概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
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注：本题参考答案有误
二项分布的正态近似
定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设Yn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
Yn np lim P x (x) n np(1 p )
注意点
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
E[Yk ] E[ X 32k 2 X 3k 1 X 3k ] E[ X 32k 2 ] E[ X 3k 1 X 3k ] Var[ X 3k 2 ] ( E[ X 3k 2 ]) 2 E[ X 3k 1 ]E[ X 3k ] 6 4 4 14 k 1, 2, , n {Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 ＝0.17635
5.5 5 4.5 5 4.95 4.95
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
解：设Yk =X 32k 2 X 3k 1 X 3k ,由于{ X n }是独立同分布的随机变量序列 所以， {Yn }也是独立同分布的随机变量序列，且
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 nYk 1 Nhomakorabean
k
n a 14
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n n
5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X i 服从区间[5,53](单位：分钟) 上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n 次服务时 1 n 间的算术平均值 X i以概率1收敛于何值？ n i 1
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) = 0.1742
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n , n 并确定常数a之值.
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 由此得：
85 0.5 90 P{Y 85} 1 0.966. 9
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
P X n / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
x /15 0.5 140 P{15Y x} 0.95 42 中解得 x 2252.
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 根据题意 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。
二项分布的正态近似
定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设Yn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
Yn np lim P x (x) n np(1 p )
注意点
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
E[Yk ] E[ X 32k 2 X 3k 1 X 3k ] E[ X 32k 2 ] E[ X 3k 1 X 3k ] Var[ X 3k 2 ] ( E[ X 3k 2 ]) 2 E[ X 3k 1 ]E[ X 3k ] 6 4 4 14 k 1, 2, , n {Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 ＝0.17635
5.5 5 4.5 5 4.95 4.95
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
解：设Yk =X 32k 2 X 3k 1 X 3k ,由于{ X n }是独立同分布的随机变量序列 所以， {Yn }也是独立同分布的随机变量序列，且
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 nYk 1 Nhomakorabean
k
n a 14
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n n
5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X i 服从区间[5,53](单位：分钟) 上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n 次服务时 1 n 间的算术平均值 X i以概率1收敛于何值？ n i 1
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) = 0.1742
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n , n 并确定常数a之值.
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 由此得：
85 0.5 90 P{Y 85} 1 0.966. 9
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
P X n / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
x /15 0.5 140 P{15Y x} 0.95 42 中解得 x 2252.
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 根据题意 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。