7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》分节知识点

浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》分节知识点
一、方程及等式
1、定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
（1）判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
（1）判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：
①它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．
3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4、方程的两个特征：
（1）方程是等式；
（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
5、建立方程：把所要求的量用字母x（或y，…）表示，根据问题中的等量关系列出方程，
这一过程叫做建立方程。

要点二、一元一次方程的有关概念
1、定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程；
②必须只含有一个未知数；
③含有未知数的项的最高次数是1；
④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数).
（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.
要点三、等式的性质
1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2、等式的性质：
（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.
即：如果
，那么(c为一个数或一个式子).
（2）等式的性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（或式子），（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式.即：如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
二、一元一次方程的解法
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称具体做法注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小
公倍数（1）不要漏乘不含分母的项
（2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去
大括号（1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号
移项把含有未知数的项都移到方程的
一边，其他项都移到方程的另一边
(记住移项要变号)
（2）移项要变号
（2）不要丢项
合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指数不变
两边同除以未知数的系数（系数化成1）在方程两边都除以未知数的
系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）移项的定义：把方程中的项改变符合后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
（2）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．（3）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（4）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1、含绝对值的一元一次方程
（1）解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，然后分类讨论：
（1）当时，无解；
（2）当时，原方程化为：；
（3）当时，原方程可化为：或.
2、含字母的一元一次方程：此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；
（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；
（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
三、实际问题与一元一次方程（一）
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
1、列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型
1、和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2、行程问题
（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：
Ⅰ、基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间；
Ⅱ、寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：
Ⅰ、基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间；
Ⅱ、寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：
Ⅰ、基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ、寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3、工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。

基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4、调配问题：寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
四、实际问题与一元一次方程（二）
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
1、列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，
单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点三、常见列方程解应用题的几种类型
1、利润问题
（1）；（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)；
（3）实际售价＝标价×打折率：（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
2、存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
3、数字问题
（1）已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，
例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4、方案问题：选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．。