2021-2022学年北京师大二附中高二(上)期中数学试卷

2021-2022学年北京师大二附中高二（上）期中数学试卷

试题数：21，总分：0

1.（单选题，4分）直线x+y-1=0的倾斜角是（ ） A.30° B.120° C.135° D.150°

2.（单选题，4分）已知圆的方程是x 2+y 2-2x-8=0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ） A.（-1，0）与9 B.（1，0）与9 C.（-1，0）与3 D.（1，0）与3

3.（单选题，4分）已知 a ⃗ =（2，-3，1），则下列向量中与 a ⃗ 平行的是（ ） A.（1，1，1） B.（-2，-3，5） C.（2，-3，5） D.（-4，6，-2）

4.（单选题，4分）椭圆 x 2

2

+

y 2k

=1 的一个焦点是（0，-1），那么k 等于（ ）

A.1

B.3

C. √3

D.4

5.（单选题，4分）已知A ，B ，C ，D 为空间中任意四个点，则 DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ） A. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

6.（单选题，4分）过点M （-3，2），且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是（ ） A.2x-y+8=0 B.x-2y+7=0

C.x+2y+4=0

D.x+2y-1=0

7.（单选题，4分）在空间直角坐标系Oxyz 中，若y 轴上点M 到两点P （1，0，2），Q （1，-3，1）的距离相等，则点M 的坐标为（ ） A.（0，1，0） B.（0，-1，0） C.（0，0，3） D.（0，0，-3）

8.（单选题，4分）过点 (√3，−√5) ，且与椭圆 y 2

25

+

x 29

=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为

（ ） A. x 2

20+y 24

=1 B.

22√5y 2

4

=1

C. y 220+x 24

=1 D. x 24

+

22√5

=1

9.（单选题，4分）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. √2

2 B.

√2−1

2 C. 2−√2 D. √2−1

10.（单选题，4分）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

11.（填空题，5分）斜率为2，且经过点A （1，3）的直线的一般式方程为 ___ ．

12.（填空题，5分）已知点A （4，-1，2），B （2，-3，0），点C 满足 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点C 的坐标是 ___ ．

13.（填空题，5分）已知直线x- √3 y+8=0和圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为 ___ ．

14.（填空题，5分）椭圆x2

9+y2

4

=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，

则∠F1PF2=___

15.（填空题，5分）已知M为椭圆x2

4+y2

3

=1上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原

点．给出下列结论：

① 存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；

② 不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；

③ 存在点M，N，使得∠OMN=90°；

④ 不存在点M，N，使得∠OMN=90°．

其中，所有正确结论的序号是___ ．

16.（问答题，0分）已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），

求：（1）过A点且平行于BC的直线方程；

（2）AC边上的高所在的直线方程．

17.（问答题，0分）在① 圆经过C（3，4），②圆心在直线x+y-2=0上，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．

已知圆E经过点A（-1，2），B（6，3）且____．

（1）求圆E的方程；

（2）在圆E中，求以（2，1）为中点的弦所在的直线方程．

18.（问答题，0分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D 是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与平面A1BA的夹角的余弦值．

19.（问答题，0分）已知椭圆M ： x 2a 2+y 2

b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √6

3 ，焦距为 2√2 ．直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；

（2）设直线l 方程为y=x+m ，先用m 表示|AB|，然后求其最大值．

20.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，AB || DC ，AB⊥AD ，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E 是PA 的中点，F 在线段AB 上，且满足 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． （Ⅰ）求证：DE || 平面PBC ； （Ⅱ）求二面角F-PC-B 的余弦值；

（Ⅲ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得FQ 与平面PFC 所成角的余弦值是 √6

3 ，若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由．