辽宁省营口市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析

辽宁省营口市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）
A ．1712π+
B ．2012π+
C ．1212π+
D ．1612π+
【答案】B
【解析】
【分析】 根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.
【详解】
由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱
∴几何体表面积：()
221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 2．函数()1f x x =
与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+
B ．2ln 21-
C ．ln 2-
D ．ln 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。

【详解】 441ln ln 41=2ln 21e
e dx x x
⎰==--
本题考查定积分的几何意义，属于基础题。

3．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
此题考查的是排列组合 思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有中，再从两双中选不同的两只有4种。

答案 A
点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。

4．下列说法正确的是( )
A ．若命题,p q ⌝均为真命题，则命题p q ∧为真命题
B ．“若6π
α=，则1sin 2α=”的否命题是“若1sin 62
παα=≠，则” C ．在ABC ∆，“2C π
=”是“sin cos A B =”的充要条件
D ．命题:p “2000,50x R x x ∃∈-->”的否定为:p ⌝“2,50x R x x ∀∈--≤”
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可．
【详解】
对于A ：若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p∧q 为假命题，所以A 不正确；
对于B ：“若6π
α=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2
α≠”，所以B 不正确； 对于C ：在△ABC 中， “2C π=”⇔“A+B=2π”⇔“A=2
π-B”⇒sinA=cosB ， 反之sinA=cosB ，A+B=2π，或A=2π+B ，“C=2
π”不一定成立， ∴C=2π是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以C 不正确； 对于D ：命题p ：“∃x 0∈R，x 02-x 0-5＞0”的否定为￢p ：“∀x∈R，x 2-x-5≤0”，所以D 正确．
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．
5．设F，B 分别为椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线
b
y x
a
=与椭圆在第一象限内的交点，若()
FO FC BO BC
λ
+=+，则椭圆的离心率是( )
A．
221
7
+
B．
221
7
-
C．
221
3
-
D．21
-
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的加法法则及共线向量的性质由已知()
FO FC BO BC
λ
+=+，得BF与OC交点为OC的中点，从而有BFO BFC
S S
∆∆
=，然后把四边形BOFC的面积用两种不同方法表示后可得,a c的关系式，从而得离心率．
【详解】
根据()
FO FC BO BC
λ
+=+，由平面向量加法法则，则BF与OC交点为OC的中点，故BFO BFC
S S
∆∆
=，由
22
22
1
x y
a b
b
y x
a
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
得,
22
C ⎪
⎝⎭
，
BFO BFC
S S
∆∆
=，则2
BOFC BOF
S S bc
∆
==
11
22
22
BOFC BOC OFC
S S S b c bc
∆∆
=+=⋅+⋅=
可得(221)
a c
=-
221
7
221
c
e
a
+
∴===
-
故选A．
本题考查椭圆的几何性质，解题关键有两个，一个是由向量的加法法则和共线定理得出BF 与OC 交点为OC 的中点，一个是把四边形BOFC 的面积用两种不同方法表示得出,a c 的关系．
6．设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，当()0,x ∈+∞时，()()20xf x f x -'>，则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为（ ）
A ．(),2021-∞-
B ．()()2021,20192019,2017----
C ．()2021,2017--
D ．()(),20192019,2017-∞--- 【答案】B
【解析】
【分析】
设()()2f x F x x
=，计算()0F x '>，变换得到()()20192F x F +<-，根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<，解得答案.
【详解】
由题意()()()200xf x f x x '->>，得()()2
20x f x xf x '->， 进而得到()()2420x f x xf x x
'->，令()()2f x F x x =， 则()()()2420x f x xf x F x x
'-'=>，()()224f F --=，()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<，得
()()()22019242019f x f x +-<+， 即()()20192F x F +<-.
当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x ∴在()0,∞+上是增函数.
函数()f x 是偶函数，()()2f x F x x
∴=也是偶函数，且()F x 在(),0-∞上是减函数， 20192x ∴+<，解得20212017x -<<-，又20190x +≠，即2019x ≠-，
()
()2021,20192019,2017x ∴∈----. 故选：B .
【点睛】
f x
题的关键.
7．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）
A ．x R ∃∈，31x >-
B ．x R ∀∈，31x ≤-
C ．x R ∀∈，31x >-
D ．x R ∀∈，31x ≥- 【答案】C
【解析】
【分析】
含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.
【详解】
量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.
故选：C.
【点睛】
本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.
8． “杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S =
A ．1024
B ．1023
C ．512
D ．511
【答案】B
【解析】
【分析】 依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第n 行各个数之和n a 的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出10S
【详解】
由题可得：11112a -==，21222a -==，31342a -==，41482a -==，515162a -==，依次下推可得：
12()n n a n N -*
=∈，所以{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，故1010101(12)21102312S ⨯-==-=-； 故答案选B
【点睛】
本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前n 项和的求和公式，考查学生归纳总结和计算能力，属于基础题。

9．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ）
A ．104
B ．105
C ．26
D ．155
【答案】B
【解析】
【分析】
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值.
【详解】
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AC BC AA '===,
则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，
()1,1,0CE =、()0,2,1C D '=-，
设异面直线CE 与C D '所成角为θ，
则10cos CE C D
θ'⋅===，
∴异面直线CE与C D'所成角的余弦值为10
5
.
故选：B
【点睛】
本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
10．不等式的解集是
A ．B．C．或D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
不等式等价于或，解出即可。

【详解】
或或，故选：C。

【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的等价条件的应用，属于基础题。

11．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）
A．
46
8010
10
100
C C
C
B．
64
8010
10
100
C C
C
C．
46
8020
10
100
C C
C
D．
64
8020
10
100
C C
C
【答案】D
【解析】
本题是一个古典概型，
∵袋中有80个红球20个白球，
若从袋中任取10个球共有10
100
C种不同取法，
而满足条件的事件是其中恰有6个红球，共有64
8020
C C种取法，
由古典概型公式得到P=
64
8020
10
100
C C
C
⋅
，
本题选择B选项.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”
12．已知集合{1,P =2，3}，{2,Q =3，4}，则(P Q ⋂= )
A ．{}1
B ．{}2,3
C ．{}2,4
D ．{1,2，3，4} 【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据交集的定义求解即可．
【详解】
因为集合P {1,=2，3}，Q {2,=3，4}，
所以，根据交集的定义可得{}P Q 2,3⋂=，
故选B ．
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.
二、填空题：本题共4小题
13．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________． 【答案】
54 【解析】
【分析】
首先确定线段AB 所在的方程，然后求解其垂直平分线方程，最后确定线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标即可.
【详解】
设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的焦点弦公式有：22212sin sin p AB θθ=
==， 则221sin ,tan 12
θθ==， 由抛物线的对称性，不妨取直线AB 的斜率tan 1k θ==，则直线AB 的方程为：14y x =-
， 与抛物线方程联立可得：2
310216
x x -+=，由韦达定理可得：1232x x +=， 设AB 的中点(),M M M x y ，则1
2324M x x x +==，1142M M y x =-=， 其垂直平分线方程为：1324y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝
⎭，
令0y =可得54x =，即线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为54. 【点睛】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，22sin p AB θ
=若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 14．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 【答案】5 【解析】 【分析】
设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化
为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.
【详解】
设复数z x yi =+
2Re 2z z -=+
∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+
∴ 222(2)(2)x y x -+=+
整理得:2
8y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线. 32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-
转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.
由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P
根据抛物线定义可知,11
PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =
∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.
故答案为:5.
【点睛】
本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.
15．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
【答案】431
【解析】
数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，1，1、 3，3，1，1．
所以共有44444442218432A A A +==种不同排法．
16．若不等式321032
a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞
【解析】
【分析】
令()32132
a a f x x x =-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围．
【详解】
令()32132
a a f x x x =-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >；
所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去；
当0a =时，有10<，显然不成立；
当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<；
所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
依题意，需()110,32a a f ⎧=-+<⎪⎪解得6a >，
故实数a 的取值范围是()6,+∞.
【点睛】
本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为1cos 1sin x r y r αα=+⎧⎨=+⎩
（α为参数，0r >），以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M 的普通方程；
（2）若圆C 与曲线M 的公共弦长为8，求r 的值.
【答案】 (1) 曲线C 的直角坐标方程为()2
2416x y +-=,曲线M 的普通方程为()()
22211x y r -+-=
;(2) r =【解析】 分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆C 的直角坐标方程；消去参数α即可得曲线M 的普通方程；
（2）联立圆C 与曲线M ，因为圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8，即公共弦直线经过圆C 的圆心，即可得到答案.
详解：(1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，
所以22
80x y y +-=，
即()22416x y +-=，
故曲线C 的直角坐标方程为()22416x y +-=.
曲线M 的普通方程为()()22211x y r -+-=
（2）联立()()()2222241611x y x y r ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，得2262x y r -=- 因为圆C 的直径为8，且圆C 与曲线M 的公共弦长为8，
所以直线2
262x y r -=-经过圆C 的圆心()0,4， 则2220642,6r r ⨯-⨯=-=，
又0r >
所以r =
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；
(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
18．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{n b }满足n n n b a =
，求数列{n b }的前n 项和n S ． 【答案】 (1) 12n n a (2) 1242
n n n S -+=- 【解析】
【分析】
(1)根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比,再代入通项公式即可得到;
(2)利用错位相减法可求得n S .
【详解】
设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >, （1）∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴423
11112231
a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩,所以22320q q --= ∴q ＝2，12
q =-(舍去) 所以1112n n n a a q --==；
（2）∵12n n n n n b a -=
=， ∴01211232222n n n S -++++=，① 121112122222
n n n n n S --=++++，② ①﹣②得2111111222
22n n n n S -=++++-＝112112n --=12212222n n n n n +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， ∴1242n n n S -+=-
. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.
19．已知复数
2
3(68)(1) 41
m m
m i
z
m i
--++
=+
--
（i为虚数单位，m R
∈）.
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【答案】 (1) 2
m= (2) 34
m
<<
【解析】
分析：（1）由复数的运算法则可得()
2
3
68
4
m
z m m i
m
-
=+-+
-
.据此得到关于实数m的方程组，解得2
m=. （2）结合(1)中的结果得到关于m的不等式组，求解不等式组可知34
m
<<.
详解：（1）
()()
2681
3
41
m m i
m
z
m i
-++
-
=+
--
()()
()()
2
2681
3
411
m m i
m
m i i
-++
-
=+
--+
()
2
3
68
4
m
m m i
m
-
=+-+
-
.
因为z是实数，所以
2
40
680
m
m m
-≠
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得2
m=.
（2）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
所以
2
3
4
680
m
m
m m
-
⎧
>
⎪
-
⎨
⎪-+<
⎩
，解得34
m
<<.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，90
B
∠=，//
BE CD，且222
BE CD BC
===，A为BE 的中点
.将EDA沿AD折到PDA位置(如图2)，连结PC，PB构成一个四棱锥P ABCD
-．
（Ⅰ）求证AD PB
⊥；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．
①求二面角B PC D
--的大小；
②在棱PC上存在点M，满足()
01
PM PC
λλ
=≤≤，使得直线AM与平面PBC所成的角为45，求λ的值．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或
23
λ=
． 【解析】
【分析】 (Ⅰ)可以通过已知证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；
(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；
②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.
【详解】
证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，
ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，
90B ∠=，AD BE ∴⊥，
当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，
又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ，
又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．
解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD
则(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)
(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，
设平面PBC 的法向量为(,n x =y ，)z ，
则00
PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)， 设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，
则00
m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)， 设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角， 则1cos 222m n m n θ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=． ∴二面角B PC D --的大小为120．
②设AM 与面PBC 所成角为α，
(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，
平面PBC 的法向量(1,n =0，1)，
直线AM 与平面PBC 所成的角为45，
22212sin cos ,22(1)AM n AM n AM n λλαλλλ⋅+-∴==
==⋅⋅++-， 解得0λ=或23
λ=． 【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
21．已知函数()2ln f x x x mx =-.
（1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为e -，求m 的值.
【答案】（1）220x y --=（2）2ln 24-+
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）由题得'()2ln 2f x x m =-+，再对m 分类讨论求出函数f(x)的最小值，解方程即得m 的值.
【详解】
解：（1）()2ln f x x x =，则(1)0f =
'()2ln 2f x x =+，'(1)2f =，
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为02(1)y x -=-，
即220x y --=.
（2）由()2ln f x x x mx =-，可得'()2ln 2f x x m =-+
①若4m ≥，则'()0f x 在[1,]e 上恒成立，即()f x 在[1,]e 上单调递减，
则()f x 的最小值为(e)2e e e f m =-=-，故3m =，不满足4m ≥，舍去；
②若2m ≤，则'()0f x ≥在[1,]e 上恒成立，即()f x 在[1,]e 单调递增，
则()f x 的最小值为(1)e f m =-=-，故m e =，不满足2m ≤，舍去；
③若24m <<，则当221,e m
x -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，
'()0f x <；当22e ,e m x -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，'()0f x >， ∴()f x 在221,e m
-⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在22,m e e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递增， ∴()f x 的最小值为2222e 2e e m
m f --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，解得2ln 24m =-+，满足24m <<. 综上可知，实数m 的值为2ln 24-+.
【点睛】
本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
22．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin()32πρθ+
=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x m
y m
=⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）已知点)2P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB .
【答案】（110y +-=， 24x y =；（2）44
【解析】
分析：（1）首先将直线l 的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用代入消元法消去m 可求得曲线C 的普通方程.（2）利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得PA PB ⋅的值.
详解：
（1）由132sin πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭得1332
sin cos cos sin ππρθρθ+=，即10sin cos ρθθ-=，∴l 的直角
10y +-=，
由244x m y m =⎧⎨=⎩，得4x m =，代入24y m =得244x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，即24x y =，所以C 的普通方程：24x y =； （2
）)
2P -在l 上，l
的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 将l 的参数方程代入C
得：21422t ⎛⎫⎫=⨯- ⎪⎪ ⎪⎭⎝
⎭
，即2440t -+=， ∴1244t t =， ∴1244PA PB t t ==.
点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解题.属于基础题.。