2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第41讲不等关系与不等式的性质含答案

1．不等关系
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(a ≥0，b ≥0)
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 5．合情推理与演绎推理
(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用． (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用它们进行一些简单的推理． (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 6．直接证明与间接证明
(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． (2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．
1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况
2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况
2018第14题线性规划，求最大值
直接考查不等式的试题，主要是线性规划，2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ考查线性规划的试题每年1道，占5分．主要考查线性目标函数的最值或范围，且线性目标函数一般是具体系数的函数，只有2014年全国卷Ⅰ目标函数中含有一个参数，由最值确定其参数值．难度一般是中等难度，2016年全国卷Ⅰ考查了线性规划的实际应用问题．
直接考查推理与证明的试题只有2014年全国卷Ⅰ的第14题和2016年全国卷Ⅱ的第16题及2017年全国卷Ⅱ的第9题，都是考查演绎推理，难度中等．
1．不等式与高中数学其他内容联系密切，在数学各分支中都有很广泛的应用．从近几年全国全国卷高考试题来看，纯粹考查不等式这一章的试题每年的分值占全卷的比例并不高，但从整套试卷来看，却处处分布着不等式的知识、方法和技巧．因此，在不等式的复习过程中，要重视不等式的“工具”作用，提高应用意识，会用不等式的知识和方法解决有关问题．
在不等式这一部分的复习过程中，要注意以下问题：
(1)复习不等式的性质时，注意培养严格的逻辑思维，分清一类性质是条件与结论的等价关系，另一类性质仅是由条件推导出结论．
(2)对均值不等式常有求最值或证明不等式中结合其他知识进行考查，注意解题过程中对代数式进行适当的变形及化简，以达到利用均值不等式的三个条件即“一正、二定、三相等”．
(3)不等式的解法以一元二次不等式的解法作为重点，要求掌握含参数一元二次不等式或可化为含参数的二次不等式的求解问题，同时注意三个二次间的联系．
(4)线性规划是高考的热点内容，在高考中频繁出现，对线性规划的考查仍以线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，适当注意利用代数式的几何意义(距离、斜率、面积等)求最值及线性规划的实际应用．
(5)应用问题与不等式结合考查，需要根据题意建立不等式，设法求解或利用均值不等式或函数的单调性求最值．
(6)重视不等式的应用，注意不等式作为“工具性”知识在其他分支的应用，如求函数定义域、值域、单调性及不等式恒成立或有解等问题．
2．在高考中，直接考查推理与证明的试题不多，但推理与证明贯穿于高中数学各章节，因此，本部分内容在高考中单独命题的可能性不大，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法和思路考查有关内容．在备考时要注意：
(1)高考对推理的考查以考查演绎推理为主，主要是在其他章节中结合具体的知识进行考查，如在立体几何中结合位置关系的证明，在导数中结合单调性的证明等进行考查．归纳、类比不仅是新课标创新要求的体现，同时也是复习的有效方法，如等差数列与等比数列之间的类比，圆锥曲线之间的类比等．
(2)在直接证明和间接证明中，其主要有综合法、分析法、反证法等．在应用这些证明方法时，要注意过程的严谨、格式的规范．综合法是高考中考查最多的一种证明方法，它是从已知条件推导出结论，一般按照演绎推理进行，分析法是由结论追溯到条件的证明方法．反证法是从结论的反面成立出发，推出矛盾的一种间接证明方法，单独要求用反证法证明或举反例的题目不会很多，但是反证法作为一种数学思维模式在解决数学问题中却常常见到．
第41讲不等关系与不等式的性质
1．了解不等式的概念，理解不等式的性质．
2．会比较两个代数式的大小．
3．会利用不等式的性质解决有关问题．
知识梳理
1．不等式的定义
用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较
(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . (2)作商法．设a >0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a
b <1⇔a <b .
3．不等式的基本性质
①对称性：a >b ⇔b <a ；
②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；
④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；
⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >d ac >bd ；
⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒ n
a >n
b (n ∈N ，n >1)．
1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b ； (2)a <0<b
1a <1b
. 2．分数性质
若a >b >0，m >0，则
(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m
a －m (
b －m >0)；
(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m
b －m (b －m >0)．
热身练习
1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B) A ．W >300 B ．W ≥300 C ．W <300 D ．W ≤300
2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )
C ．f (x )<g (x )
D ．随x 的值的变化而变化
因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以f (x )>g (x )．
3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A)
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
a >
b 且
c >
d ⇒a ＋c >b ＋d .
当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c
由c <d <0，cd
1d <1
c
<0， 所以1－d >1
－c >0，又a >b >0，
所以－a d >－b c ，所以a d <b c
.
5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c
的值依次为 －1，－2，－3(答案不唯一) .
只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．
比较大小
设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．
因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，
因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．
比较大小的方法有作差法和作商法．
①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等． ②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．
1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z
令t ＝2x ＝3y ＝5z ，
因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.
则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t
lg 5.
所以2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)
lg 2×lg 3
＝
lg t (lg 9－lg 8)
lg 2×lg 3
＞0，所以2x ＞3y .
又因为2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)
lg 2×lg 5
＝
lg t (lg 25－lg 32)
lg 2×lg 5
＜0，所以2x ＜5z ，
所以3y ＜2x ＜5z .
判断或证明大小关系
下列命题：
①若a >b ，则a 2>b 2
； ②若a >b >0，c >d >0，则
a d
>b c
； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，则a ＋m b ＋m >a
b
；
④若a >b ，则a 3>b 3.
其中，真命题的序号是__________．
对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题． 对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1
c ，
又a >b >0，所以a d >b
c >0，
所以
a d
>b
c
.故②为真命题． 对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )
(b ＋m )b >0.
所以a ＋m b ＋m >a b
，即③为真命题．
对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．
②③④
(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明． (2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；
②利用比较法(如作差法或作商法)；
③利用函数的单调性或借助函数的图象．
2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c
b ；②a
c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中正确结论的序号是 ①②③ .
①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1
a ，
又c <0，所以c a >c
b ，故①正确．
(方法二：利用作差比较法)
因为c a －c b ＝c (b －a )ab >0，所以c a >c b .故①正确．
②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以a
b
>1，c <0，
所以a c b c ＝(a b
)c
<1，所以a c <b c .所以②正确．
(方法二：利用函数的性质)
由幂函数y ＝x c (c <0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当a >b >1时，a c <b c ，故②正确．
③因为a >b >1，又c <0，所以a －c >b －c ，
由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．
不等式性质的应用
若变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
3≤2x ＋y ≤9，
6≤x －y ≤9， 则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．
本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x －y 的范围已经给出，若
能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．
因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ， 而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6， 所以－6≤x ＋2y ≤3，
当⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号， 所以z 的最小值为－6.
－6
(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，
能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．
(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.
3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0，x ＋y ≤3，
x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
2x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋4
3
×3＝4.
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2
时取等号，满足x ≥0， 所以(2x ＋y )max ＝4.
1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．
2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．
3．求范围问题：
(1)差的范围转化为和的范围．
⎩⎨⎧ a <x <b c <y <d ⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
a <x <
b －d <－y <－
c ⇒a －
d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．
(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．
常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．。