《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲

《高等数学》下册期末考试考前复习提纲
第一部分 空间解析几何与向量代数
一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义
有大小有方向的线段a
（自由向量） （2）向量的表示
1）),,(z y x a a a a =
， 为向量的直角坐标表示
2）0a a a
=，
其中a 为向量的模（大小），2
22z
y x a a a a ++= 0a 为a
的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a a
αβγ==，
)cos ,cos ,(cos γβα为a
的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα
注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121
{(),(),()}
A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算
),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+
),,(z y x a a a a λλλλ=
（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,
,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤
2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
特例：当b a ⊥时，0=⋅b a
（两向量垂直的判据）
（3）向量积（矢积，叉积）
1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c
为右手螺旋关系
2）()()()x
y z y z z y
z x x z x y y x x
y z
i
j k
a b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-
特例：当b a
//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==
（两向量平行的判据）
3、两点的间距公式
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=
4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：
D
d =
平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何
1、空间曲面与空间曲线 （1）方程
曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）
曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0
),,(2
1z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===
（2）常见的曲面与曲线
1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一
定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F
母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F
2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转
一周所得的曲面
例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线
t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n
4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面
122
2222=++c
z b y a x
椭球面与平行于坐标面平面的交线：
→⎪⎩⎪⎨⎧==++1
2222221
z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-1
2122
22
2122221)()(z z z c c b y
z c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++1
22
22
22
1
y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-1
2122
22
2122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++1
22
22
22
1x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-1
2122
22
2122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。

)(b 抛物面
z q
y p x =+222
2椭圆抛物面； z q
y p x =+-2222双曲抛物面（q p ,同号） 椭圆抛物面与平行于坐标面平面的交线：
⎪⎩⎪
⎨⎧==+112
12122z z qz y pz x 为在1z z =平面内的椭圆；
⎪⎩⎪⎨⎧=-=1212)
2(2y y q y z p x 为在1y y =平面内的抛物线
⎪⎩⎪⎨⎧=-=1212)
2(2x x p x z p y 为在1x x =平面内的抛物线
)(c 双曲面
122
2222=-+c
z b y a x （单叶）
122
2222-=+-c
z b y a x （双叶） 单叶双曲面与平行于坐标面平面的交线：
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+1
22122221z z c z b y a x 为在1z z =平面内的椭圆；
)(1)1()1(1
22122
2212
2b y y y b y c z b y a x ±≠⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==---
为在1y y =平面内的双曲线
⎪⎩⎪⎨⎧==±b
y c z a x 0
为一对相交于（0,,0b ）的直线；
⎪⎩⎪⎨⎧-==±b
y c
z a x 0
为一对相交于（0,,0b -）的直线； （3）空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线(,,)0:(,)0(,,)0
xOy z
F x y z C H x y
G x y z =⎧−−−−−−−−→=⎨=⎩若投影到坐标平面
两曲面方程消去法向坐标（空间曲线C 关于xOy 面的投影柱面）(,)0
0H x y z =⎧→⎨
=⎩
（空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线） 2、平面与直线
（1）平面
0),,(=z y x F （三元一次方程）
表示：1）点法式 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
其中),,();,,(0000z y x P C B A n ==
2）一般式 0=+++D Cz By Ax 其中)(000Cx By Ax D ++-=
3）截距式
1=++c
z b y a x 其中c b a ,,为平面在三个直角坐标轴上的截距
注：01） 通过坐标原点的平面：0=++Cz By Ax ，且没有截距式； 02）x //轴的平面：0=+Cz By ；x c ⊥)(轴的平面：C x = （2）直线
表示：1）对称式
n
z z m y y l x x 0
00-=
-=- 其中方向向量),,();,,(0000z y x P n m l a ==
2） 一般式 ⎩⎨⎧=++=++0
222111z C y B x A z C y B x A
当两平面不平行，即222111::::C B A C B A ≠时，其交线为直线 3）参数式
()()()x x t y y t z z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（3）交角
1）两平面βα,间的交角
即两平面法向量),,(),,,(22221111C B A n C B A n ==
间的交角
22
222221
21
21
2121212
12
1c o s C
B A C
B A
C C B B A A n n n n ++++++=⋅= ϕ
，)2
0(π
ϕ≤
≤
当βα⊥时，0021212121=++↔=⋅C C B B A A n n
； βα//时，22211121:::://C B A C B A n n =↔
；
2） 两直线21,L L 间的交角
即两直线的方向向量),,(),,,(22221111n m l a n m l a ==
间的交角
2222222121212121212121c o s n m l n m l n n m m l l a a a a ++++++=⋅= ϕ，)20(πϕ≤≤
当21L L ⊥时，0021212121=++↔=⋅n n m m l l a a
；
21//L L 时，22211121:::://n m l n m l a a =↔
；
3）直线L 与平面α间的交角
即直线的方向向量),,(n m l a = 与平面法向量),,(C B A n =
间的交角的余角
2
22222s i n n m l C B A Cn Bm Al a n a n ++++++=⋅= ϕ，)20(πϕ≤≤
当α⊥L 时，C B A n m l n a :::://=↔
α//L 时，00=++↔=⋅Cn Bm Al n a
；
第二部分 多元函数微分学
一、多元函数的极限 二元函数 ),(y x f z = 若
A y x f Lim y x y x =→),()
,(),(00（确定、有限）
， 则),(y x f 当),(y x 以任意方式（有无穷多种方式）趋于),(00y x 时，极限A 存在。

二、多元函数的连续性
二元函数 ),(y x f z = 若
),(),(00)
,(),(00y x f y x f Lim
y x y x =→，
则),(y x f 在),(00y x 点连续。

三、多元函数的可导性
二元函数 ),(y x f z =， 多元函数 ,...)
,,(z y x f u = 1、偏导数的定义
二元函数 ),(y x f z =
（1）一阶偏导数
x
y x f y x x f L i m f x z z x x x ∆-∆+≡≡∂∂≡→∆),(),(0
y
y x f y y x f Lim f y z z y y y ∆-∆+≡≡∂∂≡
→∆),(),(0
式中),(),(y x f y x x f z f x x -∆+=∆≡∆，
),(),(y x f y y x f z f y y -∆+=∆≡∆均称为偏增量
（2）二阶偏导数 x y x f y x x f L i m x
z
z x x x xx
∆-∆+≡∂∂≡→∆),(),(022
y y x f y y x f L i m y x z
z x x y xy
∆-∆+≡∂∂∂≡→∆),(),(02 x
y x f y x x f L i m x y z z y y x yx
∆-∆+≡∂∂∂≡→∆),(),(02 y y x f y y x f L i m
y
z
z y y y yy
∆-∆+≡∂∂≡→∆),(),(022 其它多元函数偏导数的定义与上相似
2、多元函数的可导性
若在),(000y x z =点，存在偏导数0
,
z z z z y
z x
z ==∂∂∂∂，则称),(y x f z =在
),(000y x z =点可导。

注：（1）由二元函数可导性的定义可见，),(y x f z =在),(000y x z =点可导，未必在
该点连续；
（2）当一阶偏导数存在且连续时，则(,)z f x y =在(,)x y 处可微；可微必可导，但可导未必可微。

这一点与一元函数不同。

3、隐函数的偏导数
（1）隐函数以一个方程表示的情形 二元函数 0),,(=z y x F
《解法一》利用如下公式求偏导数：
)0(,,
≠-=∂∂-=∂∂z z
y z
x F F F y z
F F x z
；
《解法二》对0),,(=z y x F 两边对自变量x 或y 求偏导数，从而求出：z
x
∂∂或z y ∂∂。

（这与一元隐函数求导数的两种解法相似）
（2）隐函数以方程组表示的情形
(,,,)0(,,,)0F x y u v
G x y u v =⎧⎨=⎩
表明：上述方程组中的四个变量中只有两个独立变量
假如(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点00000(,,,)P x y u v 的某一邻域内，具有对各个变
量的连续偏导数，且偏导数组成的Jacobi 行列式
(,)(,)F
F F
G u
v J G
G u v u
v
∂∂∂∂∂=
≡∂∂∂∂∂ 在点00000(,,,)P x y u v ，0J ≠，则方程组(,,,)0
(,,,)0
F x y u v
G x y u v =⎧⎨=⎩在点00000(,,,)P x y u v 的某
一邻域内恒能够确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,),(,)u u x y v v x y ==，它们满足
1(,)1(,)();();(,)
(,)1(,)1(,)();()(,)
(,)x
v u x
x
v u
x
u v u v u
v u v y
v u
y y
v
u
y u v u v u
v u
v
F F F F
G G G G u F G v F G F F F F x J x v x J u x G G G G F F F F G G G G u F G v F G F F F F y J y v y J u y G G G G ∂∂∂∂=-=-
=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-
=-=-∂∂∂∂
4、复合多元函数的偏导数
若(,,),(,),(,),(,)z f u v w u u x y v v x y w w x y ====，则表明： 二元复合函数[(,),(,),(,)]z f u x y v v x y w w x y ===具有： 三个中间变量：,,u v w ；二个最终自变量：,x y
二元复合函数z 有两个对最终自变量(,)x y 偏导数公式，每个偏导数公式中包含三
项，即
;z f u
f v f w x u x
v x w x
z f u f v f w y u y
v
y
w y
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 终上所述，偏导数的公式数=最终自变量的数目；每个偏导数公式包含的项数=
中间变量的数目
注：（1）当某个最终自变量既是最终自变量又是中间变量时，必须要分清不同场
合的不同身份，例如
(,,(,))u f x y z x y =，这是一个二元复合函数,
最终自变量有两个：,x y ；中间变量有三个：,,x y z
因此，偏导数公式有两个，每个偏导数公式中含三项：即
''1310''
2301u f x f y f z f f z z f f x x x y x z x x z x x u f x f y f z f f z z f f y x y y y z y y z y
y ←→←→←→←→∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅+⋅=+⋅≡+⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅+⋅=+⋅≡+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩
（2）复合多元函数的偏导数的求算有两种算法：
1）按照上述算法求算偏导数；
2）先将中间变量与最终自变量的函数关系代入多元复合函数，使其直
接成为多元函数，再求偏导数
5、多元函数的全微分
（1）二元函数(,)z f x y =在考察点(,)x y 可微的充分必要条件是：(,)z f x y =的偏
导数
z z
x y
∂∂∂∂、在考察点(,)x y 存在且连续 （2）多元函数的全微分的表示 二元函数 ),(y x f z = dy y
z dx x z dz ∂∂+∂∂=
三元函数 ),,(z y x f u = dz z
u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=
（3）(,)(,)P x y dx Q x y dy +在区域G 内为某一二元函数(,)u x y 的全微分的充分必要
条件是：1）区域G 是一个单连通区域；
2）
P Q
y x
∂∂=∂∂在G 内处处成立 若已知(,)(,)P x y Q x y 、，且都满足(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy du x y +=的充分必要
条件，则可以通过下列步骤求得(,)u x y 的形式：
1)(,)(,)();
(,)2)(,)()
(,)
u x y P x y d x
g y u x y Q x y g y u x y y
=+∂=−−−−→→∂⎰通过比较 四、多元函数的极值
二元函数的极值 ),(y x f z =
若),(y x f z =在 ),(000y x z =点可导，则极值点必为驻点： ,0),(00=y x f x 0),(00=y x f y ； 且
其中),(),,(),,(000000y x f C y x f B y x f A yy xy xx ≡≡≡ 注：条件极值问题
目标函数),(y x f z =，约束条件0),(=y x ϕ
引入Lagrange 函数),(),(y x y x f L λϕ+=， （其中λ称为不定乘数（子）） 求可能极值点（00,y x ）：
求解下列方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧==+==+=0),(00
y x f L f L y y y x x x ϕλϕλϕ
得),(00y x 。

在仅有一个可能极值点的情况下，该点也就是真正的极值点；在有多个可能极值点的情况下要逐一讨论。

上述做法可推广到三元或三元以上的多元函数情形，也可以推广到多个约束条
件的情形
注：在有些问题中。

我们可以将条件极值问题变换成无条件极值问题处理，具体步
骤如下：利用约束条件，将自变量y 化成另一自变量x 的函数，然后代入目标函数z ，这样)](,[x y x f z =，成为自变量仅为x 的复合函数了。

五、多元函数微分学的其它应用
1、空间曲线的切线与法平面方程
空间曲线:(),(),()x x t y y t z z t Γ=== （参数形式）
过定点),,(0000z y x P 的空间曲线的切线方程为
)()()(00
0000t z
z z t y y y t x x x -=-=- 式中切线向量为))(),(),((000t z t y t x
τ 过定点),,(0000z y x P 的空间曲线的法平面方程为
0))(())(())((000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x
2、空间曲面的法线与切平面方程
空间曲面:(,,)0F x y z ∑= （隐函数形式） 过定点),,(0000z y x P 的空间曲面的法线方程为
00
00P
z P y P x F z z F y y F x x -=-=- 式中法线向量为),,(0
P z
P y
P x
F F F n
过定点),,(0000z y x P 的空间曲面的切平面方程为
0)()()(0000
=-+-+-z z F y y F x x F P z
P y
P x
注：若空间曲面给出的是显函数形式：(,)z f x y =，则可将显函数形式化成隐函数
形式处理，即(,,)(,)0,F x y z f x y z =-=
,,1x
x
y
y
z
P P P P P F f F f F ===-
于是
过定点),,(0000z y x P 的空间曲面的法线方程为
001x y
P P x x y y z z f f ---==
- 过定点),,(0000z y x P 的空间曲面的切平面方程为 0
000()()()0
x
y
P P f x x f y y z z -+---= 3、方向导数与梯度
（1）方向导数
如果三元函数(,,)u f x y z =在考察点0000(,,)P x y z 可微，则函数(,,)u x y z 沿一定方
向(cos ,cos ,cos )l αβγ的方向导数为
00000
00
00
00(,,)
(,,)
(,,)
(,,)
(,,)
c o s c o s c o s
x y z x y z x y z x y z f x y z f
f
f
l x
y z
αβγ∂∂∂∂=
+
+
∂∂∂∂ （2）梯度
如果三元函数(,,)u f x y z =在考察点0000(,,)P x y z 可微，则函数(,,)u x y z 在考察
点0000(,,)P x y z 的梯度为
(,,)
(,,)
(,,)
000000000(,,)(,,)(,,)
(,,)
(,,)
(,,)(,,)x y z x y z x y z x y z x y z f x y z f x y z f x y z gradf x y z f x y z i j k
x
y
z
∂∂∂≡∇=
+
+
∂∂∂ 注：1o 梯度是向量，方向导数是数量； 2o 梯度方向是函数空间变化最快的方向
3o 函数(,,)f x y z 在考察点0000(,,)P x y z 沿某个方向(cos ,cos ,cos )l αβγ的方向
导数与函数在该点梯度的关系是 ；
00
00(,,)
(,,)
0000
0000(,,)
(,,)(,,)c o s (
,,)c o s (,,)c o s x y
z x y z x y
z f x y z g r a d f x y z l
l f x y z f
x y z f x y z α
βγ∂=⋅=∂=++
第三部分 重积分
一、不定积分
二元函数 ),(y x f z =
⎰⎰+=+=)(),(),(),(),(),(2
1
x h y x F dy y x f y g y x F dx y x f
二、定积分 1、定义
二元函数 ),(y x f z =， (,)x y D ∈平面积分区域
max 0
1
(,)(,),({})n
k
k
k k k D
f x y d Lim f λ
σξησλσ→=≡∆=∆∑⎰⎰
2、几何意义
以曲面),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积 3、二重积分的计算
（1）在直角坐标中 面元dxdy d =σ
1）先对y 再对x 积分
作x x =的直线（在该直线上x 不变）
21()()
(,)(,)b
y x a
y x D
f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰
⎰⎰
其中)(),(21x y x y 为x x =直线与积分（简单）
区域D 所交的先对y 积分时的积分下限与上限
2）先对x 再对y 积分
作y y =的直线（在该直线上y 不变）
21()
()
(,)(,)d
x y c
x y D
f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰
⎰⎰
其中)(),(21y x y x 为y y =直线与积分（简单）区域D 所交的先对x 积分时
的积分下限与上限
（2）在极坐标中 面元θρρσd d d =
c o s ,s i n
x y ρθ
ρθ== 1）先对ρ再对θ积分
21()
()
(,)(,)D
f d d f d β
ρθα
ρθρθσθρθρρ=⎰⎰
⎰⎰
其中)(),(21θρθρ为θθ=射线与积分（简单）
区域D 所交的先对ρ积分时的积分下限与上限 2）先对θ再对ρ积分
21()
()
(,)(,)b
a
D
f d d f d θρθρρθσρρρθθ=⎰⎰
⎰⎰
其中)(),(21ρθρθ为ρρ=圆弧与积分（简单） 区域D 所交的先对θ积分时的积分下限与上限
注：（1）在什么情形下，需要对积分区域进行分区？
1）若积分区域本身就是非简单区域时；
2）虽然积分区域是简单区域，但是当在(,)a b 内作直线x x =（或者在(,)c d 内作直
线y y =）时，该直线移动时，涉及到的12(),()y x y x （或者12(),()x y x y ）不同
时。

遇到这种情况时，往往选择适当的积分次序就会避免分区问题的产生。

（2）如何改变二重积分的次序？
1）根据题给的积分次序先确定积分区域D ； 2）确定积分区域中曲线交点的坐标； 3）改变积分次序。

（3）何时用极坐标计算？
被积函数),(y x f 或积分区域D 中出现)(22y x +因子时，用极坐标积分比较方便。

4、三重积分的计算
三元函数 ),,(z y x f u = G z y x ∈),,( （1）在直角坐标中 体元dxdydz dV = ()a “先一后二”的积分
21(,)
(,)
(,,)(,,)xy
z x y xy z x y G
D f x y z dV d f x y z dz σ=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
（先对z 积分，后对（,x y ）积分）
21(,)
(,)
(,,)(,,)yz
x y z yz x y z G
D f x y
z dV d f x y z dx σ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（先对x 积分，后对（,y z ）积分）
21(,)(.)
(,,)(,,)zx
y z x zx y z x G
D f x y z dV d f x y z dy σ=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
（先对y 积分（,z x ）积分）
其中,,xy yz zx D D D 分别为积分区域G 在xoy 平面,yoz 平面与zox 平面上的投影。

()b “先二后一”的积分
(,,)(,,)z
d
c
G
D f x y z dV dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
注：当(,,)()f x y z g z =时，用这种积分方法比较简捷。

（2）在球面坐标中 体元2sin dV r dr d d ϕϕθ=
s i n
c o s s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
()
(,)
20
(,,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )G
f x y z dV d d f r r r r dr θϕθρθϕθϕϕϕθϕθϕ=⋅
⋅⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
（πθπϕ2,max max ==）
（3）在柱面坐标中 体元dz d d dV θρρ=
c o s s i n
x y z z ρθρθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
2211()
(cos ,sin )
max ()
(cos ,sin )
(,,)(cos ,sin ,),(2)
z G
f x y z dV d d f z dz β
ρθρρθρθα
ρθρθρθθρρρθρθθπ==⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
注：当被积函数或积分区域中出现)(222z y x ++因子时，用球面坐标积分比较
方便；出现)(22y x +因子时，用柱面坐标积分比较方便。

第四部分 曲线积分与曲面积分
一、曲线积分与曲面积分 1、曲线积分
（1）对弧长的曲线积分（无向曲线） ⎰=L
ds y x f I ),(
其中弧元dt dt
dz
dt dy dt dx dz dy dx ds 222222)()()()()()(++=++= 有三种计算方法（对平面曲线）：
a) 对显式函数 ()y y x = 或者()x x y =
ds =
或者ds =
[,(b
a I f x y x =⎰
或者[(),d c I f x y y =⎰
b) 对参数式函数 ()
()x x t y y t =⎧⎨=⎩
ds = ,)()(
)](),([22dt dt
dy
dt dx t y t x f I ⎰+=β
α
)c 在极坐标下
ds θ=
[(),,I f β
α
ρθθθ=⎰ 注：1o 对弧长的曲线积分，下限一定小于上限
2o 如果是积分曲线是空间曲线，可以此推广。

特别是当空间曲线是参数形式时，
dt dt
dz
dt dy dt dx ds 222)()()(
++= （2）对坐标的曲线积分（对有向曲线）
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P I L
),,(),,(),,(++=⎰
或者
dt
dt
dz
t z t y t x R dt dt dy t z t y t x Q dt dt dx t z t y t x P I )](),(),([)](),(),([)]
(),(),([++=⎰β
α
注：对坐标的曲线积分的向量表示
因向量)},,,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =
，
矢径元},,{dz dy dx r d =
因此，对坐标的曲线积分也可表示为：
⎰
⋅=L
r d A I
2、曲面积分
（1）对面积的曲面积分（对无向曲面） (,,)I f x y z d
∑
=∑⎰⎰ 计算的一般方法：将对空间曲面的积分变换成曲面在某个坐标面上投影的二重积分 1）将∑投影到xoy 坐标面，投影为xy D ，(,)z z x y = ⎰⎰++=
xy
D y x dxdy z z y x z y x f I 2
21)]
,(,,[
2）将∑投影到zox 坐标面，投影为zx D ，(,)y y z x = ⎰⎰++=
zx
D x z dzdx y y z x z y x f I 2
21)]
),,(,[
3）将∑投影到yoz 坐标面，投影为yz D ，(,)x x y z =
⎰⎰++=
yz
D z y dydz x x z y z y x f I 221)]
,),,([
（2）对坐标的曲面积分（对有向曲面）
d x d y
z y x R d z d x z y x Q dz dy z y x P I ),,(),,(),,(++=⎰⎰∑
其中∑是有向曲面，曲面的方向用曲面的法线方向表示，对一般曲面有上侧与下侧
（对z 轴）或者前侧与后侧（对x 轴），再或者右侧与左侧（对y 轴）之分；对封闭
曲面有外侧与内测之分。

注：1o 曲面的上侧与下侧是对z 轴而言的，上侧是指cos 0γ>，投影到z 轴上为“+”； 下侧是指cos 0γ<，投影到z 轴上为“-”；但是，对x 轴而言，前侧投影为“+”，
后侧投影为“-”，对y 轴而言，右侧投影为“+”， 左侧投影为“-”。

因此在题给曲面上侧或下侧的情形下，必须折算到x 轴或y 轴，是前侧还是后侧或者
是右侧还是左侧
2o 对坐标的曲面积分的向量表示
因向量)},,,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =
有向曲面元{,,}y x z d d d d dydz dzdx dxdy ←∑→←∑→←∑→
∑=
因此对坐标的曲面积分也可表示为：
⎰⎰∑
∑⋅= d A I
其意义为：向量A 通过曲面∑的通量
二、格林公式 高斯公式 *斯托克斯公式
1、格林公式（对闭合平面曲线的坐标的曲线积分成立）
=()L
L D Q P
Pdx Qdy dxdy x y ∂∂+-∂∂⎰⎰⎰（正向） 条件：平面曲线L 分段光滑，(,)(,)P x y Q x y 、在L D 上有连续的一阶偏导数 正向是指：沿L 方向绕行，L D 在其左边
2、对坐标的平面曲线积分与路径无关的条件 若在单连通区域D 内
y
P
x Q ∂∂=∂∂处处成立，则对坐标的平面积分与路径无关，即
⎰
⎰+=+ab
L b
a Qdy Pdx Qdy Pdx ，或者
0=+⎰L
Q d y P d x
3、高斯公式（对闭合空间曲面坐标的曲面积分成立）
()
(
)P Q R
Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z
∑Ω
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰外侧 条件：∑为分片光滑曲面，R Q P ,,具连续的一阶偏导数
注：高斯公式的向量表示：
因向量)},,,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =
有向曲面元},,{dxdy dzdx dydz d =∑
向量A 的散度为 },,
{z
R
y Q x P A A div ∂∂∂∂∂∂=⋅∇≡ ，故高斯公式也可表示为： ⎰⎰⎰⎰⎰∑
Ω
=∑⋅dv A div d A
4、*斯托克斯公式（对闭合空间曲线的坐标的曲线积分成立）
=()
()()R Q
P R
Q P P d x Q d y
R d z d y d z d z d x d x d y
y z z x x y
Γ
Γ∑∂∂∂∂∂∂++-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰
⎰⎰（正向）
条件：空间曲线Γ分段光滑，(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z 、、在曲面∑（连同边界Γ）上有连续的偏导数
正向是指：右手四指沿Γ的方向绕行时，大拇指所指的方向与∑的法向一致。

可见，格林公式是斯托克斯公式在二维情形下的特例 注：1o 斯托克斯公式的向量表示：
因向量)},,,(),,,(),,,({z y x R z y x Q z y x P A =
有向曲面元{,,d dydz dzdx ∑=
}dxdy ，向量A 的旋度为 {(),(),()}R Q P R Q P
rotA A y z z x x y
∂∂∂∂∂∂≡∇⨯=-
--=∂∂∂∂∂∂， i j k x y z P
Q
R
∂∂∂=∂∂∂ 故斯托克斯公式也可表示为：
()A d A d Γ
Γ
∑⋅Γ=∇⨯⋅∑⎰
⎰⎰
2o 格林公式是斯托克斯公式的特例，即当闭合曲线为平面闭合曲线时，向量
{,,}
{,},{,,}A P Q R A P Q d d y d z d z d x d x d y d S d x d y k
=→=∑=
→=
，
()Q P
A k x y
∂∂∇⨯=-∂∂ ，因此， 左边：
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Γ++→
+⎰
⎰
（正向）
L （正向）
右边：
(
)()()()L D R Q P R Q P Q P dydz dzdx dxdy dxdy y z z x x y x y
Γ
∑∂∂∂∂∂∂∂∂-+-+-→-∂∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰
于是斯托克斯公式→格林公式： (
)L
D Q P
Pdx Qdy dxdy x y
∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰L （正向）
第五部分 常微分方程
一、微分方程的概念 1、微分方程的定义
含)(,...,'',',,n y y y y x 的方程：0),...'',',,()(=n y y y y x F 2、微分方程的概念
（1）方程阶数—方程中函数对自变量导数的最高阶数 （2）方程的通解—满足微分方程且含积分常数的函数 方程的特解—满足微分方程且不含积分常数的函数 二、一阶微分方程的解法 1、可分离变量型
若)()(y g x f dx dy
=，即方程中不含y x ,的交叉项时，
C dx x f y g dy
+=⎰⎰)()(
2、齐次方程
若 )(x
y f dx dy = 令,x y
u =则dx du x
u y ux y +==',
，)()(u f x
y
f =
⎰
⎰+=-C dx x
u u f du 1
)(，
即对新函数u 与变量x 而言，方程为可分离变量型了！
3、线性微分方程
若 )()(x Q y x P dx dy =+ （其中y dx
dy
,的幂次均为一次）
通解为 ])([)()(⎰+⎰⎰
=-C dx e x Q e y dx
x P dx x P 相应地有
)()(y Q x y P dy
dx
=+ 通解为 ])([)()(⎰+⎰⎰
=-C dy e y Q e x dy
y P dy y P 4、全微分方程
若 (,)(,)0P x y dx Q x y dy +=， 且 y x P Q =，则方程为全微分方程 此时，必存在一函数(,)u x y ：(,),(,)x y u P x y u Q x y ==，
0(,)0,(,)x y u dx u dy du x y
u x y C +=⇒==
注：一般用观察法求出(,)u x y ；也可以用积分求出(,)u x y ： 由(,)(,)(,)()...(1)x u P x y F x y P x y dx g y =→=+⎰ 再对（1）式两边对y 求偏导数：()
(,)(,)...(2)y dg y u P x y dx Q x y y dy
∂=
+=∂⎰ 比较（2）式两边，求得()(,)(,)()g y u x y P x y dx g y →=+⎰ 5、伯努利方程
()()(0,1)
n dy
P x y Q x y n dx
+=≠ 是一非线性的微分方程 令1n z y -=，(1)n
dz dy
n y dx dx
-=- (1)()(1)()
dz
n P x z n Q x dx
+-=- 是一关于(,)z x 的线性的微分方程，可利用一阶线性微分方程的通解公式求出()z x ，
再求出y =
三、二阶微分方程的解法
1、可降阶的二阶微分方程
（1）)(''x f y =
⎰⎰++=21)()(C x C dx x f x y （2）)',(''y y f y = 令'y P =，dy
dP P
y ='' ),(P y f dy
dP
P
=，当且仅当 )()(),(21P f y f P y f =时，方程为分离变量型 （3）)',(''y x f y =
令'y P =，dx
dP y =''
),(P x f dx
dP
=，当且仅当 )()(),(21P f x f P x f =时，方程为分离变量型 2、二阶线性常系数微分方程
（1）二阶线性常系数齐次微分方程（这里齐次的含义：非齐次项为零） ''0y p y q y ++= 其中21,a a 为常数 特征方程： 20p q ρρ++=
特征根：ρ=
1）21ρρ≠ 两不等的实根24p q ↔> x x e C e C y 2121ρρ+=→ 2）122
p
ρρ==-
两相等的实根24p q ↔= 2
12()p x y C C x e
-→=+
3）βαρβαρi i -=+=21, 一对共轭的复根24p q ↔<
其中,2p
αβ=-=
x e x C x C y αββ)sin cos (21+=→
（2）二阶线性常系数非齐次微分方程
''()y p y q y f x +
+= 其通解为*y y y =+ （线性方程解的架构）
其中y 为对应齐次微分方程的通解，称为余函数（或称补函数） ()y x ： '''0y py qy ++=，特征根：12,ρρ *y 为非齐次方程的特解。

*()y x ： *''*'*()y py qy f x ++= 1）
()()x m f x P x e λ=
其中()m P x 为x 的m 次多项式，λ为常数 则*()x y Q x e λ= 12(),a λρρ≠
则()()*()x m m Q x Q x y Q x e λ=→=； 1()b λρ=或2ρ 单根
则()()*()x m m Q x xQ x y xQ x e λ=→=； 12()2
p
c λρρ===-
等根 则22()()*()x m m Q x x Q x y x Q x e λ=→=
此时()m Q x 中各项系数代入方程后比较方程两边x 同次幂前的系数而确定。

2）()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+
其中()()l n P x P x 、分别为x 的l 次多项式与n 次多项式
则 (1)
(2)*[()c o s ()s i n ]
k m
m y x R x x R x x ωω=+ 其中(1)(2)
m m R R 、均为m 次多项式，max{,}m l n =
而k 值：()0,a k = 当12i λωρρ±≠、； ()1,b k = 当12i or λωρρ±=
而(1)(2)()()m
m R x R x 、中各项的系数通过比较两边x 同次幂前的系数确定。

第六部分 无穷级数
一、常数项级数（简称数项级数） 1、级数收敛的定义
无穷级数
......211++++=∑∞
=n i i
u u u u
每项均为“数”
部分和∑=++==n
i n i n u u u u S 1
21...，
若S u u u S Lim n n n =++++=∞
→......21（确定、有限），则级数收敛，反之，级数发散
注：级数收敛的必要条件：0=∞
→n n u Lim ，但不充分。

2、正项级数 ,...)
2,1(,
0=≥n u n （1）审敛准则
1）第一比较准则（用考察级数与已知敛散性的标准级数比较） 若有两正项级数∑∑n
n n
n v u ,，且,...)2,1(=≤n v u n n ，则
)(a 若∑n
n v 收敛，∑n
n u 必收敛（大敛小必敛）；
)(b 若∑n
n u 发散，∑n
n v 必发散（小散大必散）。

2）第二比较准则（用考察级数与已知歛散性的标准级数比较） 若有两正项级数∑∑n
n n
n v u ,，且0>=∞
→λn
n
n v u Lim
， 则两级数有相同的敛散性
3）一数项级数去掉、增加、改变前有限项或乘以一实数而得到的新级数与原级
数的敛散性相同
4）达朗贝尔准则（检比法或比值法）（考察级数自身比较） 若有正项级数∑n
n u ，且λ=+∞
→n
n n u u Lim
1
存在，则 当1<λ，级数收敛；当1>λ，级数发散。

注：)(a 若1=λ，则需用它法判别；
)(b 正项级数收敛的充要条件：M S n ≤（上有界）
5）柯西准则（检根法或根值法）（考察级数自身比较）
若有正项级数∑n
n u ，且λ=∞
→n n n u Lim 存在，
则当1<λ时，级数收敛；1>λ时，级数发散。

1、一般数项级数 )1......(...21++++=∑n n n
u u u u
其中n u 或者,0≥或者0≤
)2....(...21++++=∑n n
n
u u u u
若（2）收敛，则（1）必收敛，这种收敛称为“绝对收敛”； 若（2）发散，而（1）收敛，这种收敛称为“条件收敛”。

4、交错级数
......)1(...)
1(1211
+-++-=---∑n n n
n n u u u u ，其中0,...)2,1(>=n u n
审敛准则——莱布尼茨准则
若1）......21>>>>n u u u ；2）0=∞
→n n u Lim 则交错级数收敛
5、常见的收敛级数与发散级数（重要！必须记熟！！）
（1）等比级数
(120)
+++++=-∞
=∑n n n
aq aq aq a aq
当1<q 时，级数收敛，且收敛于q
a
S -=1；当1≥q 时，级数发散 （2）调和级数
∑∞
=+++++=1
...1...312111n n n 发散 （3）p 级数
∑∞
=+++++=1
...1...312111n p p p p n n 当1>p 时，级数收敛；当01p <≤时，级数发散 （4）交错级数特例
∑∞
=--+-+-+-=-1
11
...1
)1(...312111)1(n n n n
n 级数收敛（条件收敛） 注：两个数项级数通项代数和构成的级数的敛散性
1o
若1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑收敛，则1()n n n u v ∞
=±∑也收敛；
2o
若1n n u ∞
=∑收敛，1n n v ∞
=∑发散，则1()n n n u v ∞
=±∑必发散；
3o
若1
n n u ∞
=∑发散，1
n n v ∞
=∑发散，则1
()n n n u v ∞
=±∑可能发散，也可能收敛。

二、函数项级数
1、幂级数的定义——每项均为幂函数
20120......n
n
n n
n a x
a a x a x a x ∞
==+++++∑ 或
20120
()
()()...()...n
n n
n n a x a a a x a a x a a x a ∞
=-=+-+-++-+∑
2、幂级数的审敛准则
（1）第一定理——阿贝尔定理
1）若00≠=x x 时，幂级数01n
n n a x ∞
=∑收敛，则0x x <之所有x ，均使
n
n n a x
∞
=∑收敛；
2）若0'0≠=x x 时，幂级数01
'n
n n a x ∞
=∑发散，则0'x x >之所有x ，均使
0n
n n a x
∞
=∑发散。

（2）第二定理
设0
n n n a x ∞
=∑对某一区域之x 收敛，必存在一收敛半径)0(>R ，当R x <，
即R x R <<-时，级数收敛；当R x >，即R x R x >-<,时，级数发散，而 在R x ±=两端，需另作讨论。

（3）对不缺项的幂级数（即系数0,1,2,...n a n ≠=）而言，收敛半径为
1
n n n a
R L i m a →∞+= （确定、有限）
注：1o
对1
()n
n n a x a ∞=-∑，可令11
n n n t x a a t R ∞
==-→→→∑x 的收敛区间
其中1R 为以t 为自变量的收敛半径。

2o
对21n
n n a x ∞
=∑一类的缺项级数，可令R R t C x t n n n →→→=∑∞
=11
2
'
其中1'R 为以t 为自变量的收敛半径，而R 为以x 为自变量的收敛半径 3o
对21
1n n n a x
∞
+=∑一类的缺项级数，与21
n n n a x ∞
=∑的收敛半径相同。

3、幂级数的性质
若幂级数在),(R R - 内收敛，则
（1）和函数∑∞
==0)(n n n x C x S 在敛区),(R R -内逐点连续且可导；
（2）和函数的导数∑∞
=-=1
1
)('n n n x
nC x S 与和函数∑∞
=n
n n x C x S )(有相同的敛区与收
敛半径；
（3）和函数的积分∑⎰
∞
=++=01
11)(n n n x x C n dx x S 与和函数∑∞
=n
n n x C x S )(有相同的敛
区与收敛半径。

4、函数展开成幂级数
若函数)(x f 连续且存在任意阶导数，则)(x f 可展开成泰勒级数或麦克劳林级数 （1）泰勒级数
...))((!
1
...))((''!21))((')()()(2+-++-+
-+=n n a x a f n a x a f a x a f a f x f （2）麦克劳林级数)0(=a ...)0(!
1...)0(''!21)0(')0()()(2++++
+=n n x f n x f x f f x f 注：若将函数)(x f 展开成()x a -的幂级数，则首先要凑出一个()x a -的因子，然后再
利用诸如101
1,(11)1n
n n n x x x x ∞∞
-====-<<+-∑∑的已知公式，作相应的变量对应即可。

5、常见函数的麦克劳林级数 （1）x e
∑∞
==+++++=02!
...!...!21n n
n x
n x n x x x e ， )(+∞<<-∞x （2）x sin
∑∞=+++-=++-+-+-=01
21253)!
12()1(...)!12()1(...!5!3sin k k k k k k x k x x x x x ，)(+∞<<-∞x
（3）x cos
∑∞=-=+-+-+-=0
2242)!2()1(...)!2()1(...!4!21cos k k
k k k k x k x x x x ， )(+∞<<-∞x
（4）)1ln(x +
∑∞
=--<-=+-+-+-=+1
1132)1(,)1(...)1(...32)1ln(n n n n n x n x n x x x x x
*（5）
x
-11 21
01
11.....(1)1n n
n n n x x x x x x x ∞∞
-===+++++==<-∑∑
（6）2110
11...(1)...(1)(1)1n n
n n n x x x x x x ∞--==-+-+-+=-<+∑
6、*函数展开成Fourier 级数
（1）若)(x f 为π2的周期有界函数，在],[ππ-上至多有有限个第一类间断点与极值
点，则)(x f 可在],[ππ-上展开成],[ππ-级数
（1） 若x 为)(x f 的连续点
∑∞
=++=
1
)s i n c o s (2)(n n n nx b nx a a x f 其中dx nx x f a dx x f a n ⎰⎰-
-
=
=
π
ππ
π
π
πcos )(1
,
)(1
0，
,...)2,1(,
sin )(==⎰-n dx nx x f b n π
π
（2） 若x 为)(x f 的间断点
)]0()0([2
1
)(++-=x f x f x f
（3） 若x 为区间的两端点
)]0()0([2
1
)(-++-=ππf f x f
注：若)(x f 为仅定义于],0[π的函数，则对)(x f 可作偶延拓或奇延拓：
1）偶延拓
∑∞
=+=
1
c o s 2)(n n nx a a x f 其中 ,...)
2,1(,c o s )(2
,
)(2
0==
=
⎰
⎰
n dx nx x f a dx x f a n π
π
π
π
2）奇延拓
∑∞
==1sin )(n n nx b x f
其中
,...)2,1(,sin )(2
==
⎰
n dx nx x f b n π
π
（2）若)(x f 为2l 的周期有界函数，满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式
为
01()(c o s s i n ),()
2n n n a n x
n x
f x a
b x C l
l
ππ∞==++∈∑
其中 1()c o s ,(0,1,2,...)
l n l n x
a f x dx n l l
π-=
=⎰
1()sin ,(0,1,2,...)1
{()[()()]}
2l n l n x
b f x dx n l l
C x f x f x f x π--+=
===+⎰。