人教A版数学必修一安徽省安庆一中高一上学期期中考试数学试题().docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
安庆一中2012-2013学年高一年级第一学期期中考试
数学(必修1)
总分：100分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{
2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）
A ．}{2,1A
B =--
B ． ()(,0)R
C A B =-∞
C ．(0,)A
B =+∞
D ． }{()
2,1R C A B =--
2.给定映射:(,)(2,2)f a b a b a b →+-，则在映射f 下，(3,1)的原象是 （ ） A ．(5,5) B ．(1,1) C ．(3,1) D ．11(,)22
3.函数32)(2
+-=ax x x f 在区间]3,2[上是单调函数，则a 的取值范围是 （ ）
A. 2≤a
B. 3≥a
C. 2≤a 或3≥a
D. 32≤≤a
4.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图，其中b a ,为常数．则函数
b a x g x +=)(的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1
-11-1y o
x
1
-1
1
-1
y
o
x
1
-11-1
y
o
x
1
-1
1
-1
y
o
x
1
-1
1-1y
o
x
5.若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是 （ ）
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D. ()12f x In x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
6.设c b a ,,均为正数，且a a
2
1log 2=，b b
21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c
2log 21=⎪⎭⎫
⎝⎛.则( )
A.c b a <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.c a b <<
7. 若)(x f 是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，又0)3(=-f ，则0)()1(<-x f x 的解是（ ）
A.),1()0,3(+∞⋃-
B. )3,0()3,(⋃--∞
C. ),3()3,(+∞⋃--∞
D. )3,1()0,3(⋃- 8. 设2()lg
2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为 ( )
A ．(4,0)(0,4)-
B ．(4,1)(1,4)--
C ．(2,1)
(1,2)--
D ．(4,2)
(2,4)--
9.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x
y e =的图象关于直线y x =对称。

而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ） A ．e -
B ．1
e
-
C ．e
D ．
1e
10. 定义在R 上的函数f (x )满足：对任意α、β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2011，则下列说法正确的是( )
A ．f (x )－1是奇函数
B ．f (x )＋1是偶函数
C ．f (x )－2011是偶函数
D ．f (x )＋2011是奇函数
11.已知函数⎩⎨⎧=≠-=)5(3
)5(|5|log )(5x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有五个不
等实根521,,,x x x ，则=+++)(521x x x f （ ）
A. 3log 5
B. 3log 15+
C. 4log 15+
D.2
安庆一中2012-2013学年高一年级第一学期期中考试
数学(必修1)答题卷
一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分 题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 总分 答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

12． 31222
12
001832255log (.)
log (lg )lg lg lg --+++⋅+=
13.定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.已知函数||
2x y =的定义域为[],a b ，值域
为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为_________.
14. 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2
x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则
2(2log 3)
f +＝________________． 15. 已知函数()()231f x mx m x =+-+的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是
________________．
16.(1)幂函数的图像都过点()()0,0,1,1；(2)幂函数的图像不可能是一条直线；
(3)0=n 时，函数n x y =的图像是一条直线；(4)幂函数n
x y =当0>n 时，是增函数； (5)幂函数n
x y =当0<n 时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减少。

其中正确的命题序号为
三.解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17. （本题8分）已知全集为R ，集合{
}{
}
2
22
650,320A x x x B x x ax a =-+>=-+<
（1）当3a =时，求R B C A ；
（2）当A B A =时，求a 的取值范围.
18.（本题8分）已知函数)1a ,0()3(log )1(log )(≠>++-=且a x x x f a a （1）求函数)(x f 的定义域和值域；
（2）若函数 )(x f 有最小值为2-，求a 的值。

19. （本题8分）若函数()f x 对定义域中任意x 均满足()(2)2f x f a x b +-=,则称函数
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
（1）已知函数2()x mx m
f x x ++=的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在R 上的图象关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞时，
2
()2g x x x =-,求函数()g x 在R 上的解析式。

20.（本题9分）.设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数 （1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
21．（本题9分）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元投资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
22. （本题10分）已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )
m ＋n
>0.
(1)证明函数f (x )在[－1,1]上单调递增； (2)解不等式f ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2<f (1－x )； (3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．
安庆一中2012-2013学年高一年级第一学期期中考试
数学(必修1)答题卷
一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 总分 答案 D
B
C
D
A
A
D
B
B
D
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

12． 31222
12
001832255log (.)
log (lg )lg lg lg -
-+++⋅+= 16
13.定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.已知函数||
2x y =的定义域为[],a b ，值域
为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为___1______.
14. 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2
x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则
2(2log 3)
f +＝_______1
24
_________． 15. 已知函数()()231f x mx m x =+-+的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是
______[]
[)0,19,+∞________．
16.(1)幂函数的图像都过点()()0,0,1,1；(2)幂函数的图像不可能是一条直线；
(3)0=n 时，函数n
x y =的图像是一条直线；(4)幂函数n
x y =当0>n 时，是增函数； (5)幂函数n
x y =当0<n 时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减少。

其中正确的命题序号为 (5)
三.解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
17. （本题8分）已知全集为R ，集合{
}{
}
2
22
650,320A x x x B x x ax a =-+>=-+< （1）当3a =时，求R B C A ；
（2）当A
B A =时，求a 的取值范围.
解：（1）()(),15,,A =-∞⋃+∞()3,6,B ∴=………….…………….1分
[](]1,53,5R R C A B C A =⇒⋂=………….………................................4分
()2()(){}20B x x a x a =--<，A B A B A ⋃=⇒⊆
①0B a =∅⇒=
②B ≠∅，当0a >时 (),221B a a a =⇒≤或1
502
a a ≥⇒<≤或5a ≥， 当0a <时 ()2,B a a =符合
1
2
a ∴≤
或5a ≥……………………………………………………………………8分 18.（本题8分）已知函数)1a ,0()3(log )1(log )(≠>++-=且a x x x f a a （1）求函数)(x f 的定义域和值域；
（2）若函数 )(x f 有最小值为2-，求a 的值。

10
31,{|31} (30)
x x x x x ->⎧-<<-<<⎨+>⎩解：由得所以函数的定义域为2’
2()log (1)(3),(1)(3)(1)4,04;1log 4,{|log 4};01log 4,{|log 4};
a a a a a f x x x t x x x t t a y y y a y y y =-+=-+=-+≤<≤>≤≤<<≥≥且设所以且当时，值域为当时，值域为6’
(2)011
log 42,.
2
a a a <<=-=由题意及(1)知：当时，函数有最小值，
即：解得：……………………………8’ 19. （本题8分）若函数()f x 对定义域中任意x 均满足()(2)2f x f a x b +-=,则称函数
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
（1）已知函数2()x mx m
f x x ++=的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
（2）已知函数()g x 在R 上的图象关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞时，
2
()2g x x x =-,
求函数()g x 在R 上的解析式。

【解析】（1）由题设可得
22()()2,2,1;...........................3'
x mx m x mx m f x f x m x x ++-++-=+==-即：解得2(2)00,()()2,()2()22;......6'
x x g x g x g x g x x x <->+-==--=--+时，且所以0(0)(0)2(0)1;...................................................................7'
x g g g =+-=⇒=当时，22
22,0
()1,0..................................................................................8'
2,0
x x x g x x x x x ⎧--+<⎪
==⎨⎪->⎩因此20.（本题9分）.设函数()2
21f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数
（1）求()f x 的最小值()g a 的解析式;
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意,函数()2
21f x x ax a =+--图像是开口向上,对称轴x a =-的抛物线,
① 当00a a -≤⇒≥时，()f x 在[]0,2上是增函数，0x =时有最小值(0)1f a =-- ② 当22a a -≥⇒≤-时，()f x 在[]0,2上是减函数，2x =时有最小值(2)33f a =+ ③当0220a a <-<⇒-<<时，()f x 在[]0,2上是不单调，x a =-时有最小值
2
()1
f a a a -=---21
0,()120233a a g a a a a a a --≥⎧⎪∴=--<<--⎨⎪≤-+⎩
…………….………5分 （2）存在， 由题知()g a 在1-,2⎛⎤∞- ⎥⎝
⎦是增函数，在1,+2
⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭
是减函数
12a =-时，max 3()4
g a =-，
()0g a m -≤恒成立max ()g a m ⇒≤，3
4
m ∴≥-
m 为整数，m ∴的最小值为0……………………………..………………………9分
21．（本题9分）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资
成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元投资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【解析】 (1)设甲、乙两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所获利润分别为f (x )、g (x )万元， 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，∴根据图像可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)， g (x )＝2x (x ≥0)．………………………………………………………………………2’ (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，∴总利润y ＝8.25(万元)．…………….4’ ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元， 则y ＝1
4(18－x )＋2x ，0≤x ≤18…………………………………………………..6’
令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋34
4……………..…8’
∴当t ＝4时，y max ＝
34
4
＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2. ∴当A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．…9’
22. （本题10分）已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n
>0.
(1)证明函数f (x )在[－1,1]上单调递增； (2)解不等式f ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2<f (1－x )； (3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)
x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)>0，
∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．………………………………………………………..3’
马鸣风萧萧 (2) f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，
x ＋12<1－x ⇔0≤x <14
，即不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )的解集为⎣⎡⎭
⎫0，14……………………………………………………………………………………6’ (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，
∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，
由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段，∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)×t ≥0，t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2，⇔t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2………………………………………10’。