人教A版高中数学必修四.2平面向量的正交分解及坐标表示运算课件

标减去始点的坐标．
例2.已知 a(2 ,1 ),b( 3 ,4 )，求ab,ab,3 a4b的坐标。
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
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解： ab=（x1i+y1j）+（x2i+y2j） =x1i+y1j+x2i+y2j =（x1+x2） i+（y1+y2） j
即： ab＝(x1+x2,y1+y2); 同理可得： ab＝(x1-x2,y1-y2)
a（x1i+y1j）x1i+y1j;即：a(x1,y1)
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y
a
y
A(x,y)
j
Oi x
x
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。
. 解： y A (1, 2 )
a
o
x
(2)b(1,2)
y
B(1,2. )
b
ox
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如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并
2.3.2 平面向量的正交 分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。
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2.3.3平面向量的坐标运算
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相
应坐标．
思 考 ： 已 知 ： a ＝ ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 求 向 量 a b , a b ， a .
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y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
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例４.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分 别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。
B A
O
解：设顶点D的坐标为（x，y）
C
A ( B 1 （ 2 ） 3 1 ） ， （ 1 ， 2 ）
个单位向量i、j作为基底.
j Oi
xi
x
任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
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6 、 已 知 B 的 坐 标是 m ,n ,A B 的坐标为(i,j),则点A
的坐标为 A
A、(m-i,n-j)
B、(i-m,j-n)
C、(m+i,n+j)
D、(m+n,i+j)
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a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ), a(x1,y1)
( 2) 若 A (x1,y1),B (x2,y2), A B (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ) 4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
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随堂练习
1 、 a = 4 ,6 ,且 a = 2 b ,那 么 b 的 坐标是 B
A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3)
2 、 若 向 量 a = x - 2 , 3 与 向 量 b = 1 , y + 2 相 等 ， 那 么 B
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小结 平面向量的正交分解 平面向量的坐标表示
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D C (3x,4y)
D
由ABD， C 得
(1 ,2 ) (3 x ,4 y )
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶 D的 点坐标 2， 2） 为（
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A、x=1,y=3
B、x=3,y=1
C、x=1,y=-3
D、x=5,y=-1
3 、 已 知 A B = x , y , B 的 坐 标是 - 2 , 1 , 那 么 O A 的 坐标为
A、(x-2,y+1)
B、(x+2,y-1)
C
C、(-2-x,1-y)
D、(x+2,y+1)
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因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
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练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a(1,2)
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
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求出它们的坐标.
y
A2
5
b4
3
a
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3)
2 j1 A
A1
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
-4 -3 -2 -1O -1
-2
c
-3
-4
i1 2
3 4x d
c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
-5
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课堂总结:
1.向量的坐标的概念: axiyj(x,y)
2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: ( 1 ) 若 a ( x 1 ,y 1 ) ,b ( x 2 ,y 2 ) ,则 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ),
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i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
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在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
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例４.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分 别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。
C
C
Hale Waihona Puke Baidu
B
B
A
D
A
D
O
O
提 示 ： 先 由 B D = B A + A D = B A + B C 求 得 B D ， 再 求 O D
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2．已知 A (x 1 ,y 1 )， B (x 2 ,y 2 )．求 AB
解：AB O BOA
A(x1,y1)
(x2,y2)(x1,y1)
y B(x2,y2)
(x 2 x 1 ,y 2 y 1 )
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1
F2
G
正交分解
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4、 若 向 量 a=1, 1,b =1, -1,c=-1, 2,那 么 c等 于 B
A 、 -1a+3bB 、 1a-3bC 、 3a-1bD 、 -3a+1b 2 2 22 22 2 2
5 、 已 知 a = 3 ,-1 ,b = -1 ,2,那 么 -3 a -2 b 等 于B A 、 7 ,1 B 、 -7 ， -1 C 、 -7 ,1 D 、 7 ， -1
（3）向量C D 能否由 i , j 表示出来？可以的话，如何表示？
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CD2i 3j
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y
yj a 分别取与x轴、y轴方向相同的两
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
设
，填空：
OAi,OBj
y
7
D
（1） |i|___1 __,| j|___1___, |OC|___5___;
（2）若用 i , j 来表示OC,OD，则：
4
C
B
j
x
oi A 3 5
O C _ 3_ i_ _ _ 4_ _ j _ , O D _ _ 5_ i_ _ _ 7_ _ j_ .