my n =+，则()12123213302my y n m y y n ⎛⎫
+--+-+= ⎪⎝⎭
，
222
312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛
⎫⇒⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 化简得：()()()2
328440232202m n m n m m n m +--+=⇒-+-=⇒=或3220m n +-=，
当3220m n +-=时，3
12
n m =-，
此时，直线l 的方程为331122x my m m y ⎛
⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，直线l 过点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不合乎题意.
综上所述，2m =.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.。