高中物理新教材同步选修第二册 第2章 2 法拉第电磁感应定律

2 法拉第电磁感应定律
[学习目标] 1.理解并掌握法拉第电磁感应定律，能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小.2.能够运用E ＝Bl v 或E ＝Bl v sin θ计算导体切割磁感线时产生的感应电动势. 3.了解动生电动势的概念，知道导线切割磁感线通过克服安培力做功把其他形式的能转化为电能．
一、电磁感应定律 1．感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源． 2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比． (2)公式：E ＝n ΔΦ
Δt
，其中n 为线圈的匝数．
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏(V)． 二、导线切割磁感线时的感应电动势
1．导线垂直于磁场方向运动，B 、l 、v 两两垂直时，如图甲所示，E ＝Bl v .
甲 乙
2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图乙所示，E ＝Bl v sin θ. 3．导体棒切割磁感线产生感应电流，导体棒所受安培力的方向与导体棒运动方向相反，导体棒克服安培力做功，把其他形式的能转化为电能．
1．判断下列说法的正误．
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流．( × )
(2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大．( × )
(3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小．( × )
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．( √ ) (5)对于E ＝Bl v 中的B 、l 、v ，三者必须相互垂直．( √ )
2．图甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E 甲＝________，E 乙＝________.
答案 Bl v Bl v sin θ
一、法拉第电磁感应定律 导学探究
我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流大小的决定因素和遵循的物理规律．
如图所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中．
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用同种规格的一根磁体和并列的两根磁体以相同速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于什么？
答案 (1)磁通量的变化量ΔФ相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大．
(2)用并列的两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大．
(3)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于ΔΦ
Δt 的大小．
知识深化
1．磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率
ΔΦ
Δt
的比较 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率ΔΦ
Δt
物理 意义
某时刻穿过磁场中某个面的磁感
在某一过程中，穿过某个面的磁通量的变化量
穿过某个面的磁通量变化的快慢
线条数
当B 、S 互相垂直时的大小
Φ＝BS
ΔΦ＝⎩⎪⎨⎪⎧
Φ2－Φ1B ·ΔS S ·ΔB
ΔΦ
Δt ＝⎩⎪⎨⎪⎧
|Φ2－Φ1|Δt
B ·ΔS
Δt
ΔB Δt
·S
注意
若穿过的平面中有方向相反的磁
场，则不能直接用Φ＝BS .Φ为抵消以后所剩余的磁通量
开始和转过180°时平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2BS ，而不是零
在Φ－t 图像中，可用图线的斜率表示ΔΦ
Δt
2.公式E ＝n ΔΦ
Δt
的理解
感应电动势的大小E 由磁通量变化的快慢，即磁通量的变化率ΔΦ
Δt 决定，与磁通量Φ、磁通
量的变化量ΔΦ无关．
例1 (2021·宜昌市远安县第一中学高二月考)关于感应电动势的大小，下列说法中正确的是 ( )
A ．穿过线圈的磁通量Φ最大时，所产生的感应电动势就一定最大
B ．穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ增大时，所产生的感应电动势也增大
C ．穿过线圈的磁通量Φ等于0，所产生的感应电动势就一定为0
D ．穿过线圈的磁通量的变化率ΔΦ
Δt 越大，所产生的感应电动势就越大
答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的大小与磁通量的变化率ΔΦ
Δt 成正比，与磁
通量Φ及磁通量的变化量ΔΦ没有必然联系．当磁通量Φ很大时，感应电动势可能很小，甚至为0；当磁通量Φ等于0时，其变化率可能很大，产生的感应电动势也可能很大，而ΔΦ增大时，ΔΦΔt 可能减小．如图所示，t 1时刻，Φ最大，但E ＝0；0～t 1时间内，ΔΦ增大，但
ΔΦ
Δt 减小，E 减小；t 2时刻，Φ＝0，但ΔΦ
Δt
最大，即E 最大，故A 、B 、C 错误，D 正确．
针对训练1 (多选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t 变化的图像如图所示，图线为正弦曲线的一部分，则( )
A ．在t ＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B ．在t ＝1×10－
2 s 时刻，感应电动势最大 C ．在t ＝2×10－2 s 时刻，感应电动势为零
D ．在0～2×10－2 s 时间内，线圈中感应电动势的平均值为零 答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律知E ∝ΔΦ
Δt ，故t ＝0及t ＝2×10－2 s 时刻，E ＝0，A 项错误，C
项正确；t ＝1×10－2 s 时，E 最大，B 项正确；0～2×10－2 s 时间内，ΔΦ≠0，则E ≠0，D 项错误．
例2 如图所示，一个圆形线圈的匝数为n ，半径为a ，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt 时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B 均匀地增大到2B .在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
A.πnBa 2Δt
B.πnBa 2
2Δt C.πBa 2Δt D.πBa 22Δt
答案 B
解析 由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E ＝n ΔΦΔt ＝n ΔB Δt S ＝n 2B －B Δt ·12πa 2
＝πnBa 2
2Δt ，选
项B 正确，A 、C 、D 错误．
例3 (多选)如图甲所示，线圈的匝数n ＝100匝，横截面积S ＝50 cm 2，线圈总电阻r ＝10 Ω，
沿线圈轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正方向，磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示规律变化，则在开始的0.1 s 内( )
A ．磁通量的变化量为0.25 Wb
B ．磁通量的变化率为2.5×10－
2 Wb/s C ．a 、b 间电压为0
D ．在a 、b 间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A 答案 BD
解析 通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，由于0时刻和0.1 s 时刻的磁场方向相反，磁通量穿入的方向不同，则ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb ＝2.5×10－3 Wb ，A 项错误；磁通量的
变化率ΔΦΔt ＝2.5×10－
3
0.1
Wb/s ＝2.5×10－2 Wb/s ，B 项正确；根据法拉第电磁感应定律可知，
当a 、b 间断开时，其间电压大小等于线圈产生的感应电动势大小，感应电动势大小为E ＝n
ΔΦ
Δt ＝2.5 V 且恒定，C 项错误；在a 、b 间接一个理想电流表时相当于a 、b 间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I ＝E r ＝2.5
10 A ＝0.25 A ，D 项正确．
二、导体棒切割磁感线时的感应电动势 导学探究
(1)如图，导体棒CD 在匀强磁场中运动．自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力．导体棒中自由电荷相对于纸面的运动大致沿什么方向？(为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷．)
(2)导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒运动？为什么？导体棒哪端的电势比较高？
(以上讨论不必考虑自由电荷的热运动．)
答案 (1)导体棒中自由电荷(正电荷)随导体棒向右运动，由左手定则可判断正电荷受到沿棒
向上的洛伦兹力作用．因此，正电荷一边向上运动，一边随导体棒匀速运动，所以正电荷相对于纸面的运动是斜向右上方的．
(2)不会．当导体棒中的自由电荷受到的洛伦兹力与电场力平衡时不再定向移动，因为正电荷会聚集在C 点，所以C 端电势高． 知识深化 对公式的理解
(1)当B 、l 、v 三个量的方向互相垂直时，E ＝Bl v ；当有任意两个量的方向互相平行时，导线将不切割磁感线，E ＝0.
(2)当l 垂直于B 且l 垂直于v ，而v 与B 成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E ＝Bl v sin θ.
(3)若导线是弯折的，或l 与v 不垂直时，E ＝Bl v 中的l 应为导线两端点在与v 垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度．
图甲中的有效切割长度为：l ＝cd sin θ； 图乙中的有效切割长度为：l ＝MN ；
图丙中的有效切割长度为：沿v 1的方向运动时，l ＝2R ；沿v 2的方向运动时，l ＝R . 例4 如图所示，MN 、PQ 为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R ，金属棒ab 斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，ab ＝L .磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨间夹角为60°，以速度v 水平向右匀速运动，不计导轨和棒的电阻，则流过金属棒的电流为( )
A.BL v R
B.3BL v 2R
C.BL v 2R
D.
3BL v
3R
答案 B
解析 金属棒切割磁感线的有效长度为L ·sin 60°＝
32L ，故感应电动势E ＝B v ·3L
2
，由欧姆
定律得通过金属棒的电流I ＝
3BL v
2R
，故选B. 三、导体棒转动切割磁感线产生的电动势 导体棒转动切割磁感线：E ＝1
2
Bl 2ω.
如图所示，长为l 的金属棒ab ，绕b 端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B ，ab 棒所产生的感应电动势大小可用下面两种方法推出．
方法一：棒上各处速率不等，故不能直接用公式E ＝Bl v 求．由v ＝ωr 可知，棒上各点的线速度跟半径成正比．故可用棒的中点的速度作为平均切割速度代入公式计算． v ＝ωl 2，E ＝Bl v ＝1
2
Bl 2ω.
方法二：设经过Δt 时间，ab 棒扫过的扇形面积为ΔS ， 则ΔS ＝12lωΔtl ＝1
2
l 2ωΔt ，
磁通量的变化ΔΦ＝B ΔS ＝1
2Bl 2ωΔt ，
所以E ＝n ΔΦΔt ＝n B ΔS Δt ＝12
Bl 2
ω(n ＝1)．
例5 如图所示，半径为r 的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场(磁感应强度为B )中，绕O 轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，则通过电阻R 的电流的方向和大小是(金属圆盘的电阻不计)( )
A ．由c 到d ，I ＝Br 2ω
R
B ．由d 到c ，I ＝Br 2ω
R
C ．由c 到d ，I ＝Br 2ω
2R
D ．由d 到c ，I ＝Br 2ω
2R
答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E ＝Br ·12rω＝1
2Br 2ω，由欧姆定律得通过电阻R
的电流I ＝E R ＝12Br 2
ωR ＝Br 2ω
2R
.圆盘相当于电源，由右手定则可知电流方向为由边缘指向圆心，
所以电阻R 中的电流方向为由d 到c ，选项D 正确． 四、公式E ＝n ΔΦ
Δt
与E ＝Bl v sin θ的区别与联系
公式 E ＝n ΔΦΔt
E ＝Bl v sin θ
研究对象
某个回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
内容
(1)求的是Δt 时间内的平均感应电动势，E 与某段时间
或某个过程对应． (2)当Δt →0时，E 为瞬时感应电动势
(1)若v 为瞬时速度，求的是瞬时感应电动势． (2)若v 为平均速度，求的是平均感应电动势． (3)当B 、l 、v 三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用范围
对任何电路普遍适用
只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系
(1)E ＝Bl v sin θ是由E ＝n ΔΦ
Δt
在一定条件下推导出来的．
(2)整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
例6 如图所示，导轨OM 和ON 都在纸面内，导体AB 可在导轨上无摩擦滑动，AB ⊥ON ，ON 水平，若AB 以5 m/s 的速度从O 点开始沿导轨匀速向右滑，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为0.2 T ．问：(结果可用根式表示)
(1)第3 s 末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？ (2)0～3 s 内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？ 答案 (1)5 3 m 5 3 V (2)1532 Wb 5
2 3 V
解析 (1)第3 s 末，夹在导轨间导体的长度为： l ＝v t ·tan 30°＝5×3×tan 30° m ＝5 3 m 此时E ＝Bl v ＝0.2×53×5 V ＝5 3 V. (2)0～3 s 内回路中磁通量的变化量为： ΔΦ＝BS －0＝0.2×12×15×5 3 Wb ＝153
2
Wb
0～3 s 内电路中产生的平均感应电动势为： E ＝ΔΦΔt ＝15323 V ＝5
2
3 V.
针对训练2 (多选)如图所示，一导线弯成半径为a 的半圆形闭合回路．虚线MN 右侧有范围足够大、磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下．回路以速度v 向右匀速进入磁场，直径CD 始终与MN 垂直．从D 点到达边界开始到C 点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A ．感应电动势最大值E ＝2Ba v
B ．感应电动势最大值E ＝Ba v
C ．感应电动势的平均值E ＝12Ba v
D ．感应电动势的平均值
E ＝1
4πBa v
答案 BD
解析 在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示，所以进入过程中l 先逐渐增大到a ，再逐渐减小为0，由E ＝Bl v 可知，最大值为Ba v ，最小值为0，故A 错误，B 正确；平均感应电动势E ＝ΔΦΔt ＝B ·12πa 22a v
＝1
4
πBa v ，故D 正确，C 错误．
训练1
考点一 公式E ＝n ΔΦ
Δt
的理解和应用
1．(2021·天津六校联考高二上期末)关于感应电动势的大小，下列说法中正确的是( ) A ．线圈所在处磁感应强度越大，产生的感应电动势一定越大 B ．线圈中磁通量越大，产生的感应电动势一定越大 C ．线圈中磁通量变化越大，产生的感应电动势一定越大 D ．线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势一定越大 答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦ
Δt 可知，感应电动势的大小取决于线圈的匝数n 和磁
通量的变化率ΔΦ
Δt ，而与磁感应强度B 、磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ没有直接的关系，A 、
B 、
C 错误，
D 正确．
2．(多选)(2021·寿光市现代中学高二月考)如图甲所示，一矩形线圈置于匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示．则线圈中产生的感应电动势的情况为( )
A ．t 1时刻感应电动势最大
B ．t ＝0时刻感应电动势为零
C ．t 1时刻感应电动势为零
D ．t 1～t 2时间内感应电动势增大 答案 CD
解析 由于线圈内磁场面积一定、磁感应强度变化，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为E ＝nS ·ΔB Δt ∝ΔB
Δt .由题图乙可知，t ＝0时刻磁感应强度的变化率不为零，则感应电动势不为
零，故B 错误；t 1时刻磁感应强度最大，磁感应强度的变化率为零，感应电动势为零，故A 错误，C 正确；t 1～t 2时间内磁感应强度的变化率增大，则感应电动势增大，故D 正确． 3.面积S ＝4×10－
2 m 2、匝数n ＝100的线圈放在匀强磁场中，且磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B 随时间t 变化的规律如图所示，下列判断正确的是( )
A ．在开始的2 s 内，穿过线圈的磁通量的变化率等于0.08 Wb/s
B ．在开始的2 s 内，穿过线圈的磁通量的变化量等于零
C ．在开始的2 s 内，线圈中产生的感应电动势等于0.08 V
D ．在第3 s 末，线圈中的感应电动势等于零 答案 A
解析 在开始的2 s 内，穿过线圈的磁通量的变化量大小为ΔΦ＝ΔB ·S ＝0.16 Wb ，磁通量的变化率为ΔΦΔt ＝0.08 Wb/s ，感应电动势为E ＝n ΔΦ
Δt ＝100×0.08 V ＝8 V ，选项A 正确，选项B 、
C 错误；在第3 s 末，磁感应强度大小为零，但此时磁通量的变化率不为零，故此时感应电动势不为零，选项
D 错误．
4．通过一单匝闭合线圈的磁通量为Φ，Φ随时间t 的变化规律如图所示，下列说法中正确的是( )
A ．0～0.3 s 时间内线圈中的感应电动势均匀增加
B ．第0.6 s 末线圈中的感应电动势大小为4 V
C ．第0.9 s 末线圈中的感应电动势的值比第0.2 s 末的小
D ．第0.2 s 末和第0.4 s 末的感应电动势的方向相同 答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E ＝ΔΦΔt 可知，0～0.3 s 时间内，E 1＝8 Wb 0.3 s ＝80
3 V ，保持不变，
故A 错误；由题图可知，在0.3～0.8 s 时间内，线圈中磁通量的变化率不变，则感应电动势也不变，所以第0.6 s 末线圈中的感应电动势大小 E 2＝8 Wb －6 Wb
0.8 s －0.3 s ＝4 V ，故B 正确；同理，
第0.9 s 末线圈中的感应电动势大小E 3＝ 6 Wb
1.0 s －0.8 s ＝30 V ，大于第0.2 s 末的感应电动势的
值，故C 错误；由E ＝ΔΦ
Δt
可知，0～0.3 s 感应电动势的方向与0.3～0.8 s 感应电动势的方向
相反，所以第0.2 s 末和第0.4 s 末的感应电动势的方向相反，故D 错误．
5.如图所示，半径为r 的单匝金属圆环以角速度ω绕通过其直径的轴OO ′匀速转动，匀强磁场的磁感应强度为B .从金属圆环所在平面与磁场方向重合时开始计时，在转过30°角的过程中，环中产生的感应电动势的平均值为( )
A ．2Bωr 2
B ．23Bωr 2
C ．3Bωr 2
D ．33Bωr 2
答案 C
解析 在题图所示位置时穿过金属环的磁通量Φ1＝0，转过30°角时穿过金属环的磁通量大小Φ2＝BS sin 30°＝12BS ，转过30°角所用的时间Δt ＝Δθω＝π6ω，由法拉第电磁感应定律，得感应
电动势平均值E ＝ΔΦΔt ＝Φ2－Φ1
Δt
＝3Bωr 2，故C 正确，A 、B 、D 错误．
6.如图为某中学物理兴趣小组为研究无线充电技术，动手制作的一个“特斯拉线圈”．线圈匝数为n ，面积为S ，若在t 1到t 2时间内，匀强磁场垂直于线圈平面穿过线圈，其磁感应强度大小由B 1均匀增加到B 2，则该段时间内线圈两端的电势差的大小( )
A ．恒为S (
B 2－B 1)
t 2－t 1
B ．从0均匀变化到S (B 2－B 1)
t 2－t 1
C ．恒为nS (B 2－B 1)
t 2－t 1
D ．从0均匀变化到nS (B 2－B 1)
t 2－t 1
答案 C
解析 穿过线圈的匀强磁场的磁感应强度均匀增加，故产生恒定的感应电动势，根据法拉第
电磁感应定律，有E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB
Δt ＝nS B 2－B 1t 2－t 1，选项C 正确，A 、B 、D 错误．
考点二 导线切割磁感线产生的电动势
7．如图所示，平行导轨间距为d ，其左端接一个电阻R ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上．一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计．当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v 在导轨上滑行时，通过电阻R 的电流大小是( )
A.Bd v
R B.Bd v sin θR
C.Bd v cos θR
D.Bd v R sin θ
答案 D
解析 金属棒MN 垂直于磁场放置，运动速度v 与棒垂直，且v ⊥B ，即已构成两两相互垂直的关系，MN 接入导轨间的有效长度为L ＝d sin θ，所以E ＝BL v ＝Bd v sin θ，I ＝E R ＝Bd v
R sin θ，故选项D 正确．
8.如图所示，PQRS 为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN 为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面向里，MN 与水平方向成45°角，E 、F 分别为PS 和PQ 的中点．则( )
A ．当E 点经过边界MN 时，感应电流最大
B ．当P 点经过边界MN 时，感应电流最大
C ．当F 点经过边界MN 时，感应电流最大
D ．当Q 点经过边界MN 时，感应电流最大 答案 B
解析 当P 点经过边界MN 时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大，故B 正确．
9.歼-20战斗机为中国人民解放军研制的第四代战机．如图所示，机身长为L ，机翼两端点C 、D 间的距离为d ，现该战斗机在我国近海海域上空以速度v 沿水平方向直线飞行，已知战斗
机所在空间地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下、大小为B ，C 、D 两点间的电压大小为U .则( )
A ．U ＝BL v ，C 点电势高于D 点电势
B ．U ＝BL v ，D 点电势高于
C 点电势 C ．U ＝Bd v ，C 点电势高于
D 点电势 D ．U ＝Bd v ，D 点电势高于C 点电势 答案 D
解析 战斗机在我国近海海域上空以速度v 沿水平方向直线飞行，战斗机所在空间地磁场磁感应强度的竖直分量为B ，切割磁感线的长度为d ，所以U ＝Bd v ；根据右手定则可知D 点的电势高于C 点的电势，选项D 正确，A 、B 、C 错误．
10.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v 沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E ，将此棒弯成长度相等且相互垂直的两段，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角角平分线的方向以速度v 运动时，棒两端的感应电动势大小为E ′.则E ′
E
等于( )
A.12
B.2
2 C ．1 D. 2 答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L ，E ＝BL v ；折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为l ＝⎝⎛⎭⎫L 22＋⎝⎛⎭⎫L 22＝22L ，故产生的感应电动势为E ′＝Bl v ＝B ·22L v ＝22E ，所以E ′
E
＝
2
2
，故B 正确． 11．(多选)(2021·厦门市双十中学高二上月考)如图所示，置于匀强磁场中的一段导线abcd 与
缠绕在螺线管上的导线组成闭合回路，螺线管MN 上的绕线方式没有画出，A 是MN 正下方水平放置在地面上的细金属圆环，若在磁场变化的过程中，圆环A 突然跳起，以下磁场的磁感应强度B 随时间t 变化的规律可能正确的是( )
答案 CD
解析 金属圆环A 中感应电流产生的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化，由于圆环A 突然跳起，向通电螺线管靠近，说明穿过线圈的磁通量减小，所以螺线管MN 产生的磁场在减弱，即螺线管中的电流减小，感应电动势减小，根据法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt ＝n ΔB Δt S ，
知
ΔB
Δt
减小，即B 的变化率减小，C 、D 正确，A 、B 错误． 12．(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图(a)中虚线MN 所示．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S ，将该导线做成半径为r 的圆环固定在纸面内，圆心O 在MN 上．t ＝0时磁感应强度的方向如图(a)所示，磁感应强度B 随时间t 的变化关系如图(b)所示，则在t ＝0到t ＝t 1的时间内( )
A ．圆环所受安培力的方向始终不变
B ．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C ．圆环中的感应电流大小为
B 0rS
4t 0ρ
D ．圆环中的感应电动势大小为B 0πr 2
4t 0
答案 BC
解析 根据楞次定律，圆环中的感应电流始终沿顺时针方向，故B 正确；根据左手定则，圆环所受安培力的方向先向左后向右，故A 错误；根据法拉第电磁感应定律，圆环中的感应电
动势大小为πr 2B 02t 0，故D 错误；根据欧姆定律，圆环中的感应电流大小I ＝E R ＝πr 2B 02t 0ρ·2πr S ＝B 0rS
4t 0ρ
，
故C 正确．
13．如图甲所示，在一个正方形金属线圈区域内存在着磁感应强度B 随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直．金属线圈所围的面积S ＝200 cm 2，匝数n ＝1 000，线圈电阻的阻值为r ＝2.0 Ω.线圈与阻值R ＝8.0 Ω的定值电阻构成闭合回路．匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，求：
(1)t 1＝2.0 s 时线圈产生的感应电动势的大小； (2)t 1＝2.0 s 时通过电阻R 的感应电流的大小和方向； (3)t 2＝5.0 s 时刻，线圈端点a 、b 间的电压． 答案 (1)1 V (2)0.1 A 方向为b →R →a (3)3.2 V
解析 (1)根据题图乙可知，0～4.0 s 时间内线圈中的磁感应强度均匀变化，t 1＝2.0 s 时，B 2＝0.3 T ，
则在t 1＝2.0 s 时的感应电动势 E 1＝n ΔΦ1Δt 1＝n (B 2－B 0)S Δt 1
＝1 V
(2)在0～4.0 s 时间内，根据闭合电路的欧姆定律得，闭合回路中的感应电流 I 1＝
E 1
R ＋r
＝0.1 A ，由楞次定律可判断流过电阻R 的感应电流方向为b →R →a (3)由题图乙可知，在4.0～6.0 s 时间内，线圈中产生的感应电动势E 2＝n ΔΦ2Δt 2＝n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
B 6－B 4Δt 2S ＝4 V
根据闭合电路的欧姆定律，t 2＝5.0 s 时闭合回路中的感应电流I 2＝E 2
R ＋r
＝0.4 A ，方向为a →R →b
则U ab ＝I 2R ＝3.2 V.
训练2
1.如图所示，导线OA 长为l ，在方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中以角速度ω沿图中所示方向绕通过悬点O 的竖直轴旋转，导线OA 与竖直方向的夹角为θ.则OA 导线中的感应电动势大小和O 、A 两点电势高低的情况分别是( )
A ．Bl 2ω O 点电势高
B ．Bl 2ω A 点电势高
C ．1
2Bl 2ωsin 2θ O 点电势高
D ．1
2Bl 2ωsin 2 θ A 点电势高
答案 D
解析 导线OA 切割磁感线的有效长度等于OA 在垂直磁场方向上的投影长度，即l ′＝l ·sin θ，产生的感应电动势E ＝12Bl ′2ω＝1
2Bl 2ωsin 2θ，由右手定则可知A 点电势高，所以D 正确．
2．(多选)在农村，背负式喷雾器是防治病虫害不可缺少的重要农具，其主要由压缩空气装置、橡胶连接管、喷管和喷嘴等组成．给作物喷洒农药的情景如图甲所示，摆动喷管，可将药液均匀喷洒在作物上．一款喷雾器的喷管和喷嘴均由金属制成，喷管摆动过程可简化为图乙所示，设ab 为喷管，b 端有喷嘴，总长为L .某次摆动时，喷管恰好绕ba 延长线上的O 点以角速度ω在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，且始终处于垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场中，若Oa 距离为L
2
，则喷管在本次摆动过程中( )
A ．a 端电势高
B ．b 端电势高
C ．a 、b 两端的电势差为1
2BL 2ω
D ．a 、b 两端的电势差为BL 2ω
解析 喷管绕ba 延长线上的O 点以角速度ω在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，根据右手定则可知，若ab 中有感应电流，其方向应为由b 到a ，因ab 相当于电源，故a 端的电势高，故A 正确，B 错误；根据法拉第电磁感应定律可得，E ＝BL v ，所以a 、b 两端的电势差为U ab ＝BL Lω2＋3Lω2
2
＝BL 2ω，故C 错误，D 正确．
3.(多选)如图所示，一导线折成边长为a 的正三角形闭合回路，虚线MN 右侧有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下，回路以速度v 向右匀速进入磁场，边CD 始终与MN 垂直，从D 点到达边界开始到C 点进入磁场为止，下列结论中正确的是( )
A ．导线框受到的安培力方向始终向上
B ．导线框受到的安培力方向始终向下
C ．感应电动势的最大值为3
2Ba v D ．感应电动势的平均值为34
Ba v 答案 CD
4．(多选)如图所示是法拉第制作的世界上第一台发电机的模型原理图．把一个半径为r 的铜盘放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，使磁感线水平向右垂直穿过铜盘，铜盘安装在水平的铜轴上．两块铜片C 、D 分别与转动轴和铜盘的边缘接触．G 为灵敏电流计．现使铜盘按照图示方向以角速度ω匀速转动，则下列说法正确的是( )
A ．C 点电势一定低于D 点电势
B ．圆盘中产生的感应电动势大小为Bωr 2
C ．电流计中的电流方向为由a 到b
D ．铜盘不转动，所加磁场磁感应强度均匀减小，则铜盘中产生顺时针方向的感应电流(从左。