第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用
5.1某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余
生产力。

管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品I、1【、11【的生产。

可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
三种新产品的单位利润分别为0・5元、0.2元、0.23元。

U标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的U标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/
剩余量、对偶价格、LI标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品I、II生产多少就能销售多少，而产品【II最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策U标是公司总的利润最大化，总利润为：
0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3W500铳床限制条件
4x1+ 3x2 W350车床限制条件
3x1 + x3W150磨床限制条件
即总绩效测试（LI标函数）为：
max z= 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3
S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3W500
4x1+ 3x2 W350
3x1 + x3W150
xl$O、x2$0、x3$0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解(50, 25, 0),最优值: 30元。

变量下限当前值
5、灵敬度分析
LI标函数最优值为:30
变量最优解相差值
X1500
x2250
x30.083
约束松弛/剩余变量对偶价格
10.05
2750
30.033
LI标函数系数范用:
X1
无上限
.4.5
x2
.25
.1.2
限x3
.25
无下
.333常数项数范圉:
限
约束下限当前值上
1
600
400500
2
无上限
275350
3
187.5
37.5150
(1)最优生产方案：
新产品I生产50件、新产品II生产25件、新产品【II不安排。

最大利润值为30元。

(2)x3的相差值是0. 083意味着，目前新产品【II不安排生产，是因为新产品11【的利润太低，若要使新产品III值得生产，需要将当前新产品1【【利润0.25元/ 件，提高到0.333元/件。

（3）三个约束的松弛/剩余变量0, 75, 0,表明铳床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0. 05, 0, 0. 033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。

（4）U标函数系数范兩
表明新产品I的利润在0.4元/件以上，新产品II的利润在0. 1到0. 25之间，新产品III的利润在0. 333以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围
表明铳床的可用条件在400到600工时之间、车铳床的可用条件在275工时以上、磨铳床的可用条件在37. 5到187. 5工时之间。

各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。

6、若产品III最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z二0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3
S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3W500
4x1+ 3x2 W350
3x1 + x3W150
x3N18
xl±0、x2$0、x3N0
这是一个混合型的线性规划问题。

代入求解模板得结果如下:
最优解(44, 10, 18),最优值：28.5元。

灵敬度报告：
U标函数最优值为:28.5
变量最优解相差值
X1440
x2100
x3180
约束松弛/剩余变量对偶价格
10.05
21440
30.033
40083 LI标函数系数范围:
变量下限当前值
限
X1.4.5无上限
x2• 1.2
.25
x3无下
限.25・333
常数项数范用:
约束下限当前值
限
1460500
692
2206350
无上限
318150
165
4018
30
（1）最优生产方案：
新产品I生产44件.新产品II生产10件、新产品III生产18件。

最大利润值为28. 5元。

（2）因为最优解的三个变量都不为0,所以三个相关值都为0。

（3）四个约束的松弛/剩余变量0, 144, 0, 0,表明铳床和磨床的可用工时已经用完，新产品I【【的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0. 05, 0, 0. 033, -0. 083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0. 083表明新产品III的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。

（4）标函数系数范围
表明新产品I的利润在0.4元/件以上，新产品II的利润在0. 1到0. 25之间，新产品III 的利润在0. 333以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围
表明铳床的可用条件在460到692工时之间、车铳床的可用条件在206工时以上、磨铳床的可用条件在18到165工时之间、新产品1【1产量限制在30件以内。

各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。

5.2某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm,现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。

问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：min f二xl+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+xl0
S. T. 3xl+2x2+2x3+x4+x5+x6$75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9 2 50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4xl0 $110
xiNO (i=l, 2—. .10)
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解:(18. 33 ,0, 0, 0, 20, 0, 0. 25, 0,0,0),最优值:63. 3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。

即其结果为: 即最优解:(19 ,0, 0, 0, 20, 0, 0. 25, 0,0,0),最优值:64
灵敬度分析报告:
U标函数最优值为：63. 333
变量最优解相差值
xl 18.333
.056
・111
・111
20
・167
・167
25
x90.056
xlO0.111
约束松弛/剩余变量对偶价格
10333
20-.278
30222
LI标函数系数范围：
变量下限当前值上限
X1.751
1. 071
x2.9441
无上限
x3.8891
无上限
x4.8891
无上限
x5.8331
1.083
x6.8331无上限
x7无上限.833
1
x8 1. Ill .444
1
x9无上限.944
1
xlO
无上限
常数项数范围：
.8891
约束
限
下限当前值上
1无上限20
75
2 1100
50
3
275
50110
这是一个统讣型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。

松弛/剩余变量都为0,表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。

三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。

这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。

常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。

这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。

5.3某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。

各班次需要医生人数如下表：
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。

问在各班开始时应该分别有儿位医生报到。

若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。

解：第一步：不考虑夜班津贴。

线性规划数学模型为:
min f二xl+x2+x3+x4+x5+x6
S. T. x6+xl$4
xl+x2刁7
x2+x3$9
x3+x4212
x4+x5$8
x5+x6D6
xi$O (i二1, 2, 3, 4, 5, 6)
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二.第六班不安排人。

总人数为25人。

灵敬度分析报告：
□标函数最优值为：25
变量最优解相差值
xl 7 0
x3 10 0
min f二xl+x2+x3+x4+x5+x6
x2 0 0
x3 10 0
x420
x560
x600
约束松弛/剩余变量对偶价格13.0 20-1 31.0 40—1 50.0 60—1
LI标函数系数范圉■■
变量下限当前值限
X10.1 1
x211无上限.
x30■
1 1
9 6 5
6
8
x5
无上限
常数项数范用:
约束 下限 无下
当前值
无上限
上限
无下
10
11
12
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。

松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数” 一列是各时间段安排所剩余的人数。

“对偶价格” 一栏。

第一个常数项山4增加到5,因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项曲7增加到8,因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排
一个人最优值解也必须增加1,因为是求最小化问题，所以对偶价格为一1;
第三个常数项山9增加到10,刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样;
第五个常数项山2增加到3,因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种悄况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况(有资源剩余)，其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。

因此，笫2时段为-1,第3时段为0,后面的依次相反。

若第2时段为0,则第3时段就为-1。

第二步：考虑夜班津贴。

线性规划数学模型为：
min f二xl+x2+x3+x5+x6
S. T. x6+xlD4
xl+x2$7
x2+x3D9
x3+x4$12
x4+x5$8
x5+x6$6
xi±0 (i二1, 2, 3, 4, 5, 6)
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是23人，但每班安排人数有所调整:
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。

灵敬度分析报告:
U标函数最优值为：15
变量最优解相差值
xl
10
x5
约束松弛/剩余变量对偶价格
-1
60-1
U标函数系数范圉:
变量下限当前值上限
X1
01
无上限
x2
11
2
x3
01
1
x4
00
1
x5
11
无上限
x6
01
1
常数项数范圉:
约束下限当前值上限
1无下
限46
57
2
9
379
11
41012
无上限
5无下
:i810
646
无上限
这是一统讣型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。

“对偶价格” 一栏。

第一个常数项山4增加到5,因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8,由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。

第三个常数项山9增加到10,前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人, 若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1;
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别山A、
B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料乩不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。

山于技术原因，配料1的用量不能超过30%,配料2的用量不能少于40%。

笫一次配制的塑料产品不能少于5公斤。

请设计一套配料方案，使总的成本为最低。

解：线性规划数学模型：
min f =10. 7x1+11. 3x2+11. 8x3+9. 45x4
S. T. 0. lxl+0. 2x2 -0. 05x4=0
-0. lxl +0. 3x3+0. 1x420
0. 2x1+0. 05x2-0. 05x3+0. 1x420
0. 7x1-0. 3x2-0. 3x3-0. 3x4$0
-0. 4x1+0. 6x2-0. 4x3-0. 4x4W0
xl+x2+x3+x425
xi±0 (i二1, 2, 3, 4,)
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1, 1.5公斤；用配料2, 0.1公斤;用配料3, 0公斤;用配料4,
3. 4公斤；花费总的最低成本49. 31元。

灵敬度分析报告：
L1标函数最优值为:49.31
变量最优解相差值
X1 1.50
x2.10
x30 1.98
x4 3.40约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0
-7.4
・
19
.645
一.1
4
1.9
-9. 862 LI标函数系数范用：
变量下限当前值
xl 10. 56 10.7
无上限
481.8 11. 3 11. 533
9.82 11.8
无上限
5. 053 9. 45 9.8
1 0
-7.4 常数项数范用:
5. 053 9. 45 9.8
约束下限当前值
1—
.0250.475
2无下
限0.19
3无下
限0.645
—
4
1. 50.167
5—
1.90无上限
605
无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98,表示目前配料3的成本11. 8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。

松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。

松弛/ 剩余变量为0关系表示已完全按要求配比，不为0的表示没有达到配比要求。

笫五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0表示已达到产量要求。

关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。

不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。

第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。

在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。

对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。

5.5某工厂生产I、II、III、IV四种产品，产品I需经过A、B两种机器加工，产品1【需经过A、C两种机器加工，产品II［需经过B、C两种机器加工，产品IV 需经过A、B两种机器加工。

有关数据见下表所示：
请为该厂制定一个最优生产计划。

解：线性规划数学模型:
max Z=21.5 xl+22. 5 x2+8 x3+27 x4
S. T. 2xl+x2+x4W3000
xl+2x3+2x4W2400
3x2+4x3^4200
xi$0 (i二1, 2, .................. 4)
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：产品I生产267件；
产品II生产1400件；
产品III不安排生产；
产品IV生产1067件。

可获得的最高利润:66033. 3元。

灵敏度分析报告：
即：目标函数最优值为：66033. 3495
变量最优解相差值
X1266. 6670
x214000
x3030. 8333 x41066. 6670
10 5. 333
2010.833
30 5. 722
U标函数系数范围：
变量下限当前值
限
约束松弛/剩余变量对偶价格
X1 45
x2 无上限
x3 13.5 5. 333
x4
21.5
22.5
无下
38. 333
10. 75 27
43
常数项数范用: 43
—
1 2002600
3000
6
2 3200800
2400
3
5400
04200
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0,即需要安排生产，另一个为0的变量表示产品【11由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。

从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加30. 8333元才值得生产。

松弛/剩余变量栏中三个数据都为0,表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。

因此设备B是瓶径。

从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。

5.6某企业生产I、II两种产品，市场两种产品的需求量为：产品I在1-4 月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品1【在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。

该企业生产这两种产品的成本为：产品I在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品II在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。

产品I容积为每件0.2立方米，产品1【容积为每件0.4 立方米。

该企业仓库容积为1.5万立方米。

要求：约束下限当前值
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。

2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。

若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1. 5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业乂应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。