矩阵论5

现在证明线性空间C[a, b]中定义的 f 是范数
f1 , f 2 ∈ C[a, b] , α ∈ F x ∈ [a, b] ,由上界的定义
f1 + f 2 = sup{ f1 ( x) + f 2 ( x) : x ∈ [a, b]} = max f1 ( x) + f 2 ( x)
由绝对值不等式
多项式矩阵的既约性简介
– 多项式矩阵的行次数和列次数,行次表示式和列次表示式
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矩阵理论第5讲-2
内积空间
内积空间
设X是实数域或复数域上的线性空间,其中定义了一个二元数值 函数
, : X × X → F
满足下列条件: α , β ∈ F , x, y, z ∈ X
1. 对第一变元的线性:
矩阵理论-第五讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
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矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
Hamilton-Cayley定理
– 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 多项式的带余除法
方阵的零化多项式 方阵的最小多项式 多项式矩阵的逆,单模矩阵 多项式矩阵的互质性简介
– 右公因子 – 左公因子 – 最大右公因子gcrd – gcrd的构造定理
∑
x
∞ n =1
ξ n < +∞
∞
p
1 ≤ p < +∞
p∈R
的无穷维向量,由第一讲已知此空间是线性空间,对 x ∈ l p ,定 义 p 1
p
= (∑n =1 ξ n ) p
p
1 p
x p:X →F
∞
由Minkowski不等式
(∑n =1 ξ n + η n ) ≤ (∑n =1 ξ n ) + (∑n =1 η n )
的函数
矩阵理论第5讲-13
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赋范空间 – [a, b]上所有连续函数的全体构成的空间 已知此空间是线性空间,对此空间中的任一函数 f 定义
f = ∫ f ( x) dx
a
b
则 f 是范数,C[a, b]是赋范空间 – 空间lp 此空间中的向量 x = (ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ,) 为满足条件
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a ≤ x ≤b
f1 ( x) + f 2 ( x) ≤ f1 ( x) + f 2 ( x)
矩阵理论第5讲-12
赋范空间
f1 + f 2 = sup{ f1 ( x) + f 2 ( x) : x ∈ [a, b]} = max f1 ( x) + f 2 ( x)
≤ max( f1 ( x) + f 2 ( x) ) = max f1 ( x) + max f1 ( x)
由条件1和2,可得
4. 对第二变元的共轭线性
0,0 = 0
由条件1和2,可得
5.
x,0 = 0, y = 0 x,0 = x, x + ( x) = x, x x, x = 0 0, y = y + ( y ), y = y, y y, y = 0
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矩阵理论第5讲-5
内积空间 – 内积空间举例: 1. n维欧氏(Euclid)空间Rn:
x+ y 2 ≤ x 2 + y
2
2
αx 2 ≤ αx, αx = (αα x, x ) = ( α
1 2
1 2
x, x )
1 2
α x, x = α x
–
1 2
2
n维复 维复Euclid空间 n 空间C 维复 空间
x ∈ l p ,定义
x 1 = ∑i =1 ξ i
n
n 则 x 1 是范数,(C , x 1 ) 是带有范数 x 1 的赋范空间
–
C[a, b] : 设C[a, b]是[a, b]上实值或复值连续函数的全体,在第一讲中我们已知此 空间是线性空间,对 f ∈ C[ a, b] 定义
f = sup{ f ( x) : x ∈ [a, b]}
可以证明,
上界 设 A R ,如果 c ∈ R ,使得 a ∈ A ,有 a 上界,并称集合A有上界 上有界 有上界或上有界 上界 有上界
1-范数
x, y ∈ X,由绝对值不等式,条件1很容易验证: n n x + y 1 = ∑i =1 ξ i + ηi ≤ ∑i =1 ( ξ i + ηi )
= ∑i =1 ξ i + ∑i =1 ηi = x 1 + y 1
n n
同样可验证条件2,3
矩阵理论第5讲-10
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赋范空间
0 ≤ x αy , x α y = x , x α y α y , x αy = x, x α x, y α ( y , x α y , y )
令
α=
x, y y, y
,
0 ≤ x, x
x, y y, y
x, y
x, y y, y
( y, x
x, y y, y
y, y )
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d ( x, y ) x y
x, y ∈ X
有了度量,即可定义极限,进而定义收敛,连续性等.有了极限和收敛 即可定义Cauchy列,定义了Cauchy列,即可判断空间的完备性. – 赋范空间举例——n维复 维复Euclid空间 n 空间C 赋范空间举例 维复 空间 在Cn的内积定义 的基础上,定义
2 2 2
由Cauchy-schwarz不等式
Re x, y ≤ x, y = ( x, y x, y ) 2 = x
1
2
y
2
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矩阵理论第5讲-9
赋范空间
x + y 2 = x 2 + 2 Re x, y + y 2 ≤ x 2 + 2 x
2 2 2 2
2
y2+ y
2 2
= ( x 2 + y 2 )2
a ≤ x ≤b
=α
max
a ≤ x ≤b
f1 ( x) = α sup{ f1 ( x) : x ∈ [ a, b]}
= α f1
f1 = sup{ f1 ( x) : x ∈ [ a, b]} ≥ 0 是显然的 f1 = sup{ f1 ( x) : x ∈ [ a, b]} = 0 当且仅当 f1 = 0 ,即C[a, b]上恒为0
矩阵理论第5讲-7
赋范空间
0 ≤ x, x = x, x
x, y x, y y, y
x, y x , y y, y x, y
+
2
x, y y, y
x, y y, y
y, y
2
x, y x, y y, y
= x, x
y, y
x, y
≤ x, x y , y
–
向量范数( 向量范数(Norm) ) 设X是数域F上的线性空间,定义在X上的实值函数 实值函数 满足以下条件
1 p
∞
∞
p
p
1 p
知 x p 是范数,空间lp是赋范空间
p-范数
矩阵理论第5讲-14
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赋范空间 当 p = ∞ 时,定义 l∞ 为所有无穷维有界向量
x = (ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ,) 构成的空间,对 x ∈ l∞ ,定义 ∞-范数 x ∞ = sup ξ n 仿照C[a, b]空间的做法,易证 x ∞ 是范数, l∞ 是赋范空间
矩阵理论第5讲-6
x = (ξ1 , ξ 2 ,, ξ i ,)
y = (η1 ,η 2 , ,ηi ,)
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内积空间
αx + βy, z = ∑i =1 (αξ i + βη i )γ i = ∑i =1 (αξ iγ i + βη iγ i )
= α ∑i =1 ξ iγ i + β ∑i =1 ξ iγ i = α x, z + β y, z
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矩阵理论第5讲-4
内积空间 内积的定义:
, : X × X → F α , β ∈ F , x, y, z ∈ X
1. 对第一变元的线性:
αx + β y , z = α x , z + β y , z
2. 共轭对称性:
x, y = y , x
3. 正定性:
x, x ≥ 0 且 x, x = 0 x = 0
三角形不等式 绝对齐性 正定性
: X → R 如果
x+ y ≤ x + y αx = α x x ≥ 0 ,且 x = 0 x = 0
则称此实值函数是X上的范数(Norm).带有给定范数的线性空间
( X , wk.baidu.com 称为赋范空间.
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矩阵理论第5讲-8
赋范空间
– 定义了范数,即可定义度量
– Cauchy-Schwarz inequality (柯西 许瓦兹不等式 柯西-许瓦兹不等式 柯西 许瓦兹不等式) 设 , : X × X → F 是X上的内积,则 x, y ∈ X
∞ ∞
∞
∞
x, y
2
≤ x, x y , y
证明:当x, y其中之一为零向量时,等式成立.现设
y ≠ 0 , α ∈ F有
a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b
a ≤ x ≤b
= sup{ f1 ( x) : x ∈ [ a, b]} + sup{ f 2 ( x) : x ∈ [ a, b]}) = f1 + f 2
αf1 = sup{ αf1 ( x) : x ∈ [ a, b]} = max αf1 ( x)
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矩阵理论第5讲-3
内积空间 由内积的定义: , : X × X → F α , β ∈ F , x, y, z ∈ X
1. 对第一变元的线性:
αx + β y , z = α x , z + β y , z
2. 共轭对称性:
x, y = y , x
3. 正定性:
x, x ≥ 0 且 x, x = 0 x = 0
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f 是范数,C[a, b]是赋范空间.
≤ c ,则称c是A的一个
矩阵理论第5讲-11
赋范空间
上确界( 上确界(Suprmum) ) 如果A有上界,且A的上界中有一个最小者M,则称M是A的上确界 或最小上界,记作 M = sup A ,上确界要满足两个条件 1 M是A的一个上界 2 对A的任一上界c,有 M ≤ c 由此,如果A有上确界,则必是唯一的 如果A无上界,可记作 sup A = ∞ 同样可定义下界,下确界(Infimum) m = inf A .下确界也是唯 一的.如果不存在下确界,记作 inf A = ∞
中的条件1和2,可得
4. 对第二变元的共轭线性
x, α y + β z = α x, y + β x, z
x , α y + β z = αy + β z , x = α y , x + β z , x = α y , z + β z , x = α y , x + β z , x = α x, y + β x, z
αx + β y , z = α x , z + β y , z
2. 共轭对称性:
x, y = y , x
3. 正定性:
x, x ≥ 0 且 x, x = 0 x = 0
则称此二元值函数 , 是X上的内积(Inner product),定义了 内积的空间称为内积空间. F = R时称X为实内积空间,F = C时 称X为复内积空间
x, y = ∑i =1 ξ iηi
n
x = (ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) y = (η1 ,η 2 , ,η n )
2. n维复欧氏(Euclid)空间C :
n
3. 实l2空间: 和的:
∞
x, y = ∑i =1 ξ iηi
n
此空间中的点为无穷维向量,每个向量的所有坐标是平方可
∑i =1ξi2 < +∞
Hlder不等式:
∑
∞
i =1
ξ iηi ≤ (∑i =1 ξ i ) (∑i =1 ηi )
1 p
∞
p
∞
q
1 q
p > 1,
1 1 + =1 p q
还有积分形式 Minkowski不等式: 取p = 2 定义内积为
n
(∑n =1 ξ n + η n ) ≤ (∑n =1 ξ n ) + (∑n =1 η n ) 1 ≤ p < +∞
1 p 1 p 1 p
∞
p
∞
p
∞
p
x, y = ∑i =1 ξ iηi
x, y = ∑i =1 ξ iηi
n
1 2
x, y
2
1 2
2
≤ x, x x, x
x 2 = x, x
x, y ∈ X
2
= (∑i =1 ξ i )
n
对欧氏空间, 内积的模 对欧氏空间 方不大于长度平方之积
易验证,此范数满足范数的3个条件,称为向量x的2-范数或长度.
x + y 2 = x + y , x + y = x, x + x, y + y , x + y , y = x 2 + 2 Re x, y + y
x, y = ∑i =1 ξ iηi
∞
z = (γ 1 , γ 2 , , γ i ,) 1 1 p 1 q 1 ∞ ∞ ∞ p q p > 1, + =1 Hlder不等式:∑i =1 ξ iηi ≤ (∑i =1 ξ i ) (∑i =1 ηi ) p q x, x : X × X → F x, y 收敛 取p = 2,