材料力学——精选推荐

第二章
2-1试求图示各杆11，22，33截面上的轴力,并作轴力图。

(a)
(b)
题2-1图
解：（）受力分析,如图2-1。

各个截面上的轴力取拉力为正，压力为负， a 由轴向平衡条件，
0X =∑
321200
20300
2030400N N N +=⎧⎪+−=⎨⎪+−−=⎩ ⇒13
50(10(20(N kN kN N kN =⎧⎪
=⎨⎪=−⎩2拉力）N 拉力）压力）作轴力图如上。

（b ）各截面上的轴力，均按其正方向设出，由轴向受力平衡：由
0X =∑
可得 作轴力图如上。

13
(0(N P N P =⎧⎪
=⎨⎪=⎩2拉力）N 拉力）2-2在图示简易吊车的横梁上P 力可以左右移动。

试求截面11上的内力及其最大值。

解：如图所示，
题2-2图
构件在1截面处“断开”，以下方的部分为研究对象，轴力和力作用在研究对象上，由平衡条件：
1−1N P 0A
M
=∑
1(sin )P x N l 0α⋅+−⋅= 11()sin P x
N N x l α
⋅==
（P l α、、均为常数）
1N 最大值为 1,max
1()sin sin P l P
N N l l αα
⋅===
⋅ 2-3图示为简易起重机。

已知钢丝绳子AC 的横截面积24AC A cm =,吊杆AB 的横截左面积
26AB A cm =,当起重量P=20KN 时,求钢丝绳子AC 和吊杆AB 的正应力。

题2-3图
解：先假设吊杆AB 、均受拉力作用，则对AC A 点进行受力分析可知，两杆对A 的
作用力如图示方向。

AB AC T T 、由受力平衡得:
0AB AC P T T ++=J G JJJ G JJJ G
X Y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩∑∑ cos30cos 450cos 45cos600AC AB AB AB T T P T T ⋅°+⋅°=⎧⇒⎨+⋅°+⋅°=⎩
20P k =N N =⎧⎨=−⎩54.6466.93AC AB N kN
N kN
=⎧⎨=−⎩ ⇒
54.6466.93AC AB T k T kN 可见，杆受拉，而AC AB 杆实际受压。

从而求出应力:
32
3
254.6410136.640066.9310111.6600AC AC AC
AB AB AB N N
MPa A mm N N MPa A mm σσ⎧×===⎪⎪⎨−×⎪===−⎪⎩
2-4图示板件,受轴向载荷P=200KN 作用,试计算互相垂直的截面AB 和BC 上的正应力和剪
应力，以及板内的最大正应力和最大剪应力。

解：取角度为α斜截面,轴向力平衡，P P α=；在斜截面上应力是均匀分布的，P f A α
αα
=
， A α为斜截面的面积。

由于sin A A αα=
，sin sin sin P P
f A A
αααασα=⋅==⋅ σ为CD 面上的正应力大小，矢量分解知，面上的剪应力大小为
BC 0cos sin cos sin 50cos50P
f A
αατασαα=⋅=⋅=⋅°°
正应力大小为
2
sin sin 50P f A
αασα=⋅=
°2， 23200,20100210P kN A mm mm ==×=×BC 面上 49.258.7MPa
MPa
αατσ=−⎧⎨=⎩(ατ注意以绕示力对象作顺时针转向为正,反之为负)
AB 面上，分析同前，此时
40α=°，49.241.3MPa
MPa αα
τσ=⎧⇒⎨=⎩090α<≤°（等于即为正截面）
90°可见ασ的最大值为
290sin sin sin |100f f f ααααααα=°⋅===MPa ατ的最大值为45sin 21
sin cos 502
2
f f f ααααMPa α
αα=°
⋅⋅=⋅
=
⋅= 注：本题求解时所用到的α角与课本中讲解时的不一样。

2-5变截面直杆如图所示。

已知22128,4,200A cm A cm E GPa ===求杆的总伸长。

解：虎克定律Nl
l EA
∆=
是对等直杆成立的，所以应该先求各段的轴力值。

如图示， ，1200N +=2400N −=120N kN ，= =−240N kN 则杆的总伸长量 1122
121122
N l N l l l l E A E A ∆=∆+∆=
+
3334
0.075(mm 942001020104010[20010810410m −−−×−××=+×××=伸长） 注：因为轴力本身可能为负（压力），相应N Nl
l EA
∆=
也可能为负（缩短）。

题2-4图 题2-5图
2-6一根直径为d=10mm 的圆截面杆，在轴向拉力P 作用下,直径减少0.0025mm 。

如材料的
弹性模量52.110E MPa =×，泊松比0.3µ=，试求轴向拉力P 。

解：先求出横向应变 0.0025
0.0002510
d d ε∆′=
=−=−， 再由泊松比的定义得：0.30.0008εµεε
′
=
=⇒= 由虎克定律得：52.1100.0008168E MPa σε=⋅=××=
应力P
A
σ=，轴力2216878.54d P A MPa m πσσ=⋅=⋅=×m N
313.191013.19N k =×=注：求得σ后，由A σ⋅求时，P A 依旧取
2
4
d π而不是
2
()4
d d π−∆计算，是因为相对
于已经非常小，它所引起的面积上的变化更小，可不考虑。

d ∆d 2-7图示螺栓，拧紧时产生轴向变形。

己知0.1l m ∆=m m 18d m =，，
，，，2 6.8d m =m m m =38l mm 37d m =16l m =229l mm =，210a E GP =，试求预紧力。

P 解：预紧力是由螺栓承担的，即各段栓体的轴力均为P i N P = （1,2,3i =）
分段直杆伸长量331212123123312222123
()()4()i i i
N l l EA l l l l l
l P P E A A A E A A A l l l P E d d d π∆==
+
+=++=
++∑
123,,,l l l l ∆及各段直径已知，
41.861018.6P N ⇒=×=
kN
题2-7图 题2-8图：载荷伸长图
2-8一低碳钢试件宽25mm ，厚10mm ，沿长度方向安装基长为100mm 的引伸仪做拉伸试验测得数据如下： 载荷(kN) 16 32 48 64 68 72 76 79 伸长(mm) 0.032 0.064 0.096 0.128 0.137 0.147 0.173 0.605 载荷(kN) 76.8 83.7 103.8 111 112.8 108 96 92.7 伸长(mm)
1.185
2.42 7.25 12.0 16.8 22.0 24.0 24.4(断)
试画载荷-伸长图，分弹性阶段和塑性阶段。

并求： ①弹性模量，②比例极限，③屈服极限，
④强度极限，⑤延伸率。

解：（1）弹性模量： 由 σε=E 得出： σε===∆∆P l P
A E l A l l
在弹性阶段,载荷和试件的伸长是成正比的。

代入数据得
33
63
1001016102002510100.03210
−−−××===∆×××l P E Gpa A l （2）比例极限 3
6
6410256251010σ−×=
==××p P Mpa A
（3）屈服极限 3
676.810307.2251010σ−×=
==××s P Mpa A （4）强度极限 3
6
112.810451.2251010σ−×=
==××b P Mpa A （5）延伸率 124.4
100%100%24.4%100δ−=
×=×=l l l
2-9已知某型号低碳钢的弹性模量200E
GPa =，屈服极限220s MPa σ=，强度极限
P 400b a MP σ=。

在拉伸试验中，当试件轴向力为300时，测得轴向应变，
问此时试件沿轴向的弹性应变
GPa 3
3.510ε−=×e ε塑性应变p ε各为多少？
解：由卸载定律知， 12,e p ααεεε==+
3
3
3000.0015 1.51020010
e E
σ
ε−=
=
==×× 32.010p e εεε−=−=
×
题2-9图 题2-10图
2-10油缸盖与缸体采用6个螺栓连接，已知油缸内径350D mm =，油压2
1/p MN m =，若螺栓材料的许用应力[]2
40/MN m σ=，求螺栓的内径。

解:分析油缸盖的受力，
6P N N
==螺栓，2
4
D P p A p π=⋅=×
2
6
(0.350)104
π×=×
，
即
，
96.2P k =N
16.06
P
N =
=kN ，对单个螺栓而言：[]N
A σσ=
≤′
， []32
3
16.00.4104010
σ−′≥==××N
A m ，即23min
0.4104
π−=×d min 22.6⇒=d mm N
2-11汽车离合器踏板如图所示。

已知踏板受到压力400Q =，拉杆1的直径，杠
D=9mm
杆臂长，l ，拉杆的许用 应力330L mm =56mm =[]2
50/σ=MN m ，校核拉杆1的强度。

解：压力、拉力对体系而言是平衡力系，
Q P 0=⇒⋅=⋅∑o
M
Q L P l ，
2357QL P l
==N ，2
62357
37.079
104
σπ===××P MPa A ， []50,MPa σσ<= 可见拉杆1强度方面是安全的。

题2-11图
2-12跳板架（一侧）受力如图，已知100MPa σ=⎡⎤⎣⎦拉，60MPa σ=⎡⎤⎣⎦压，设计AB,AC 杆的横截面积，并选择合适的等边角钢型号（查附录）。

题2-12图
解：把架整体作为研究对象，求出A 处的支座反力：
A P 0F
M
=∑， ，8246A P P P P
×=×+×+× 1.515A P P kN ==跳板架为对称结构，考查左半结构中的杆，对AB AC 、A 点分析，
00
20,02
AC AB A AB
X T T Y P =⇒+
==⇒+=∑∑21.2(15(AB T kN kN =−⎧⇒⎨= ⎩AC 压）T 拉）
杆AB 受压，轴力大小为21.2KN ，杆受拉，轴力大小为15。

则两杆最少面积为
AC kN 3221.210 3.53[]60AB AB N N A cm MPa
σ×===，查附表，取504L ×
321510 1.5[]100AC AC
N N A cm MPa
σ×===，查附表，取254L ×。

2-13在图示简易吊车架中，BC 为钢杆，AB 为木杆。

木杆AB 的横截面积21100A cm =，许
用应力[]217/MN m σ=。

钢杆的横截面积2
26A cm =，许用拉应力[]2
2160/MN m σ=。

试求许可吊重P 。

题2-12图
解：B
处受力分析知，2,C A T P T ==
而由强度条件[],σσ≤⇒A P 的最大值为[]700,A kN σ×=木木 最大值为C P []960A kN σ×=钢钢 若按计算，，此时
960C T =kN N 480P k
=831A T ==−kN N
837700,kN kN >木杆的强度条件不能满足。

所以，应按确定值：
700A T k =
P 700,N k
=[]40.4P k =
=N 2-14图示拉杆沿截面mm 由两部分胶合而成，设在胶合面上许用拉应力为
[]2100/MN m σ=，许用剪应力为[]250/MN m τ=，并设胶合面的强度控制杆件的拉力。

试问：为使杆件承受最大拉力P ，α角应为多少？若杆件横截面积为，并规定，
试确定许可载荷P 。

24cm 60α≤D
题2-14图
解：（1）α为图示，则可知面上mn 020sin 2sin 2cos cos P f A P f A α
αααατασαα⎧
=⋅=⎪⎪
⎨
⎪=⋅=⎪⎩
强度条件要求 [],[]ααττσσ<<同时满足，而
[]1002[]50MPa
MPa
στ==， 22cos sin 2
αασα
α
τ=
=2ctg α=时，最能发挥胶合面的强度，α应取22636arc ctg ′ =° （2）2204400A cm mm ==，因为
,060,ctg α
α
σαατ=°≤≤° 所以应按2636α′=°来确定值：P 022[]40
[]50cos cos A P kN kN σαα
=
=≈
2-15图示为铰接的正方形结构，各杆材料均为铸铁，其许用压应力与许用拉应力的比值为
3σσ−+
⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦
，各杆件横截面积均为A ，试求结构的最大许可载荷。

max
P
题2-15图
解：问题为平面桁架的静定问题。

1-1，2-2截面先后断开，
分别求得()2AB AD N N P ==
拉，
对B 点受力分析可知：，结构中压杆与拉杆的轴力大小之比为()BD N P =−
压12
=：
各杆截面积相等，均为A
:1，而σσ−
+
[]:[]=3:1,所以按拉杆确定
max P ：
max []2
N P σ+=
=
2-16图示结构，AD 可作为刚性杆，BC 杆的横截面积为，20.001m []100MPa σ=，
，问能承载P 多少？如要求D 点的垂直位移不超过0.2cm ，则又能承载多大？
200E G =Pa 解：（1）刚性杆AD 的受力分析知：
0A
M
=∑，0.52BC N P ×=×，，
4BC N P =324410(/)0.001BC N P
P N m A σ=
==×， 现 []σσ≤，811
[][]100.0012544
P A σ=×=××=kN N ，即能承载25P k =。

（2）AD 为刚性杆，原来AD 水平，认为δθ=⋅B y AB ，δθ=⋅D y AD ，可见2D B y y δδ= 对杆而言：
BC ,sin 30δδδ=
°==
A ，，
B Nl Nl y EA E 42δδ⇒==D B Nl
y y EA
现0.22,δ≤=D y cm mm E 、A 代入，[]416δ==D N EA
P y l
，[]21.651=P kN
题2-16图 题2-17图
2-17杆AD 插入介质中长度，在C,D 处分别作用轴向拉力P=10kN ，图中a=10cm ，杆的横截面积40l c =m 22A cm =，，200E GP =240s a ，取定安全系数，设介质中阻力均匀分布。

①校核杆的强度。

②求杆的总伸长。

1.5s n =MPa σ=解：首先画出AD 杆的轴力图。

由杆件的受力平衡
()20f x l P ×−= ()50/f x KN m = （1）
3max max
114
2010100210σσ−×====×N MPa A []160σσ<==s s
MPa n （2）杆件的轴力是分段有规律
()1
()l
l
N x l dx N EA EA ∆==∫
∫x dx 0.4339
4011(501020100.110100.1)200102102
xdx −=
×××+××+×××××∫3
m a 计算得：
0.125l m ∆=2-18飞机发动机气缸内的气体压强3p MP =，厚度3mm δ=，内径150D mm =，
，试求气缸的周向拉应力及周长的改变。

210E G =
Pa
题2-18图
解：,ds rd α=00r dF p ds pdsr p rd r r
α=⋅⋅==⋅⋅K K K K
，sin sin y dF dF p rd ααα=⋅=⋅⋅
半圆部分受力平衡0
2sin 2
D
N p d π
αα⇒=
⋅
⋅∫
，/2N pD =，而 7512σδδ=
==××N pD
MPa 周向 周长改变量1
20.3361
πδ×∆===⋅⋅pD D
Nl L m EA E m 2-19杆AB AC 材料相同，且均为圆截面杆，要求作用点无水平位移，求两面三刀杆直径之比。

P 解：(1) 先求杆的轴力对A 处受力分析，
0=∑X ，0=∑Y ，
知
,=
B N
=C N
题2-19图
(2) 求出杆的伸长量 由Nl
l EA
∆=
，可求得两杆沿轴向的伸长量分别为
B l ∆=
AB
，
AC ∆=C l
(3) 为使A 处没有水平位移，则
cos 45cos300B C l l ∆×°+∆×°=，
2022
P −=
:2⇒AB AC A A ⇒=。

2-20木制短柱的四角用四个的等边角钢加固，已知角钢的许用应力[40404××]2
160/MN m =σ钢，2
200/E GN m =钢。

木材的许用
应力[]2
120/MN m σ=木，210/E GN m =。

试求许可载荷。

P 解：（1）受力分析 题2-20图
全部载荷由木、角钢共同承担，其中，设木柱承受，角钢（4板）承受，
1P 2P 12P P P +=
考察变形：21
14
P l Pl l l E A E ∆=∆=木角钢钢钢
木木，A 钢，其中为一根角钢的截面积 A 钢(2) 变形的协调条件为，
l l ∆=∆木角21926
91
410102*********(4036)410P l P l
6
−−××=×××××+××，
1
122125125,176194P P P P =
⇒= （3） 应力分析，木柱11
2
20010σ6
−=
=×P P A 木，角钢2266
11
44(4036)41030410σ−−==+×××P P 钢
两个应力之比为
12
12222
3041253041
200112001920020
/3044
4
P P P P σσ==×=×木钢角= 而
[]1211
[]16013.3320
σσσσ==>=MPa MPa 木木钢钢，故应按角钢确定的许可值。

P 6621
[][]160103041048.644
σ−=×=×××=P A kN 钢钢2[]194.56,P kN ，⇒= 12P P P +=，
1
212576=P P ，212576[][]514.5676
P P kN +==
2-21图示桁架，各杆的横截面积，长度和弹性模量均相同，并分别为A 、l 、E ，在结点A 处受铅垂方向的载荷作用，试计算结点P A 的垂直位移。

题2-21图
解法（1）：本题为超静定问题，分析A 点的受力，由结构对称性可知，且
1N N =2
1P N =− 32l （假设3杆受压） ①
小变形条件下，
312/cos 45/cos 45∆=∆°=∆°l l l 31cos 45l l ∆×°=∆=∆（变形协调）
结合虎克定律 31cos 45N l N l
EA EA ⇒
×°
=312
N N ⇒= 代入①333,2
P N P N N ⇒=−⇒=
33()2N l Pl
l EA EA ⇒∆==↓
解法（2）：3根杆的轴力全按拉力设出，1N N 2=
1P N 3=+ ○
2 此时，小变形条件下的变形协调条件为：
312cos 45l l l ∆⋅°=∆=∆=
分析○2知，为负值（否则），3
l ∆0P
=1(2l ⇒∆=−∆3)l ，
结合虎克定律：132
N N =− 代入○2中：333
()2
P
N P N N −=+⇒=−压，余下解法同解法（1）。

2-22图示阶梯形杆，其上端固定，下端与支座距离1mm δ=，已知上下两段杆的横截面积分别为和，材料的弹性模量2600mm 2300mm 2210/E GN m =，试作在图示载荷下杆的轴力图。

题2-22图
解：（1）位移协调，由杆的下端不受限制，总伸长量为i i
i
N l L EA ∆=
∑，
33
112212N l N l N l L 3
EA EA EA ∆=
++
① 12312100,40,0, 1.2, 2.4N kN N kN N l m l =====m
12
17
L mm mm δ⇒∆=
>=，可见，在实际受力作用下，下端受限，不能作自由变形。

（2）受力分析
设变形后，地面对杆有向上的作用力，（单位为），①式依然成立，但
P kN 321,40,100N P N P N =−=−=−P mm ，且已知，1L δ∆==，代入①式中：
可得 ⇒=，15P k =N −=2325,15N kN N kN 110085N P kN
==−2-23图示AB 为刚性横梁，已知1、2杆的材料与截面均相同。

试求在力作用下两杆的内力。

P 题2-23图
解：（1）问题是超静定的，分析刚性梁AB 的平衡条件，
0A M =∑
，1222
N a N a P a ⇒⋅+
⋅=⋅2 ① （2） 变形几何条件：小变形下，认为1C y L a δθ=∆=⋅ (θ为小量)
而AB 为刚性，则有 ②
22cos 45δθδ=⋅⎫
⎬∆=×°⎭
B B y a L y 212cos 45⇒∆=∆×°L L 结合虎克定律 ②
即为：
211222
=×
×⇒=N N l N N EA
EA
代入①中，解得
12
1)
N N P P
===−
2-24直径的刚杆在常温下加热30后将两端固定起来，然后再冷却到常温。

求这时钢杆横截面上的应力及两端的支反力。

已知钢的线膨胀系数，弹性模量
25
d m
=m C D
6
1210/C
α−
=×D
2
210/
E GN m
=。

题2-24图
解：（1）加热引起的伸长量
6
123010
t
l t l
α−
∆=⋅∆⋅=××l
B
，
（2）两端支反力约束杆，使之不能收缩，
A
R R
、，由平衡条件知=
A B
R R N
=。

对自由杆作用后引起的伸长量就等于，即：
l∆
t
l∆
t
Nl
l l
EA
∆==∆，（变形协调条件）6
9
123010,
21010
σ
−
⋅
⇒=∆=××=
××t
l N N
l l
A A
解得75.6MPa
σ=
2
37.1
4
d
N A kN
π
σσ
⇒=⋅==
2-25图示为一个套有铜套的钢螺栓。

已知螺栓的螺距为3
h mm
=，长度，截面积为
75
l c
=m 2
6
A cm
=
钢
，，铜套的截面积
200
E G
=
钢
Pa2
12
A cm
=
铜
，100
E GPa
=
铜。

试就下列三种情况下，求螺栓和铜套的轴力与。

N
钢
N
铜
①将螺栓拧紧14圈；
②将螺栓拧紧14圈后，再在螺栓两端加拉力80
P kN
=；
③在室温下若螺母与铜套刚好接触不受力，然后温度上升（设
，）。

50
t∆=D C 7
12510/C
α−
=×D
钢
7
16010/C
α−
=×D
铜
题2-25图
解：（1）螺栓拧紧
1
4
圈， 铜套受压，栓体受拉。

二者之间变形为4h 。

设栓体轴力为，铜套轴力为，由平衡方程得：1N 2N 12=N N 变形条件： 124
∆+∆=
h
l l 112211224+=N l N l h E A E A ，1212
1211224()⇒==
+hE E A A N N l E A E A 12121211223100200612
604()4(620012100)hE E A A N N KN l E A E A ××××==
==+××+×
111118N l h l E A ∆=
= ， 222228
N l h
l E A ∆== （2）在螺栓上加载拉力后,受力分析知，螺栓的轴力为80KN 。

80P k =N 1111168
′∆=
=>∆=N l h h
l E A 2l N ，故铜套不受力。

所以 180=N K ，20=N KN
（3）不计横向变形的影响，升温对自由螺栓、铜套的影响（伸长量）为：
11t l δα=⋅∆⋅，22δα=⋅∆⋅t l ， 12δδ>
这样就表明螺栓受拉力，铜套受压力。

二者之间是平衡的。

即12N N =
1111,∆=
N l l E A 2222
,∆=N l
l E A 共同作用下：111222δδ+∆=∆=∆=−∆l L L l （变形协调）
11121122
αα⋅∆⋅+
=⋅∆⋅−N l N l
t l t l E A E A 2 代入数据得：=10.5KN
1N N =
2-26有六根截面相同，材料相同的钢杆。

它们的一端用铰与半径为R 的刚性圆周边铰接，另一端互相接于圆心C 处，两相邻杆之间夹角均为
3
π。

在铰处作用一铅垂力，求各杆的内力。

如钢杆的根数为，两相邻杆之间夹角为
C P 2n n
π
，各杆的内力又为多少？
解：由六根钢杆对称相连时，钢杆的变形如图所示，伸长量分别为1l ∆，，，，
，。

2l ∆3l ∆4l ∆5l ∆6l ∆由变形协调条件得知：
1l δ∆= 2cos
3
l π
δ∆= 3cos
3
l π
δ∆=− 4l δ∆=− 5cos
3
l π
δ∆=− 6cos
3
l π
δ∆=
由Nl
l EA ∆=
知， 2612N N N ==
1 351
2
N N N ==−1 41N N =− 对绞C 进行受力分析，
126354cos
cos
cos
cos
03
3
3
3
N N N N N N P π
π
π
π
++−−−−=
得：
13P N =
26P N = 36P N =− 43P N =− 56P N =− 66
P
N = （2）由上一题结论得出：
2n=6 n=3
122(11)cos
3
(21)(31)2[1cos cos ]33P N π
ππ
−=
−−++
222(21)cos
3(21)(31)2[1cos cos ]
33P N πππ−=−−++
322(31)cos
3(21)(31)2[1cos cos ]33P N πππ−=−−++ 422(41)cos
3(21)(31)2[1cos cos ]
33P N πππ−=−−++
522(51)cos
3(21)(31)2[1cos cos ]33P N πππ−=−−++ 622(61)cos
3(21)(31)2[1cos cos ]33
P N πππ−=−−++ 所以由数学归纳法得出：
22(1)cos
(1)2[1cos cos ]
33
i i P n
N n π
π
π
−=
−+++"，(1,2,2i n )="。