土的本构模型
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1 p 1 3 1 sin cv
d vp q M p d dp
d vp M 2 q p 2q p d dp
球应力张量与偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z
C 等倾面
3 2
z
B x
1
A
y
x y
应力主轴坐标系
八面体面
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z
C 2 oct 1 oct A y 3 平均主应力 广义剪应力
对八面体面ABC，作用在该面上的 正应力和剪应力分别称为八面体正 应力oct 和八面体剪应力oct：
土的本构关系
土的本构关系
1 概述
土的本构关系 Constitutive relationship 土的本构定律 Constitutive law 土的本构方程 Constitutive equation 土的数学模型 Mathematical model
是反映土的力学性状的数学表达式， 表示形式一般为应力—应变—强度— 时间的关系
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
现代土力 学分析方法
应力变形的 综合分析
计算机数值模拟计算 • 土体的本构模型 • 数值计算方法：有限元等 • 应力变形稳定的综合分析
模型试验：如离心机模型试验
本构关系与土力学分析方法
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1.5 1.4 1.3
p0 , e0
a
e
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1
p0 , e0
b
e
1.2 1.1 1 100 300 500 p/kPa 700 900
100 p/kPa
1000
正常固结土等向压缩试验的抽象 （Roscoe等，1963）
e e0 ln
3
54º 44
Q
PQ
O
1
1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3 2 2J 2 q 3
3 oct
主应力空间与平面
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1
A S
P O B 2
Q C 3
2 2 1 3 3 ( 1 3 ) 3 2b 1 3
0 2 4 6 8
卸载 体缩
1
v
p
e
1 (%)
单调与循环加载的三轴试验曲线 （承德中密砂）
第二章 土的本构关系
2.3 土的应力变形特性
滞回圈、应变软化和减载体缩
循环加载过程中的特性
第二章 土的本构关系
3 土的应力变形特性
压硬性讲的是土在压缩过程中所表现出的模量随密
度增加而增大的特性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
q p
1.5
饱和重塑粘 土应力比与 塑性应变增 量比的关系
-4
试验规律 剪胀方程
1 0.5 0
d vp d dp
0
-3
-2
-1
Rowe的剪胀理论(1962) 原始Cam-clay模型剪胀方程（ 1963 ） 修正Cam-clay模型剪胀方程（1968）
八面体应力
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1
A S
OS： 空间对角线 与三个主应力轴的夹角成 54º 44 ABC：与OS垂直的面，称平面， 1+2+3=常数
P O B 2 A
Q C 3
2
1 OQ ( 1 2 3 ) 3 oct 3I1 3
• 洛德角：平面上的角度
三个独立的应力参数P、q和可以确 定应力点P在应力空间的位置
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
三轴应力状态： 3
• 平均主应力 • 广义剪应力
1 1 p (1 2 3 ) (1 23 ) 3 3
q 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
土的基本变形特性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
土的应力应变关系通常从开始就不是线弹性的
q = 1- 3
密砂、超固结粘土
非线性
松砂、正常固结粘土
应变硬化 应变软化
1 v
土的基本变形特性- 非线性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
弹塑性、滞回圈、卸载体缩
400
q
200
滞回圈
本构关系的定义
土的本构关系
1 概述
体积力 面 力 静(动) 力平衡
位 移
本构方程
应力 应 变
几何 相容
本构关系在应力应变分析中的作用
土的本构关系
1 概述 • 弹性理论计算应力 • 压缩试验测定变形参数 • 弹性理论+经验公式计算变形
变形问题 （地基沉降量）
传统土力 学分析方法
稳定问题 （边坡稳定性）
2 2 2
应力张量的应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
ij
12 13 m 0 0 11 m 0 0 m 22 m 23 21 32 33 m 0 0 m 31
n
土的基本变形特性- 压硬性
第二章 土的本构关系
2.3 土的应力变形特性
描述剪切过程中剪应力变化对体积应变产生的影响。
剪胀模型
剪缩模型
广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，包括“剪胀”和“剪缩”。
其实质是由剪应力引起土颗粒位置和排列变化，而使颗粒间的孔
隙增大或减小，发生的体积变化
土的基本变形特性- 剪胀性
ij
应力张量
mij
球应力张量
1 sij ij kk ij 3
偏应力张量
m球张量分量，其物理意义代表作用于该点的平均 正应力或静水压力分量，其值为m=I1/3
球应力张量与偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
12 13 s11 s12 s13 11 m 1 sij ij ijkk s s s 21 22 m 23 21 22 23 3 32 33 m s31 s32 s33 31
1 I oct (1 2 3 ) m 1 3 3
oct 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 J 2 3 3
x
B
1 I p oct (1 2 3 ) 1 3 3
q 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2 oct
2 1 3
• 应力洛德角
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
• 三轴压缩试验（ >=3 ）： = -30º • 三轴伸长试验（ =>3 ）： = 30º
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应变
与应力的情况相似 体应变
第一应力不变量 第二应力不变量
I1 x y z 1 2 3
I2 x y y z zx xy yz zx 1 2 2 3 3 1
2 2 2
第三应力不变量
I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3
性质。它应该体现在最简单的饱和重塑正常固结粘 土中，该种土的典型力学特性表现为：
非线性：应力应变关系从开始就不是线弹性的 压硬性：随平均应力p的增加而变密实，压缩模量提高 剪胀性：受广义剪应力q加载时伴有体积的变化 摩擦性：抗剪强度qf随p的增加而增大，比值qf/p保持常量
以上四种基本特性是土与其它材料的根本区别， 直接控制土的应力应变关系
tg
平面
：PQ和σ'2垂线之间的夹 角，以PQ起逆时针为 正
• 洛德参数
2 2 1 3 1 3
应力洛德角
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
3
平面
S
Q O 1 R P 2
• 平均主应力p：平面的位置OQ
• 剪应力q：平面上到Q距离PQ
1 J 3 S ijS jk S ki 3 1 ( 21 2 3 )( 2 2 1 3 )( 2 3 1 2 ) 27
偏应力张量的不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
球应力张量分量，其物理意义代表作用于该点的 平均正应力或静水压力分量。在弹性和经典塑性 理论中，只产生体应变，即只发生体积变化而不 发生形状变化 偏应力张量，其物理意义代表作用于该点的纯剪 应力分量。在弹性和经典塑性理论中，只产生剪 应变，即只发生形状变化而不发生体积变化
sij偏应力张量，其物理意义代表作用于 该点的纯剪应力分量
偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
J1 Skk 0
1 1 2 2 2 2 2 2 J 2 S ιjS ιj (σ1 σ 2 ) (σ 2 σ 3 ) (σ 3 σ1 ) 6 σ12 σ 23 σ 31 2 6
xy y zy 12 22 32
xz yz z 13 23 33
二阶对称张量，具
有6个独立的分量
应力分量与应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
6个独立变量用 矩阵表示，常用 于数值计算
x y z ＝ xy yz zx
1. 应力张量 2. 应力张量的坐标变换 3. 应力张量的主应力和应力不变量
4. 球应力张量与偏应力张量
5. 八面体应力 6. 主应力空间与平面 7. 应力洛德角
应
力
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z zx yx y yz
zy
xy
xz x
x ij yx zx 11 21 31
基本特性
亚基本 特性
关联基 本特性
屈服特性 正交流动性 相关联性 共轴特性 临界状态特性等
非线性 压硬性 剪胀性
摩擦性
应力历史依存性 应力路径依存性 各向异性 结构性 蠕变特性 颗粒破碎特性 温度特性等
土的本构关系
3 土的应力变形特性
基本特性是指直接影响土应力应变关系的最根本的
广义剪应变 应变洛德角
v kk 1 2 3 I1
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
应
变
土的本构关系
3 土的应力变形特性
2 应力和应变 – 应力
摩尔圆
zx
z +
(z,zx)
-
O
xz
x
(x,xz)
• 正应力：压为正，拉为负 • 剪应力：外法线逆时针为正；顺时针为负
土力学中应力符号规定
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
主应力方程：
I1 I 2 I3 0
3 2
p p0
土的基本变形特性- 压硬性
第二章 土的本构关系
3 土的应力变形特性
压硬性讲的是土在压缩过程中所表现出的模量随密
度增加而增大的特性
承德中密砂在不同 围压下的三轴试验 曲线
三轴应力应变曲线初始模量 简布公式 （ Janbu，1963）
3 Ei KPa P a
应力分量与应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
应力计算
z
• 正应力：压为正
zy xy xz x
z
zx yx y yz
• 剪应力： 正面 - 与坐标轴方向相反为正 负面 - 与坐标轴方向相同为正
x y
zy ：z为作用面法向； y为剪应力方向
土力学中应力符号规定
土的本构关系
d vp q M p d dp
d vp M 2 q p 2q p d dp
球应力张量与偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z
C 等倾面
3 2
z
B x
1
A
y
x y
应力主轴坐标系
八面体面
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z
C 2 oct 1 oct A y 3 平均主应力 广义剪应力
对八面体面ABC，作用在该面上的 正应力和剪应力分别称为八面体正 应力oct 和八面体剪应力oct：
土的本构关系
土的本构关系
1 概述
土的本构关系 Constitutive relationship 土的本构定律 Constitutive law 土的本构方程 Constitutive equation 土的数学模型 Mathematical model
是反映土的力学性状的数学表达式， 表示形式一般为应力—应变—强度— 时间的关系
• 土体处于极限平衡状态 • 滑动块体间力的平衡 • 刚体+理想塑性计算安全系数
现代土力 学分析方法
应力变形的 综合分析
计算机数值模拟计算 • 土体的本构模型 • 数值计算方法：有限元等 • 应力变形稳定的综合分析
模型试验：如离心机模型试验
本构关系与土力学分析方法
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1.5 1.4 1.3
p0 , e0
a
e
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1
p0 , e0
b
e
1.2 1.1 1 100 300 500 p/kPa 700 900
100 p/kPa
1000
正常固结土等向压缩试验的抽象 （Roscoe等，1963）
e e0 ln
3
54º 44
Q
PQ
O
1
1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3 2 2J 2 q 3
3 oct
主应力空间与平面
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1
A S
P O B 2
Q C 3
2 2 1 3 3 ( 1 3 ) 3 2b 1 3
0 2 4 6 8
卸载 体缩
1
v
p
e
1 (%)
单调与循环加载的三轴试验曲线 （承德中密砂）
第二章 土的本构关系
2.3 土的应力变形特性
滞回圈、应变软化和减载体缩
循环加载过程中的特性
第二章 土的本构关系
3 土的应力变形特性
压硬性讲的是土在压缩过程中所表现出的模量随密
度增加而增大的特性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
q p
1.5
饱和重塑粘 土应力比与 塑性应变增 量比的关系
-4
试验规律 剪胀方程
1 0.5 0
d vp d dp
0
-3
-2
-1
Rowe的剪胀理论(1962) 原始Cam-clay模型剪胀方程（ 1963 ） 修正Cam-clay模型剪胀方程（1968）
八面体应力
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
1
A S
OS： 空间对角线 与三个主应力轴的夹角成 54º 44 ABC：与OS垂直的面，称平面， 1+2+3=常数
P O B 2 A
Q C 3
2
1 OQ ( 1 2 3 ) 3 oct 3I1 3
• 洛德角：平面上的角度
三个独立的应力参数P、q和可以确 定应力点P在应力空间的位置
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
三轴应力状态： 3
• 平均主应力 • 广义剪应力
1 1 p (1 2 3 ) (1 23 ) 3 3
q 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
土的基本变形特性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
土的应力应变关系通常从开始就不是线弹性的
q = 1- 3
密砂、超固结粘土
非线性
松砂、正常固结粘土
应变硬化 应变软化
1 v
土的基本变形特性- 非线性
土的本构关系
3 土的应力变形特性
弹塑性、滞回圈、卸载体缩
400
q
200
滞回圈
本构关系的定义
土的本构关系
1 概述
体积力 面 力 静(动) 力平衡
位 移
本构方程
应力 应 变
几何 相容
本构关系在应力应变分析中的作用
土的本构关系
1 概述 • 弹性理论计算应力 • 压缩试验测定变形参数 • 弹性理论+经验公式计算变形
变形问题 （地基沉降量）
传统土力 学分析方法
稳定问题 （边坡稳定性）
2 2 2
应力张量的应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
ij
12 13 m 0 0 11 m 0 0 m 22 m 23 21 32 33 m 0 0 m 31
n
土的基本变形特性- 压硬性
第二章 土的本构关系
2.3 土的应力变形特性
描述剪切过程中剪应力变化对体积应变产生的影响。
剪胀模型
剪缩模型
广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，包括“剪胀”和“剪缩”。
其实质是由剪应力引起土颗粒位置和排列变化，而使颗粒间的孔
隙增大或减小，发生的体积变化
土的基本变形特性- 剪胀性
ij
应力张量
mij
球应力张量
1 sij ij kk ij 3
偏应力张量
m球张量分量，其物理意义代表作用于该点的平均 正应力或静水压力分量，其值为m=I1/3
球应力张量与偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
12 13 s11 s12 s13 11 m 1 sij ij ijkk s s s 21 22 m 23 21 22 23 3 32 33 m s31 s32 s33 31
1 I oct (1 2 3 ) m 1 3 3
oct 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 J 2 3 3
x
B
1 I p oct (1 2 3 ) 1 3 3
q 1 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2 oct
2 1 3
• 应力洛德角
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
• 三轴压缩试验（ >=3 ）： = -30º • 三轴伸长试验（ =>3 ）： = 30º
常用的三个应力不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应变
与应力的情况相似 体应变
第一应力不变量 第二应力不变量
I1 x y z 1 2 3
I2 x y y z zx xy yz zx 1 2 2 3 3 1
2 2 2
第三应力不变量
I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy 1 2 3
性质。它应该体现在最简单的饱和重塑正常固结粘 土中，该种土的典型力学特性表现为：
非线性：应力应变关系从开始就不是线弹性的 压硬性：随平均应力p的增加而变密实，压缩模量提高 剪胀性：受广义剪应力q加载时伴有体积的变化 摩擦性：抗剪强度qf随p的增加而增大，比值qf/p保持常量
以上四种基本特性是土与其它材料的根本区别， 直接控制土的应力应变关系
tg
平面
：PQ和σ'2垂线之间的夹 角，以PQ起逆时针为 正
• 洛德参数
2 2 1 3 1 3
应力洛德角
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
3
平面
S
Q O 1 R P 2
• 平均主应力p：平面的位置OQ
• 剪应力q：平面上到Q距离PQ
1 J 3 S ijS jk S ki 3 1 ( 21 2 3 )( 2 2 1 3 )( 2 3 1 2 ) 27
偏应力张量的不变量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
球应力张量分量，其物理意义代表作用于该点的 平均正应力或静水压力分量。在弹性和经典塑性 理论中，只产生体应变，即只发生体积变化而不 发生形状变化 偏应力张量，其物理意义代表作用于该点的纯剪 应力分量。在弹性和经典塑性理论中，只产生剪 应变，即只发生形状变化而不发生体积变化
sij偏应力张量，其物理意义代表作用于 该点的纯剪应力分量
偏应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
J1 Skk 0
1 1 2 2 2 2 2 2 J 2 S ιjS ιj (σ1 σ 2 ) (σ 2 σ 3 ) (σ 3 σ1 ) 6 σ12 σ 23 σ 31 2 6
xy y zy 12 22 32
xz yz z 13 23 33
二阶对称张量，具
有6个独立的分量
应力分量与应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
6个独立变量用 矩阵表示，常用 于数值计算
x y z ＝ xy yz zx
1. 应力张量 2. 应力张量的坐标变换 3. 应力张量的主应力和应力不变量
4. 球应力张量与偏应力张量
5. 八面体应力 6. 主应力空间与平面 7. 应力洛德角
应
力
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
z zx yx y yz
zy
xy
xz x
x ij yx zx 11 21 31
基本特性
亚基本 特性
关联基 本特性
屈服特性 正交流动性 相关联性 共轴特性 临界状态特性等
非线性 压硬性 剪胀性
摩擦性
应力历史依存性 应力路径依存性 各向异性 结构性 蠕变特性 颗粒破碎特性 温度特性等
土的本构关系
3 土的应力变形特性
基本特性是指直接影响土应力应变关系的最根本的
广义剪应变 应变洛德角
v kk 1 2 3 I1
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
tg
2 2 1 3 3 ( 1 3 )
应
变
土的本构关系
3 土的应力变形特性
2 应力和应变 – 应力
摩尔圆
zx
z +
(z,zx)
-
O
xz
x
(x,xz)
• 正应力：压为正，拉为负 • 剪应力：外法线逆时针为正；顺时针为负
土力学中应力符号规定
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
主应力方程：
I1 I 2 I3 0
3 2
p p0
土的基本变形特性- 压硬性
第二章 土的本构关系
3 土的应力变形特性
压硬性讲的是土在压缩过程中所表现出的模量随密
度增加而增大的特性
承德中密砂在不同 围压下的三轴试验 曲线
三轴应力应变曲线初始模量 简布公式 （ Janbu，1963）
3 Ei KPa P a
应力分量与应力张量
土的本构关系
2 应力和应变 – 应力
应力计算
z
• 正应力：压为正
zy xy xz x
z
zx yx y yz
• 剪应力： 正面 - 与坐标轴方向相反为正 负面 - 与坐标轴方向相同为正
x y
zy ：z为作用面法向； y为剪应力方向
土力学中应力符号规定
土的本构关系