广义Bernoulli方程及其解法

短篇园地
广义B ernou lli 方程及其解法
Ξ
邹泽民　(梧州师专数学系　广西贺州　542800)
摘要　本文将一阶微分方程中的B ernou lli 方程d y d x =P (x )y +Q (x )y n 推广到一类一阶
非线性方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫
1f (y )d y (其中1
f (y )
可积)并得到其初等解法。

关键词　广义B ernou lli 方程　变量代换　一阶线性方程通解
在一阶微分方程中,有一些类型的非线性微分方程可经适当的初等变量代换化为线性微分方程,最典型的范例就是B ernou lli 方程的解法。

于是借助于初等变换方法我们可以得到更一般的一类一阶非线性微分方程的解法。

1　广义B ernou lli 方程
设函数1
f ()可积,形如
d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫
1
f (y )
d y
(1)的一阶非线性微分方程称为广义Bernou lli 方程。

定理1　广义B ernou lli 方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫
1
f (y )
d y 的通解为5(y )=
∫
1f (y )
d y =
e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
证明　由函数1f (y )可积,令5(y )=∫
1
f (y )
d y
又f (y )≠0由(1)可变形为1f (y )d y d x =Q (x )+P (x ) ∫
1
f (x )
d y
d (∫
1f (y )d y )
d x =P (x ) ∫1f (y )d y +Q (x )再令u =5(y )=∫
1
f (y )
d y
即
d u
d x
=P (x )u +Q (x )为关于未知函数u 的一阶线性非齐次方程,其通解为u =5(y )=∫
1f (y )
d y =
e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
若函数f (y )分别取几类特殊函数时,(1)便有下列几种常见的特殊形式方程,分别有
推论　Bernou lli 方程型
d y d x =Q (x )y n +P (x )y n
∫1
y
n
d y
(2)
则有
11当n =0时,方程(2)即为一阶线性非齐次方程,通解为
y =e
∫P (x )d x
[∫
Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
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2V o l 14,N o 12M ar .,2001 高等数学研究
STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS Ξ
21当n =1时,方程(2)即为d y d x =Q (x )y +P (x )y ln y ,通解为
ln y =e
∫P (x )d x
[Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
31当n ≠0时,且n ≠1时,方程(2)的通解为
y
1-n
=(1-n )e ∫P (x )d x [∫
Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]　事实上,此时f (y )=y n
定理2　方程d y d x =Q (x )a ny
+P (x )(3)
通解为a -ny
=a -
n ∫
P (x )d x
[c -n ln a ∫
Q (x )a n ∫P (x )d x
d x ]
证明　由方程d y d x =Q (x )a ny +P (x )
变形为a -ny d y d x =Q (x )+P (x )a -ny
即-1n ln a d (a -ny )
d x =Q (x )+P (x )a -ny
d (a -ny )
d x
=-n ln aQ (x )-n ln aP (x )a -ny
令a -ny =u 即d u
d x =-n ln aQ (x )-n ln aP (x )u 通解为
u =a -ny
=e -
n ln a ∫
P (x )d x
[-n ln a ∫
Q (x )e n ln a ∫P (x )d x d x +c ]=
a
-n ∫
P (x )d x
[c -n ln a ∫
Q (x )a n ∫P x (d x
d x ]
事实上,若方程(1)中的f (y )=a ny
时方程即为
d y d x =Q (x )a ny +P (x )a ny
∫1
a
ny
d y
也即d y d x =Q (x )a ny -
1
n ln a
P (x )为方程(3)的类型。

故定理2也可视作定理1的另一种形式。

推论　方程 d y d x =Q (x )e ny +P (x )(4)
则通解为
e
-ny
=e -
n ∫
P (x )d x
[c -n ∫
Q (x )e n ∫P (x )d x d x ]
例1　d y d x =e y
+3x
x
2解　d y d x =
1
x 2
e y
+
3
x
由(4)得通解为
e
-y
=e -∫3
x d x
[-∫1
x
2e
∫3
x d x d x +c ]即
e
-y
=x
-3
[-
∫1
x
2
x 3
d x +c ]=x
-3
(c -
x
2
2
)=
c
x 3-12x
故y =ln
2x
3
2c -x 2
且c ∈R
例2　e -y (d y d x +1)=x e x
解　变形为d y d x =x e x e y -1　由定理2推论
通解为e
-y
=e ∫d x
[-∫
x e x e
-
∫d x
d x +
c ]
即　e
-y
=ce x
+
x
2
2
e x
,亦即　y =-
ln ce x
+
x
2
2
e x
且c ∈R
定理3　一阶非线性微分方程
3 高等数学研究 第2001年6月
Eu ler 函数积性的概率证明
Ξ
游　林　(海南师范学院数学系,海口,571158)
摘要　本文根据初等数论课程的教学经验,给出了Eu ler 函数积性的一个易为学生理解的概
率证明。

关键词　初等数论　Eu ler 函数积性　概率证明11前言
Eu ler 函数Υ( )是初等数论中的一个重要的数论函数,它的一个重要特征就是其积性,即:当(m 1,m 2)=1时有Υ(m 1m 2)=Υ(m 1)Υ(m 2)。

在几乎每一本初等数论教材中,其证明均是利用简化剩余系([1])或完全剩余系([2],[3])。

在教学过程中发现,学生对这些证明方法不容易理解。

后来我借助概率知识来证明,简单清晰明了,在讲解中反映效果良好,只要学生对独立事件概型稍有了解,都非常容易接受这种证明方法。

21Eu ler 函数积性的概率证明
d y d x =Q (x )f [g (y )] g ′(y )+P (x )f [g (y )] g ′(y ) ∫
g ′(y ) f [g (y )]d y
则通解为5[g (y )]=∫
d [g (y )] f [g (y )]=e
∫P (x
)d x
[∫
Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ](其中,u =g (y )可导且
1 f (u )可积)
证明　原方程变形为
g ′(y )d y d x =Q (x )f [g (y )]+P (x )f [g (y )]∫d [g (y )] f [g (y )]
即
d [g (y )]
d x =Q (x )f [g (y )]+P (x )f [g (y )]∫
d [g (y )] f [g (y )]
令g (y )=u 则
d u d x =Q (x )f (u )+P (x )f (u )∫
d u f (x )
由定理1则通解为
5(u )=
∫
d u f (u )=e
∫P (x
)d x
[∫
Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
变量还原有原方程通解为
5[g (y )]=
∫
d [g (y )]
f [
g (y )]=e ∫P (x )d x
[∫
Q (x )e -∫P (x )d x
d x +c ]
参考文献
1　王柔怀,伍卓群1常微分方程讲义1北京:高等教育出版社,19632　王高雄,周之路等1常微分方程(第二版)1北京:高等教育出版社,1978
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