建筑力学课件 第十八章 位移法

根杆件都变成单超梁，求得两端的转角 位移和垂直于杆轴的相对线位移，则各 杆的内力均可根据公式（18-1）～（186）确定。由于超静定结构中的杆件是 在结点处相互连接的，汇交于某刚结点 处的各杆杆端位移相等，且等于结点位 移。因此，在位移法中，基本未知量应 是刚结点的转角位移和结点线位移。在 计算时，应首先确定刚结点转角位移和 独立的结点线位移的数目。
18.3 位移法的基本未知量与基本结构
2．独立的结点线位移
在超静定梁及刚架的计算中，为了减少基 本未知量的个数，使计算得到简化，通 常忽略各杆的轴向变形对位移的影响， 并假设结点转角θ和各杆弦转角φ都是微 小的。因而认为受弯直杆两端之间的距 离在变形后仍保持不变，这样，每一根 受弯直杆就相当于一个约束，从而减少 了独立的结点线位移数目。
其MB中A弧弯线矩的M箭AB弧尾线在的上箭面尾为在上下侧面受为拉下。侧受拉，弯矩 （3）将弯矩的竖标值画在杆端的受拉侧，并连虚线； （4）用区段叠加法作出该杆的最后弯矩图（由于AB杆
段无荷载，所以可以将虚线直接变成实线），如图 18-7（b）所示。
18.2 位移法的基本原理
归纳上面位移法的思路，其过程如下：
1．位移法是以结点位移（刚结点转角为其中之一）作为 基本未知量，通过添加附加约束限制结点位移（附加 刚臂限制刚结点的转动，其他形式的结点位移用其他 约束限制），使原超静定结构变成若干单超梁的组合 体，即位移法求解超静定结构的基本结构；
2．在添加附加约束处列出平衡条件。例如附加刚臂限制 了刚结点的转动，所以建立的平衡条件为力矩平衡条 件；
M AB
3i A
3i
l
M
F AB
M BA 0
（18-3）
FsAB
3i l
A
3i l2
FF sAB
FsBA
3i l
A
3i l2
FF sBA
（18-4）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
3．一端固定另端定向单超梁的转角位移方程：如图18-
5（c）所示，一端固定另端定向单超梁受到支座移动 与各种荷载同时作用，其中杆端A的角位移为θA，梁 上还作用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：
BC
18
14
而M
ql 2 2iZ
AB
1 28
18.2 位移法的基本原理
求得各杆的杆端弯矩以后，就可以应用区段叠加法作出 连续梁的最后弯矩图，如图18-6（d）所示。
18.2 位移法的基本原理
将其中作AB杆作弯矩图的步骤，介绍如下： （1）根据杆端弯矩的正负确定弯矩弧线的转向，由于
M方A向B和的M；B如A都图为18正-7，（所a）以所弯示矩。弧线绕杆端都是顺时针 （2）根据弯矩弧线的箭尾确定杆端的哪一侧为受拉侧，
弦转角产生顺时针转动为正,反之为负,如图18-2（b
）所示。
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
2．荷载：作用在单超梁上的荷载，一般有均布 荷载、集中力、集中力偶三种，如图18-3（a ）、（b）、（c）所示，其中均布荷载和集 中力经常以向下为正，集中力偶以顺时针形 式出现。
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
表18-1 单超梁的杆端内力（1）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
表18-1 单超梁的杆端内力（2）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
表18-2 单超梁的固端内力（1）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
表18-2 单超梁的固端内力（2）
18.2 位移法的基本原理
基本结构原来已受荷载作用,再使B点处的附加刚臂转过
与实际变形相同的转角Z1=B（Z1是刚结点的转角,为
位移法的基本未知量,由于Z1又是单超梁的支座位移, 所以先假定为正,即按顺时针方向转动）,就可使基本 结构的受力和变形与原结构相同[图18-6 (c)],因此可 以用基本结构代替原结构进行计算。
18.2 位移法的基本原理
如图18-6（a）所示等截面连续梁，设各杆的抗 弯刚度都等于EI，线刚度都为 i EI（i=EI/l） ，在均布荷载作用下产生如图中虚l 线所示的 变形。其中杆AB和杆BC在B点处刚性连接，
在B端两杆产生Байду номын сангаас同的角位移B。
18.2 位移法的基本原理
位移法研究时，设想将该连续梁的两根杆件经过处理， 变成如图18-6（b）所示的单超梁，其中杆AB为两端
。其中固端弯矩与上面杆端弯矩一样，也规定绕杆端
以顺时针为正，绕支座（或结点）以逆时针为正；固
端剪力仍然规定绕杆端或绕支座（结点）以顺时针为
正。
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
为了计算方便,将三种单超梁受支座位 移作用引起的杆端内力全部用力法 求得,并列于表18-1中,其中 i EI 称为单超梁的线刚度；将单超梁l 受 荷载作用引起的固端内力也全部用 力法求得,并列于表18-2中。
三、单超梁在外因作用下的杆端内力
1．单超梁受支座位移作用引起的杆件两端的内力——杆 端内力
单超梁在支座位移作用下，梁的支座反力及内力都可以 用上一章介绍的力法求得。在位移法中，将单超梁由 于支座位移作用引起的杆件两端的内力，称为杆端内 力表示，。分其为中杆杆端端弯弯矩矩与规杆定端绕剪杆力端，以分别顺用时M针A为B、正F，SA绕B等支 座（或结点）以逆时针为正；杆端剪力仍然规定绕杆 端或绕支座（结点）以顺时针为正，如图18-4（a） 、（b）所示。
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
一、等截面单跨超静定梁的概念
在位移法计算超静定结构时，常需要把杆件看作等截面 单跨超静定梁，而各杆两端的位移视为单跨梁的支座 位移。所谓等截面单跨超静定梁，顾名思义就是杆件 的横截面都相同、只有一跨的超静定梁（以下简称为 单超梁），这样的梁有三种形式，分别是两端固定的 单跨超静定梁、一端固定一端铰支的单跨超静定梁和 一端固定一端定向（滑动）的单跨超静定梁，如图 18-1（a）、（b）、（c）所示。
3．根据公式（18-1）～（18-6）分别列出各单超梁在原 荷载以及支座位移共同作用下的杆端内力表达式；
4．将表达式代入到平衡条件中，求出结点位移值； 5．将求得的结点位移值再代回到杆端内力表达式中，求
出各杆端最后内力，作出最后内力图。
18.3 位移法的基本未知量与基本结构 一、位移法的基本未知量 由上节内容可知，如果将超静定结构上每
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
表18-2 单超梁的固端内力（3）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
四、单超梁的转角位移方程
如果单超梁受到支座移动（包括支座 转角和支座杆端相对线位移）与各 种荷载同时作用，则根据叠加原理 ，其杆端内力可以由表18-1和表182中的相应栏目相叠加后得到。
建筑力学 第十八章 位移法
第十八章 位移法
【引言】 与力法相应，位移法是分析超静定结构的另一
种基本方法。力法是以结构中的多余未知力 作为基本未知量，通过结构的变形条件建立 力法方程求出多余未知力后，再求出结构的 其它未知力。然而，在一定的外因作用下， 对于线弹性结构，结构的内力和位移之间恒 具有一定的关系。因此，在结构计算时，也 可以将结构中的某些未知位移作为基本未知 量，先根据结构的平衡条件求出这些基本未 知量，然后利用位移与内力之间的关系求出 相应的内力。这个方法是以未知的结点位移 作为基本未知量，故称为位移法。
2i B
6i
l
M
F AB
M
BA
2i A
4i B
6i
l
M
F BA
（18-1）
FsAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF sAB
FsBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF sBA
（18-2）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
2．一端固定另端铰支单超梁的转角位移方程：如图18-5 （b）所示，一端固定另端铰支单超梁受到支座移动 与各种荷载同时作用，其中杆端A的角位移为θA，A、 B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为Δ，梁上 还作用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：
18.3 位移法的基本未知量与基本结构
如图18-8(a)所示刚架，A、B、C均为固定支座，它们的 转角为零；结点E为铰结点；D、F都是刚结点，分别 产生结点角位移D和F，在位移法中，未知量都用Z 表示，结点角位移D和F分别用Z1和Z2表示。因此，
该刚架有两个刚结点转角位移。为了限制刚结点的转 角位移，需要在刚结点上施加附加刚臂“ ” 。
18.2 位移法的基本原理
研究基本结构上B点的平衡[图18-6 (c)]，根据∑MB=0 ,可 得：
MBA+ MBC=0
（a）
其中MBA和MBC都为单超梁的杆端弯矩，对图18-6 (b)可 以按公式（18-1）～（18-6）计算，即：
M BA
4iZ 1
，
ql 2
M 3iZ
BC
18
（b）
18.2 位移法的基本原理
固定梁在B端发生角位移B；杆BC为B端固定、C端铰
支的梁，在梁上受均布荷载作用，并在B端发生角位
移B。则如果能求得单超梁的支座转角B，单超梁即
可以按照公式（18-1）～（18-6）计算杆端内力，作
最后内力图。下面介绍如何计算角位移B。
18.2 位移法的基本原理
为了将图18-6 (a)转化为图18-6 (b)进行计算，我们假设在 连续梁结点B处加入一附加刚臂，其符号为“ ”， 如图18-6 (c)所示，附加刚臂的作用是约束B点的转动 ，而不能约束移动。由于结点B原来无线位移，所以 加入此附加刚臂后，B点就不能产生任何位移了，即 相当于固定端。于是原结构变成了AB和BC两个单超 梁的组合体，我们称该组合体为位移法的基本结构。
（a）
（b）
（c）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
二、作用在单超梁上的外因 作用在单超梁上的外因，分为有两种：一种是支座位移
，另一种是荷载。 1．支座位移：又可以分为支座转角和支座杆端相对线位
移两种。
（1负），支如座图转1角8-：2（Aa、）所B，示规。定以顺时针转为正，反之为 （2）支座杆端相对线位移：,规定使杆端A、B连线的
18.3 位移法的基本未知量与基本结构
由此，图18-8 (a)所示刚架，A、B、C是固定端,由于AD 、BE、CF两端距离保持不变,因此在微小位移的情况 下，结点D、E、F都没有竖向位移。结点D、E、F虽 然有水平线位移，但由于杆DE、EF长度不变,故三结 点D、E、F均有相同的水平位移,用Z3表示。所以,该
将M式BA中和，M可BC得的：表达式（b）代入到上ql面2 的平衡方程（a）
ql 2
4iZ 3iZ 0
1
18
解得：Z1 56i （ ）
求得Z1为正，说明转角Z1（B）与假设方向一致，为顺
时针方向转动。将其代入到式（b）中，可得
ql 2
M 4iZ
BA
1 14
ql2 ql2
M 3iZ
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
2．单超梁受荷载作用引起的杆件两端的内力——固端内 力
单超梁在荷载作用下，梁的支座反力及内力仍然都可以
用上一章介绍的力法求得。在位移法中，将单超梁由
于荷载作用引起的杆件两端的内力，称为固端内力，
分为固端弯矩与固端剪力，分别用
MF AB
、FSFAB
等表示
，其中上角标F表示固端内力是由于荷载作用引起的
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
1．两端固定单超梁的转角位移方程：如图18-5（a）所 示，两端固定单超梁受到支座移动与各种荷载同时作 用，其中杆端A和B的角位移分别为θA和θB，A、B两 端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为Δ，梁上还作 用有外荷载，则其杆端弯矩和剪力分别为：
M
AB
4i A
18.3 位移法的基本未知量与基本结构 1．刚结点的转角位移 由于变形协调，汇交于同一刚结点处各杆
端的转角相等且等于刚结点的转角。所 以，每一个刚结点只有一个独立的转角 位移。在结构的固定支座处，其转角为 零或是已知的支座位移；铰结点或铰支 座处的杆端转角不是独立的位移，确定 杆件内力时并不需要知道它们的数值， 可不作为基本未知量。因此，刚结点转 角位移未知量的数目就等于刚结点的数 目。
M AB
i A
M
F AB
M BA
i A
M
F BA
（18-5）
FsAB
FF sAB
FsBA 0
（18-6）
18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程
上面的公式（18-1）～（18-6） 称为等截面单超梁的转角位移 方程。它反映了杆端内力与杆 端位移及所作用荷载之间的关 系。
该6个公式今后可以直接应用。