2012年实中高二下学期文科数学第一次大测(试题)

三水实验中学2013届高二第二学期第一次模拟考试
文科数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共5 0分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的).
1．复数i -1的虚部是（ ）
A ．1
B ．-1
C ． ｉ
D ．-ｉ
2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数(其中a R ∈)，则z = ( c )
A ．0
B ．2
C ．２
D ．４
3. 三角形是由直三角形与斜三角形构成的。

斜三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两部分，
锐角三角形可以分为等腰三角形和非等腰三角形，而这些等腰三角形又可分为等边三角形和只有两边相等的等腰三角形，钝角三角形可分为等腰三角形和非等腰三角形。

直三角形可以分为等腰直角三角形和非等腰直角三角形两部分。

上述可选用（ b ）来描述之． （A ）流程图 （B ）结构图
（C ）流程图或结构图中的任意一个 （D ）流程图和结构图同时用 4.“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ a ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设12
F F ，为椭圆116
2
2=+y x 的焦点，P 为椭圆上一点，则21F PF ∆的周长为（ c ） （A ）16 （B ）8 （C ）8152+ （D ）无法确定
10、函数()321f x x x x =--+在x ∈[－1，1]上的最大值等于（ ）
A ．427
B ．827
C ．1627
D ．3227
11、过曲线32y x x =+-上的点P O 的切线平行于直线y = 4x -1，则切点P O 的坐标为（ ）
A ．(0，－1)或(1，0)
B ．（1，0）或（-1，-4）
C ．（－1，－4）或（0，－2）
D ．（1，0）或（2，8） 18、设28ln y x x =-, 则此函数在区间 1(0,)4 和1
(,1)2
内分别为 ( )
A ．单调递增，单调递增
B ．单调递增，单调递减
C ．单调递减，单调递增
D ．单调递减，单调递减 23、曲线313y x x =+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 Ａ．
29
Ｂ． 19
Ｃ．1
3
Ｄ．
23
24、设P 为曲线C:2
4ln 4
x y x =-上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围
为04π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，则点P 横坐标的取值范围为
A. []-2，4
B. ⎡⎣2
C. [)2,+∞
D.⎡-⎣
9．若函数()x f x e ax e =-+，x R ∈，极值点为1，则函数()f x 有（ c ） （A ）极小值0 （B ）极大值1 （C ）极小值e （D ）极大值
1
e
7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x a x ≤≤0()，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数
)(x f y =的图象大致是( a )．
1222a b
1A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为( d )．
A ． 2
1
B .
2
2 C. 3
1
D .
3
3
第7题图
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．若z=
i
+12
，则z = 12. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 28y
=-13． 程序框图（如图）的运算结果为 24 14．如图，函数()g x f (x )=+2
15
x 的图象在点P 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= -3
14题
三、解答题：
15. （本题满分13分） 已知复数()
()2
563i z m m m =-++- ，求满足下列条件的实数m.
（1）z 是实数 （2）z 是虚数 （3）复平面内表示z 的点在直线y=x 上
16．（本题满分13分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，
点E 是PD 的中点． （1）求证：AC ⊥PB ；（2）求证：PB//平面AEC ．（3）求三棱锥P-ACE 的体积.
证明：(1) ∵PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AC ，由AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面PAB ，∴AC ⊥PB ． A P B
D E
（2）连接BD 交AC 于F ，因四边形ABCD 是平行四边形，则F 是BD 中点，
又∵E 是PD 中点，则EF 是△PDB 是中位线，∴EF//PB ，又∵⊂EF 平面EAC ， ∴PB//平面AEC ．
17．（本小题满分13分） 已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .
(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.
解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21
|24|2
=++a a . ………………………………………………3分
解得4
3
-
=a . ……………………………………………………………………………………………………5分
(2) 解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧====+++=.
221
,2,1|24|22222
AB DA AC DA CD a a CD ……………………………………………………………………………8分 解得1,7--=a . ………………………………………………………………………………………………10分
解法二：联立方程⎩⎨
⎧=+-+=++0
128,
022
2
y y x a y ax 并消去y ，得
0)34(4)2(4)1(22222=++++++a a x a x a .
设此方程的两根分别为1x 、2x ，则用]4))[(1(22212212x x x x a AB -++==
即可求出a .
∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x .
(12)
分
18.（本小题满分13分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4
． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦，且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．
解：（Ⅰ）2
214
x y +=； （Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有
2
22
1
8580514
B y x x x x x y =-+⎧⎪⇒-=⇒=⎨+=⎪
⎩，315B B y x =-+=-．
设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =
，1
5
M y =，由此及点M 在直线l 得 143555
m m =+⇒=-． 19．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间
的关系式为：2
1242005
p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多
少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 8．解：每月生产x 吨时的利润为
)20050000()5
1
24200()(2x x x x f +--= 312400050000
(0)5x x x =-+-≥ 由23
()2400005
f x x '=-+=解得：200x =或200x =-（舍去）．因为()f x 在[0,)+∞内只有一个点
200x =使得()0f x '=，故它就是最大值点，且最大值为：
0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：
3
1(200)(200)24000200500003150000
5
f =-
+⨯-=（元） 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
20．（本小题满分14分）
已知函数x a x x f ln )(2
+=.
(1) 当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；
(2) 若x
x f x g 2
)()(+=在),1[∞+上是单调函数，求实数a 的取值范围.
20．解：(1) 易知，函数)(x f 的定义域为),0(∞+. ……………………………………………1分
当2-=a 时，x
x x x x x f )1)(1(222)(-+=-
='. ……………………………………………2分 当x 变化时，)(x f '和)(x f 的值的变化情况如下表： ……………………………………4分
由上表可知，函数)(x f 的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是
1)1(=f . ……………………………………………………………………………………………………………7分
(2) 由x x a x x g 2ln )(2
++=，得222)(x
x a x x g -+='. ………………………………8分
又函数x
x a x x g 2
ln )(2
+
+=为[1,)+∞上单调函数， ① 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调增函数，则0)(≥'x g 在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立.也即222
x x
a -≥在[1,)+∞上恒成立. ………11分
又2
22)(x x
x -=ϕ在[1,)+∞上为减函数，0)1()(max ==ϕϕx . ……………………12分
所以0a ≥.
② 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调减函数，则0)(≤'x g 在[1,)+∞上恒成立，这是不可能的. ……………………………………………………………………………………………………………………13分
综上，a 的取值范围为[0,)+∞. ………………………………………………………………………14分。