固体物理学：第一章 晶体结构3

原胞也称初基晶胞，或固体物理原胞，求解固体性质， 只需要在一个原胞内进行即可。比如已知原胞内距端点 r 处的某种性质，则通过格矢平移后所有 r′位置处的性质都 是相同的。
这里，我们充分地利用了晶体中原子做周期性排列的特点， 给求解晶体性质带来了极大的简化。
四、点阵类型：约定使用惯用晶胞表示点阵类型
很多图案也具有周期排列：其排列方式也可以 用二维斜方点阵表示。
· ·
· ·
晶体点阵实例： 刚性单原子的正方堆积结合成元素晶体： 二维情况可以用正方点阵表示其周期排列方式。 三维情况可以用简立方点阵表示其周期排列方式， 具有简立方周期排列的元素晶体只有钋（Po）。
Po ：a = 3.34， （10－10 m）
以格点为中心，取 和近邻格点连线垂 直平分线（面）围 成的面积（体积） 为原胞。
这种选取方法是唯 一的，一种点阵对 应一种形式的 Wigner-Seitz 原 胞 。
• 在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原胞方法很 少用
* 因为很少有需要，同时也不方便 * 很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置 * 这时是将基矢确定的平行六面体当作边界 • 有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定鄂方程时方法，
4. 在 满 足 上 述 原 则 的 前 提 下 尽 可 能 选 用 原 胞 作 惯用晶胞。
小结：晶体点阵（布拉菲格子）
1. 晶体点阵是一个无限延展的点阵，点阵内所有阵 点完全等价。晶体点阵是等价点的集合。
2. 晶体点阵代表了晶体最本征的特性，即：晶体具 有平移对称性。
3. 晶体点阵是晶体原子周期排列方式的高度概括和 近似描述，一种点阵可能代表了许多种晶体的原 子周期排列方式。
以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量，可 以把原胞复制满空间。
二维点阵的基矢和原胞
a2
Ⅲ
Ⅰ a1
a2 Ⅱ a1
a2 Ⅳ a1
a2
Ⅰ
a1
这是一个二维简单斜方点阵，原胞和基矢的选取都 不是唯一的，但一定有相同的面积。一般我们选Ⅰ 为代表该点阵的原胞，称作斜方点阵。
另一标准选取法：Wigner-Seitz原胞
点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不 动的操作。有限大小的物体，只能有 点对称操作。
对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映 面等。
一些图形的对称操作：
●
●
如何科学地概括和区别四种图形的对称性？
从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形 只能旋转 , , 3 才保持不变；后2个图形只有 2 的旋转。
第一章 晶体结构
1.1 晶格 1.2 对称性和布拉维格子的分类 1.3 几种常见的晶体结构 1.4 倒格子和布里渊区 1.5 晶体结构的实验确定
参考： 阎守胜《固体物理基础》第二章 黄昆、韩汝琦《固体物理学》第一章 Kittel 《固体物理导论》一、二章
晶体形态
晶体具有规则的外形， 明显的宏观对称性，遵 守晶面角守恒定律。存 在特定的解理面。
除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述?
一、对称性的概念
一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或 图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定 的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整 个物体（或图形）保持不变的性质。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间 的距离保持不变的操作。
晶体结构＝晶体点阵＋基元
二维正方点阵
点阵学说最早在1848年由Bravais提出，所以 晶体点阵又称布拉菲格子（ Bravais lattice ）， 也叫空间格点（Space lattice ）。
Auguste Bravais
(1811-1863)
描 述 晶 体 表 面 原 子 排 列 的 二 维 长 方 点 阵
CsCl：4.11×10-10 m ; CuZn：2.94×10-10 m ;
AlNi： 2.88
LiHg：3.29
AgMg：3.29
TlBr： 3.97
晶体结构 ＝晶体点阵 ＋ 结构基元
反映原子周期 排列的方式
反映周期排 列的内容
它是等同点的集合，反映的 是理想的、无限大的、没有 缺陷的晶体中，原子排列的 情况。是抓住晶体核心特点 后的一种高度概括，将在晶 体理论中起到极其重要作用。
2. 刚性原子的密堆积排列： 按ABAB规律层状排列，形成密堆六角点阵：
原 子 六 角 密 堆 (ABABAB…) 排 列形成六角结构，每个原子由 12近邻，晶体基元有2个原子。
具有密堆六方点阵排列的元素晶体有： Be,Mg,Zn,Cd,Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,等 化合物晶体也很多。
CsCl结构中的原子排列 ＝ 简立方点阵＋ CsCl
除去元素晶体外，很多化合物晶体的原子也都具
有这种周期排列方式，都可以用简立方点阵表示。例 如：CsCl 等，只是此时的基元不是一个原子，而是 CsCl分子，和CsCl晶体相同结构的化合物还有很多， 它们的原子排列方式完全相同，只是原子之间的距离 不同罢了。
按体心立方点阵排列，单原子晶体原子的最近邻是8
具有体心立方点阵排列的元素晶体有：
Li,Na,K,Rb,Cs,Ba,Cr,Nb,Ta,W等，它们原 子的空间排列方式都相同，只是原子间距有所 不同。例如：
Li： a=3.49, Ba a=5.02, Fe a=2.87, V a=3.03, Cr a=2.88, Ta a=3.30, W a=3.16, (单位10－10 m)
22
圆形的任一直径都是对称线；正方形只有4条连线是对称线；
等腰梯形只有两底中心连线是对称线。
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，
使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保
持两点距离不变的变换： x ' a11 a12 a13 x
数学上可以写作：
wk.baidu.com
y z
' '
a21 a31
a22 a32
晶体 Be Mg Zn Cd Co Lu Gd
c/a 1.633 1.623 1.861 1.886 1.622 1.586 1.592
按ABCABC规律层状排列构成面心立方点阵：
具有面心立方点阵结构的元素晶体很多，有：
Cu,Ag,Au,Al,Ca,Pb,Pt,金刚石,Si,Ge,Sn等化合物晶体也很多，
二 维
● a1 ● ● a2 Ⅱ
●●● Ⅲ
a2
●
正 方
● ● a ● ● ● ●a1 ●
点 阵
1
●●●●●●●
的
原 ●●●●●●●
胞
选 取 ●●●●●●●
●●●●●●●
三维点阵的原胞是一个平行六面体，简立 方点阵的原胞通常选用一个简立方体代表。
a1 a2 a3
a2
a1
a3
原胞参量定义
三、晶体点阵（布拉维）格子的数学表示
切 切点 点
最终被切开
1.1 晶格（Crystal lattice）
一、什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原子在空间 做有规律的周期性排列的结果。
为了更好地观察、描述晶体内部原子排列的方式，我们 把晶体中按周期重复排列的那一部分原子（结构单元,基元） 抽象成一个几何点来表示，忽略重复周期中所包含的具体结 构单元内容而集中反映周期重复方式，这个从晶体结构中抽 象出来几何点的集合称之为晶体点阵，简称晶格（crystal lattice）。
需要边界具有一定的对称性
* 比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞 * 比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞 • 而确定原胞和选择基矢才是最重要的 * 原胞大，处理的原子数就多 • 倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对应的称为
布里渊区，构造方法与W-S原胞相同
●●●●●●●
a2 Ⅰ
1.2 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近 邻和次近邻的原子数,若立方边长为a,写出最近邻和 次近邻的原子间距。(黄昆书1.7；kittel 1.3)
1.2 对称性和布拉维格子的分类
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
正方点阵
六角点阵
简单长方点阵
有心长方点阵
惯用晶胞参量：三个边长及三个边的夹角：
a,b,c,, ,
表示点阵类型的惯用晶胞选取方法：
1. 尽可能选取高次对称轴为晶轴方向。 2. 晶胞的外形尽可能反映点阵的对称性。
3. 独 立 的 晶 胞 参 量 最 少 ， 并 尽 可 能 使 晶 轴 夹 角 为直角。
代表性的有：碱金属和卤族元素的化合物，如NaCl ， KBr 等.
Cu a=3.16
NaCl a=5.63,
Ag a=4.09
KBr a=6.59,
Al a=4.05
MgO a=4.43,
Au a=4.08
MnO a=4.43,
Ca a=5.58
AgBr a=5.57,
Ni a=3.52
KCl a=6.29,
可以是一个原子 可以是一个分子 可以是一组原子 可以是分子集团
思考： 二维蜂房端点组成的阵列是点阵吗？
二、原胞和基矢
既然点阵是等同点的集合，我们只要绘出一 个点阵的最小周期单元（一个阵点及相应空间） 即可，这个最小的周期重复单元称作点阵的原胞 （Primitive cell ）。
二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的 原胞是平行六面体。
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。
请思考它们的对称操作？
二、晶体中允许的对称操作
人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原 子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵 表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操 作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对 称操作数目，可以证明：不论任何晶体，它的宏观对称 元素最多只可能有10种
六角相绿玉
单斜相石膏
晶体的上述特点给出了 晶体中原子具有周期性 排列的线索。
1848年Bravais提出用晶 体点阵来表述晶体中原 子周期排列的方式，成 为固体理论的基础。
三角相石英 非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
0 1
反演：（Inversion )
1, (i)
x, y, z x, y, z
反映（Reflection )
m, （Z=0 的平面）
恒等操作
1(E)
1 0 0
Aij
0
1
0
0 0 1
1 0 0
Aij
0
1
0
0 0 1
1 0 0
Aij
0
1
0
0 0 1
表示对称操作的符号有两种，这里用的是国际符号。
布拉维格子（ Bravais lattice）可以看成是矢量
所代表的全部点的集合。l1、l2、l3取整数,这样定义表明：晶体点
阵是无限大的。
原胞参量：
,α, β, γ
原胞（Primitive cell）是晶体中最小的周期性重 复单元。原胞常取以基矢为棱边的平行六面体，体 积为：
原则上，原胞可以有多种取法，只要是晶体的最 小重复单元即可。但无论如何选取，原胞均有相同的 体积，每个原胞只含有一个格点。为了统一起见，人 们约定成俗地为每种点阵规定了代表该点阵的惯用晶 胞，它可以是原胞，它也可以是原胞的整倍数。
NaCl及CsCl结构中的原子排列
见 kittel p15
六、体心和面心立方点阵的基矢和原胞
体心立方的维格纳－赛茨原胞，是截角八面体，或 者说是一个十四面体。
面心立方点阵的维格纳－赛茨原胞，是一个正十二 面体。
习题
1.1 如果将等体积球分别排成下列结构，求证钢球 所占体积与总体积之比为：(黄昆书1.1) 简立方：0.52；体心立方：0.68； 面心立方：0.74；
a23 a33
y z
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕 z 轴旋转θ角
a11 a12 a13
Ai
j
a21
a22
a23
a31 a32 a33
cos sin 0
Ai
j
sin
cos
0
0
4. 可以证明：二维空间存在着 5 种点阵类型；三维 空间存在着14种点阵类型。
五、晶体点阵的实例 1. 刚性原子球在一个平面内呈现为正方形排列，这样
的原子层叠加起来得到简单立方格子。
按简立方点阵排列，单原子晶体 原子的最近邻数（配位数）是 6
刚性原子的正方排列,层间交错而排，原 子排列的周期性可以用体心立方点阵表示。