第三章 二元关系

（4）整数集合I ＝ {…，-2，-l，0，l， 2，…} =｛xx是正整数,或零,或负整数｝ （5）偶整数集合 E ＝ {…，-4，-2，0，2，4，…} ＝{xx是偶数} ＝ {xxI且2x} (2x表示2整除x) （6）前n个自然数的集合 Nn＝{0，1，2，…，n-1} ＝ { x xN且0≤x＜n}
4、指出下列集合序列的排列规律，并依 此规律再写出两个后续集合： ，｛｝，｛,｛｝｝,｛， ｛｝，｛，｛｝｝｝，┅ 5、“如果AB, BC，那么AC‖对任 意对象A,B,C都成立吗？都不成立吗？举 例说明你的结论。 6、确定下列各命题的真、假； (1) (2) (3) ｛｝ (4) ｛｝
在集合论中，集合是一个不作定义的 原始概念（就像几何学中的点、线、面等 概念）。不过，上述关于集合概念的描述， 有益于对它的内涵和外延作直观的理解和 认识。 集合论的特点是研究对象的广泛性。 它总结出由各种对象构成的集合的共同性 质，并用统一的方法来处理。因此，集合 论被广泛地应用于各种科学和技术领域。
定义3 集合A称为集合B的子集合（或子 集，subsets），如果A的每一个元素都是B 的元素，即,若元素x属于A ,那么x属于B。 A是B的子集，表示为AB（或BA）， 读作“A包含于B‖（或“B包含A‖）。 A不是B的子集用AB来表示。 集合之间的子集关系或包含关系是集合 之间最重要的关系之一。读者必须彻底弄清 集合之间的子集关系和元素与集合之间的隶 属关系这两个完全不同的概念。
定理2 对任意集合A，A U。 此定理显然成立。 定理3 设A，B，C为任意集合，若A B , B C，则A C。 证.设x为A中任一元素．由于A B，因 此xB;又因为B C，故xC。这就是说， A的所有元素都是C的成员，故A C。 定理4 对任何集合A， A。 证 假设 A，即不是集合A的子集，于 是有元素x，但xA，而x与是空集 矛盾，因此 A。
§1 集合的概念与表示法 在中学的数学课程中,大家对集合及其元 素的意义已经有所了解,因此，下面我们做些 简要的回顾。 定义：具有某种属性事物汇集到一起组成的 一个整体称为集合，而这些事物就是这个集 合的元素或成员。 集合通常用大写字母来标记，如N、Z、 Q、R、C。用小写的英文字母a, b, c,…表示 集合中的元素。
设集合A = {1，, {1, 3 }}, 则A有23= 8个 子集，分别为：，{1}，{}，{{1，3}}，{1， }，{1，{1，3}}，{，{1，3}}，{1，， {1，3}}。 定义4 集合 A称为集合 B的真子集，如 AB且A B。“A是B的真子集”记为AB。 显然，空集 是所有非空集合的真子集。
例5 {a，b} {a，c，b，d}，{a，b，c} {a，b，c}，{a} {a，b}，但a {a，b}，只 有a {a，b} 。 不过存在这样两个集合，其中一个既是 另一个的子集、又是它的元素。例如，{l} {1，{l}}，且{1} {1，{l}}。 关于子集关系我们有以下定理和定义。 定理1 对任意集合A，B，A＝B当且仅当A B且B A 。特别地，对任意集合A, A A。 证.由外延性公理和子集定义立即可得。
例3
例2 之（l）（5）是有限集，其它
为无限集。{0，1}=2， ＝0，{} = 1。
即不同于{}，前者是没有任何元素的集合， 后者是恰含一个元素——空集的单元素集。
外延性公理（extensionality axiom）： 集合 A和集合B相等，当且仅当它们具有 相同的元素。也就是说，集合A,B满足A=B， 当且仅当对任意元素x，x属于A蕴涵x属于B; 反之,x属于B蕴涵x也属于A 。 例4 根据外延公理， {0，l}＝{ l，0}＝{x∣x(x2 - 2x＋ l)＝ 0} = {x x＝1或x＝0} 因此，外延性公理事实上也确认了集合成员 的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式 的多样性。
定理5 空集是唯一的。 证. 设有空集1, 2．据定理4，应有1 2和2 1，从而由定理1知1= 2。 定理6 设 A 为一有限集合，|A|=n，那么 A 的子集个数为2n。 证 集合A的子集有：没有元素的子集 ， 计C0n个; 恰含A 中一个元素的子集计C1n个, 恰含A中两个元素的子集计C2n个, … , 恰含A 中n个元素的子集计Cnn个。因此A的子集个 数为 C0n +C1n +…+Cnn =2n
因此必须注意，a不同于{a}，前者为一对
象a，后者为仅含该对象a的单元素集合；同样，
{a}≠{{a}}，{{a}}是仅含{a}的单元素集。 a作为A的元素时，并不排斥a作为集合的可 能性。同样，集合A也可能是别的集合的元素。
元素对于集合的隶属关系是集合理论 的另一基本概念。当对象a是集合A的成员 时，称a属于A，记为 a∈A 当对象a不是集合A的成员时，称a不属于 A，记为 aA 对任何对象a和任何集合A，或者aA或者 aA,两者恰居其一。这正是集合论对其元 素的“确定性”要求。
例如： (1) 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
(2) 所有的自然数看成是一个集合；
(3) 天津师范大学2005级的本科学生可以看成是一 个ห้องสมุดไป่ตู้合； (4) 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。 (5)―解放军理工大学所有学员队”的集合，其组成
对象是学员队，而不是学员，因为集合中对象是
整体识别的，尽管学员队又是学员的集合。
7、指出下列各组集合中的集合的不同之 处，列出每一集合的元素和全部子集： (1) ｛｝，｛｛｝｝ (2)｛a，b，c｝，｛a，｛b，c｝｝， ｛｛a，b，c｝｝ 8、设A，B为任意集合证明：如果对任意 的集合C，C A当且仅当C B，那么A＝ B。
§ 2 集合的运算 定义：设A，B是两个集合。所有属于A或者 属于B的元素做成的集合，称为A和B的并集， 记以A∪B。即A∪B={x| x A或x B} 例如，令A={a，b，c，d}， B={c，d，e，f}， 于是A∪B={a，b，c，d，e，f} 。 并集的文氏图A∪B
（12） C表示所有复数组成的集合
定义1 没有任何元素的特定集合称为空集， 记为，即＝{}＝{x P(x)恒假}；由全体 对象组成的集合称为全集，记为U，即U = {x P(x)恒真} 定义2 空集和只含有有限多个元素的集 合称为有限集（finite sets），否则称为无 限集（infinite sets）。有限集合中成员的 个数称为集合的基数（cardinatity）（无 限集合的基数概念将在以后严格定义）。 集合A的基数表示为 A 。
定义5 对任意集合 A，P(A)称为A的幂集 （power sets），定义为 P(A)={X|X⊆A} 即A的全体子集组成的集合是A的幂集。 由于，⊆A, A⊆A故必有 ∈P(A), A∈P(A)。 例7 (1) A=｛a，b｝时， P(A)＝｛,｛a｝,｛b｝,｛a，b｝｝。 (2) A=｛0，{1，2}｝时，P(A)＝｛,｛0｝, ｛1｝,{｛1，2｝}｛0，{1，2｝}｝。 我们曾指出，当集合A的基数为n时，A有2n 个子集，因此|P(A)|= 2n 。
请注意，这里“对象”的概念是相当普遍的， 可以是任何具体的或抽象的客体，还可以又是集 合，因为人们有时以集合为其讨论的对象，而又
需涉及它们的一个总体——以集合为其元素的集
合。例如，上例（5 ）的集合，以学员队集体为
其元素；又如集合{1，{1，2}，{1}，2}，数1，2
是它的成员，集合{1}和{1，2}也是它的成员。因 此，尽管集合与其成员是两个截然不同的概念， 但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。
例1 以下是常常要用到的一些集合以及它 们的表示。 （1）{0，l}＝{xx＝0或x＝l} （2）自然数集合N = {0，1，2，3，…} = {xx是自然数} （3）正整数集合I+ = {1，2，3，…} = {xx是正整数} （注意，这里我们所说的自然数集合与中 学课本定义的自然数集合略有不同, 它使自 然数集合有别于正整数集合, 自然数集合包 括数0,这是计算机科学的一个通常做法。）
定理7 设A,B为任意集合, A⊆B当且仅当 P(A)⊆P(B)。 证 先证必要性。设A⊆B。为证 P(A)⊆P(B)，又设X为P(A)中任一元素，从 而X⊆A。由于A⊆B，故X⊆B，从而有 X∈P(B)。P(A)⊆P(B)得证 再证充分性。设P(A)⊆P(B)，反设AB 不成立，那么至少有一元素aA，但aB 。 考虑单元素集合｛a｝，｛a｝∈P(A)，但 ｛a｝ P(B)，与P(A)⊆P(B)矛盾，AB得 证。
集合的表示方式主要有以下两种： （l）列举法：表示一个集合A时，将A中元素一一 列举，或列出足够多的元素以反映A中成员的特征， 其表示形如 A ＝｛a1，a2，…，an｝或 A =｛a1，a2， a3, …｝ （2）描述法；表示一个集合A时，将A中元素的特 征用一个性质来描述，其表示形式如 A =｛x P(x)｝或 A =｛x : P(x)｝ 其中P(x)表示“x满足性质P‖或“x具有性质P‖。A = ｛x P(x)｝或 A =｛x : P(x)｝的意义是：集合A由且 仅由满足性质P的那些对象所组成，也就是说 aA 当且仅当 a满足性质P（或P(a)真）
(5)｛a, b｝ ｛a , b , c,｛a， b，c｝｝ (6)｛a, b｝｛a， b， c，｛a， b，c｝｝ (7)｛a, b｝｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝ (8)｛a, b｝｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝ (9) 对任意集合A，B，C，若AB，B C 则AC。 (10) 对任意集合A，B，C，若AB，B C 则A C。 (11) 对任意集合A，B，C，若AB，B C 则A C。 (12) 对任意集合A，B，C，若AB，B C 则A C。
（7）前n个自然数集合的集合 = {{0},{0 , 1}，
{0，1，2}，…} ＝ {xx= Nn nI+} ＝ { Nn n I+} （8） Q表示所有有理数组成的集合，
（9） Q+表示所有正有理数组成的集合，
（10） R表示所有实数组成的集合，
（11） R-表示所有负实数组成的集合，
集合的特性： （1）确定性：任何一个对象，或者是这个集合 的元素，或者不是，二者必居其一； 例如：A={x| x是自然数，且x<100} B={x| x是年轻人} C={x| x是秃子} （2）互异性：集合中任何两个元素都是不同的， 即集合中不允许出现重复的元素。 例如： 集合A={a,b,c,c,b,d}，实际上，应该是 A={a,b,c,d} （3）无序性：集合与其中的元素的顺序无关 例如： 集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。
第三章
集合与关系
对于从事计算机科学工作的人们来说， 集合论是必不可少的基础知识。例如有限状 态机、形式语言等都离不开子集、幂集、集 合的分类等概念。集合成员表和范式在逻辑 设计、定理证明中也都有重要应用。 本部分从集合的直观概念出发，介绍了 集合论中的一些基本概念和基本理论，其中 包括集合、关系、函数等。
练习1 1、证明：如果A{{b}}，那么bA。 2、用描述法表示下列集合： （1）A ＝｛1，3，5｝ （2）B = {2，3，5，7，11，13， 17，…，89，97} （3）C＝｛｛0｝，｛1｝，｛2｝， ｛3｝，…，｛9｝｝ （4）全集 U 3、对任意对象a, b, c, d 证明： {{a}, {a,b}}＝{{c}, {c，d}} 当且仅当 a = c且b = d