力法位移法总结

在支座 位移条 件下内 力计算
当用位移法分析支座位 移、温度变化等非荷载因素 引起的内力时，基本原理及 解题步骤与在荷载作用下相 同，只是位移法中自由项应 该是由支座位移、温度变化 等作用所引起的基本结构中
除与支座相应的多余约束，可以减少Δ ic 项的计算。
在温度 改变作 用下内 力计算
（1） 注意杆件伸长/缩短对自 由项Δiz 符号的影响； （2）力法方程中自由项Δiz 可利用静定结构由于制造误 差产生的位移计算公式求出； （3） 计算内力列平衡方程时， 不考虑截断链杆的微量缩短 及各杆轴向变形对杆件尺寸 的影响仍采用原尺寸。
（1）一般应以切断（而不是去掉）多余链杆的结构作 位移法解桁架结构，以结点线位移为基本未知量，链杆的刚度方程为 FN=EAΔ/l，基本方 为基本结构，若选取了去掉多余链杆的结构作为基本 程为结点的平衡方程。 结构变形（伸长为正，缩短为负）； 位移法解组合结构，以组合结点的角位移和线位移为基本未知量。刚性杆和链杆组 （2）力法方程中自由项:链杆只考虑轴力影响，梁式 合体系， 以刚性杆独立的角位移和线位移为基本未知量基本方程为结点和截面平衡方程。 杆件(刚架杆件)只考虑弯矩影响。
一些特 殊情况 下的计 算
含有弹 性支承 的超静 定结构
(1)若去掉弹性支承，则典型方程右边为基本 结构和荷载共同作用下沿 X 方向的位移，原结 构在弹性支承点处的位移不为零，典型方程右 边应为-Xi/k； (2)若保留弹性支承，则在计算系数δij 和自 由项ΔiP 时应考虑支座位移的影响， 即力法方 程中柔度系数和自由项均应包括两部分：一部 分是杆件变形引起的位移，另一部分是弹性支 座引起的刚体位移，两者线性无关。
力法
准备知识 基本未知量 基本结构 基本方程 基本方程系数 基本方程自由项 平衡条件 应满足 变形条件 条件 物理条件
应用叠加原理的环节 静定结构位移计算 力-多余未知力 Xi 去掉多与约束后所得的静定结构 变形协调方程 柔度系数-单位力引起的位移 荷载等外因在基本结构中产生的位移 单位荷载作用下求基本结构的反力和内力 力法方程 求柔度系数与荷载作用下的自由项 列力法方程，求系数自由项时 叠加法作内力图 （1）确定原结构的超静定次数，选取合理的基本结构， 并将荷载和作为力法基本未知量的多余约束力作用于原 结构。
的附加约束力。 此时位移法方 程的物理含义为： 附加约束在 各关键位移和非荷载因素共 同作用下的约束反力等于零。
含斜 杆的 超静 定结 构
（1）斜梁&竖柱 斜梁两端的柱顶水平线位移相等，斜梁轴线平移。 （2）斜柱&水平梁 梁两端结点的线位移的关系可由位移图得到，各杆的相对线位 移与弦转角均取决于柱的倾角。
（2）建立力法方程，求出各柔度系数和自由项。应分别 作出各单位未知力以及荷载单独作用于基本结构时的单 位内力图（或写出内力表达式），再按照静定结构位移计 算的方法求出系数 δij 和自由项ΔiP。
（2） 列位 移法 方程
求解超 静定结 构 （3）解力法方程，得基本未知量，即多余约束力。
注意事项： （1）计算固端弯矩时，应注意若杆的铰端或者滑动支承端在杆件的左端时，应将查 表所得的固端弯矩变号； 在有侧移刚架中， 注意分清有侧移杆和无侧移杆， 在建立截面投影平衡方程 （沿 （2） 未知剪力方向）时，所作截面应截断与隔离体相关的全部由侧移杆，而不应截断无 侧移杆，对每跟有侧移杆，截断点选在杆上任一点均可，一般选在离结点最近的杆 端； 直接作用于刚结点上的集中力偶与集中荷载， 不要计入固端弯矩或固端剪力中， （3） 而应列入结点或截面平衡方程中，以免引起错误。
求解对称结构时，应选用对称基本结构，并选取对 称未知力和反对称未知力作为基本未知量， 可实现如下简 化： （1）对称单位力作用下，反对称位移（力法方程中 相应的副系数）等于零；反对称单位未知力作用下，对称 位移（相应的副系数）等于零； （2）在对称荷载作用下，反对称未知力等于零，只 考虑对称未知力； （3）在反对称荷载作用下，对称未知力等于零，只 考虑反对称未知力； （4）若选择了对称基本结构而基本未知力不对称 （也非反对称）时，可采用组合未知力法，将未知力分解 为对称与反对称两组分量， 形成组合未知力， 使计算简化； （5）在结点等高的对称刚架、排架上只作用结点集 中荷载， 则只有荷载的反对称分量产生弯矩， 荷载的对称 分量不产生弯矩； （6）结构若有两个对称轴，均应利用以简化计算。 以校核变形协调条件为主。 在求得结构的 M 图后， 可 在原结构任意基本结构上施加虚单位荷载，得到 Mi 图。 （1）对称结构，在对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相等，转向相反；对称位置 的线位移互不独立，未知量减少一半。在反对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相 等，转向相同，对称位置的线位移互不独立，未知量也减少一半。 对称结构在对称荷载或反对称荷载作用下可以取半边结构计算。 半边结构在原对称轴截 （2） 面切断处需加上与变形性质相当的约束，具体情况如下： 奇/偶数跨刚架在对称/反对称荷载作用下对称轴处截面应增加的约束 在对称荷载作用下 奇数跨对称刚架 偶数跨对称刚架 定向支座 固定支座 在反对称荷载作用下 竖向链杆 半结构，且中柱惯性矩减半（刚度减半）
对称结 构的计 算
注:用力法或其他方法解超静定结构时也可按照变形和内力与原结构等价的原则截取半边结 构计算。
包括平衡条件的校核和变形协调条件的校核
超静定结构计算 结果的校核
结构上某点的位移等于原结构的 M 图与 Mi 图图乘。若除 荷载外，结构还有支座位移、温度变化等其他因素，则所 求位移除图乘结果外， 还要加上结构在其他因素下产生的 位移。
在选取位移法基本未知量时已经考虑了变形连续条件，刚度系数计算较易，一般不易出 错，故位移法中以校核平衡条件为主。
由于杆 件制造 误差引 起的内 力计算
同，差别只是 力法典型方程 中的自由项不 再是由荷载引 起，而是由支 座位移、温度 变化或制造误 差等因素引起 的基本结构在 多余约束力方 向上的位移。
温度变化自内力在计算时，有温度变化引起的等效“固端弯 矩”可查表得到；由杆轴温度升降引起的杆轴伸缩变形将使 结点产生线位移， 并使相关杆件发生弦转角， 它所引起的 “固 端弯矩”可由转角位移方程求得。
含有 刚性 杆件 的超 静定 结构 含有 弹性 支承 的超 静定 结构
注意： （1）确定位移法基本未知量时，由于刚性杆不发生变形，只有刚体平移和转动，因 此其两端的转角和线位移互不独立。 （2）因刚性杆无弯曲变形，转动刚度为无穷大，不存在单杆的转角位移方程。因此， 不可能利用刚性杆两端刚结点的力矩平衡条件列出位移法基本方程，应建立弹性杆 杆端剪力的截面平衡方程。 （3）刚性杆虽然无变形，但可存在内力，在其他杆件内力求出后，可通过结点平衡 条件求得刚性杆杆端内力。叠加法作弯矩图对刚性杆仍然适用。 弹性支座的线位移或角位移也应作为基本未知量，弹性支座处同时也提供了一 个相应的力矩或投影平衡方程：弹性抗转支座处必能列出一个力矩平衡条件（与θ 对应），弹性支座处必能列出一个截面剪力平衡条件（与Δ对应）。弹性支座的刚 度系数是基本方程中主系数的一部分，且必为正值。和杆件弯曲变形有关的刚度系 数与自由项均与没有弹性支座时的结构相同。
（3）解位移法方程，解得基本未知量，即各关键位移。
（4）作出外荷载和多余约束力共同作用下基本结构的 内力图，即原结构的内力图（亦可根据叠加法求得内 （4）利用转角位移方程或根据叠加原理求各杆端力，并作出内力图。 力图）。 （1）超静定连续梁一般以向支座处插入铰得到的基本 结构求解较为简便； 求解超 （2）超静定结构中若带有静定附属部分，则该部分反 静定梁、 力和内力可直接根据平衡条件求得； 刚架 （3）计算时忽略轴向变形和剪切变形，只考虑弯矩的 影响。 求解超 静定桁 架 求解超 静定组 合结构 （1）刚性支座上的连续梁，以采用力矩分配法为宜，弹性支座上的连续梁以力法、位移 法为宜，采用位移法时注意弹性支座的特点（见下）； （2）刚架结构注意有无静定附属部分，以及是否有剪力静定杆，在有侧移刚架中注意区 分有侧移杆和无侧移杆；具有复杂牵连位移的结构应注意区分位移的独立性，确定独立 位移后可对瞬时转动中心取矩建立力矩平衡条件求解（含有斜杆，无穷刚杆时采用对瞬 时中心取矩的方法较易）。
若基本体系中保留了支座位移，则 必有自由项Δic，若基本体系中不保留 支座位移，则无Δic 项。如果原结构中 某个支座位移Δi 恰好与某一未知力 Xi 的方向相对应，则方程右边必不为零， 而应为（±）Δi。为简化计算，选择基 本体系时应尽可能去掉支座位移，即撤 用力法分 析非荷载因素 作用下的超静 定结构，其基 本原理及分析 步骤与与在荷 载作用下时相 在支座移动条件下，用位移法计算，基本未知量和基本 方程以及解题步骤都与荷载作用时一样，不同的只有固端力 一项，即由荷载产生的固端弯矩改变成由已知支座位移产生 的固端弯矩。具体计算时，可将给定的支座位移写入与其相 关杆件的杆端弯矩中作为等效的“固端弯矩”。
位移法
等截面直杆转角位移方程、形常数、载常数 关键位移-结点角位移θ、线位移Δi 加约束后所得的超静定结构 平衡方程 刚度系数-单位位移引起的约束力 荷载等外因在基本结构中引起的约束力 位移法基本方程 单杆杆端位移与结点位移相等 建立单杆转角位移方程 列位移法方程，列杆端力表达式 叠加法作内力图
解题的 一般步 骤及注 意事项
典型方程法 倾角变位法 应画出在附加刚臂和链杆约束下的基本 结构，并将外荷载作用于基本结构。 解除多余约束时应注意： 注意事项： （1） （1）撤除支座处一根支杆或截断一根链杆，相当于去除 （1）杆件自由端及滑动支承端的线位移、铰结点及铰支座处的杆端转角均不列入基 确定 1 个约束； 本未知量，无穷刚杆杆端若不发生转角，则与无穷刚杆相连的刚结点转角也不取作 基本 （2）撤除一个铰支座或撤除一个单铰，相当于去除 2 个 基本未知量； 未知 约束； （2）有侧移刚架中两端有垂直于杆轴的相对线位移的杆（即有弦转角的杆）是有侧 量： 角 （3）撤除一个固定支座或切断一根刚架杆件（梁式杆）， 移杆，无侧移杆沿杆轴方向的线位移不作为基本未知量； 位移 相当于去除 3 个约束； （3）在忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，两端均与竖柱平行的横梁，无论水 θ及 （4）将固定支座改为滑动支座，或者在刚架杆件（梁式 平的还是倾斜的其水平线位移均相同； 独立 杆） 上插入一个铰， 或是将铰支座或滑动支座改为单支杆 （4）若刚架中的有侧移杆都是剪力静定杆，则用位移法求解时，独立的结点线位移 结点 支座，均相当于去除 1 个约束。 可以不作为基本未知量。此时对于有侧移的剪力静定杆，无论其杆端连接刚结点还 线位 选择基本体系的原则： 是固定端，其转角位移方程一律与一端固定一端滑动杆相同； 移Δ （1）必须是几何不变体系，一般用静定结构； （5）组合结点（复铰结点）应将该处角位移计入基本未知量； （2）只能从原结构中撤除约束，而不能增加约束； （6）一根直杆刚度不同（变截面杆）时可将其视为两根杆件再判断基本未知量； （3）选择容易计算内力和位移的静定结构。 （7）角位移和线位移均不包括静定部分。 应先列出各杆件杆端弯矩表达式， 并根据 应先画出各单位弯矩图 Mi 图以及荷载 截面平衡条件列出相应杆件的杆端剪力 弯矩图 MP 图，并求出各系数和自由项。 表达式。
对称结构基本受力特点：在对称荷载作用下，结构的内力和变形都是对称的（剪力也是对称的，由于正负号规定导致剪力图反对称）；在反对称 荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的（剪力也是反对称的，由于正负号规定导致剪力图对称）。 注：一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，故只要结构对称就可考虑应用对称性，将正、反对称两组荷载作用下求得的内力进行叠加即 得原结构的内力。