江西省2023年中考数学真题卷(附答案,无水印清晰版本)

机密★启用前
江西省2023年初中学业水平考试
数学试题卷
准考证号____________________姓名____________
说明：1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。

2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。

错选、多选或未选均不得分。

1.下列各数中，正整数
···是
A.3
B.2.1
C.0
D.－2
2.下列图形中，
是中心对称图形的是
A B C D
3.若a-4有意义，则a的值可以是
A.－1
B.0
C.2
D.6
4.计算(2m2)3的结果为
A.8m6
B.6m6
C.2m6
D.2m5
5.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN 上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
（第5题）（第6题）
6.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B C D
P
l
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.单项式－5ab 的系数为______.
8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______.9.化简：(a ＋1)2－a 2＝______.
10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度
分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为______cm .
（第11题）B Q
C
D P
A
C B P A
D （第12题）
B C
α（第10题）A
02345
1cm 11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC ）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D .测得AB ＝40cm ，BD ＝20cm ，AQ ＝12m ，则树高PQ ＝______m.12.如图，在□ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝2AB ，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0°
＜α＜360°）得到AP ，连接PC ，PD .当△PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为______.三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）计算：83＋tan45°－30；
（2）如图，AB ＝AD ，AC 平分∠BAD .求证：△ABC
△ADC .
14.如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺······
按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中作锐角△ABC ，
使点C 在格点上；（2）在图2中的线段AB 上作点Q ，使PQ 最短.
图1
图2
A
B
C D
A B
15.化简(x x +1+x x -1
)·x 2
-1x .下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学
乙同学
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是______事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.
17.如图，已知直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象交于点A （2，3），与y 轴交于点B ，
过点B 作x 轴的平行线交反比例函数y ＝k
x
（x ＞0）的图象于点C .
（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式；（2）求△ABC 的面积.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵.（1）求该班的学生人数；（2
）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总
费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
19.图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB ＝AC ＝AD ，测得∠B ＝55°，BC ＝1.8m ，DE ＝2m.（结果保留小数点后一位）（1）连接CD ，求证：DC ⊥BC ；（2）求雕塑的高（即点E 到直线BC 的距离）.（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
图2
E
D A
B
C
图120.如图，在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，E 为
ABD 上一
点,且∠ADE ＝40°.（1）求 BE 的长；（2）若∠EAD ＝76°,求证：CB 为⊙O 的切线.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并
对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.整理描述
高中学生视力情况统计图
以下
以上
初中学生视力情况统计表视力0.6及以下
0.70.80.91.01.1及以上合计
人数8162834m 46200
百分比4%8%14%17%34%n 100%
（1）m ＝______，n ＝______；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为______；分析处理
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选
择一个能反映总体的统计量···
说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良.若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.
22.课本再现
定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”,请你完成证
明过程.已知：在□ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，垂足为O .求证：□ABCD 是菱形.
图1
图2
知识应用（2）如图2，在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AD ＝5，AC ＝8，BD ＝6.
①求证：□ABCD 是菱形；
②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若∠E ＝1
2
∠ACD ，求OF EF 的值.
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
C B
D
O
A
C B
D
O
F E
六、解答题（本大题共12分）23.综合与实践问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，CD ＝2.动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C →B →A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF .设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，探究S 与t 的关系.初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，
①当t ＝1时，S ＝______；
②S 关于t 的函数解析式为______.（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的
图象.请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.延伸探究（3）若存在3个时刻t 1，t 2，t 3（t 1＜t 2＜t 3）
对应的正方形DPEF 的面积均相等.①t 1＋t 2＝______；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积.
图2
图1
A
F E
B
P C
D
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.－58.1.8×1079.2a ＋110.211.612.90°或180°或270°三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：原式＝2＋1－1
＝2.
（2）证明：∵AC 平分∠BAD ,
∴∠BAC ＝∠DAC .
在△ABC 和△ADC 中，∴△
ABC △ADC （SAS ）.14.解：（1）如下左图（右图中的C 1~C 5亦可）：
A
B
C
1
2
C C 答：△ABC 即为所求.（2）如下图：
（方法一）（方法二）（方法三）
答：点Q 即为所求.15.解：（1）②，③；
（2）按甲同学的解法化简：
原式＝éëê
ùûúx (x -1)(x +1)(x -1)+x (x +1)(x -1)(x +1)·x 2-1x
A B C
D
ìíîï
ï
AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，
江西省2023年初中学业水平考试
数学试题参考答案
＝x (x -1)+x (x +1)(x +1)(x -1)
·
(x +1)(x -1)
x ＝
2x 2
(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x .
按乙同学的解法化简：
原式＝
x x +1·x 2-1x +x x -1·x 2
-1x
＝x x +1·(x +1)(x -1)x +x x -1
·
(x +1)(x -1)
x ＝x －1＋x ＋1＝2x .
16.解：（1）随机.
（2）解法一列表如下：
甲乙丙丁
甲
（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）
乙（乙，甲）
（乙，丙）（乙，丁）
丙（丙，甲）（丙，乙）
（丙，丁）
丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）
同学1
同学2
由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被
选为宣传员的结果有2种.
所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝2
12
＝16.
解法二
画树状图如下：
甲乙丙丁乙甲丙丁丙甲乙丁丁甲乙丙
由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.
所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝2
12＝16.
17.解：（1）∵直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝k
x
（x ＞0）的图象交于点A （2，3），
∴2＋b ＝3，3＝k
2
.
∴b ＝1，k ＝6.
∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋1，反比例函数图象的表达式为y ＝6
x
（x ＞0）.
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵直线y＝x＋1与y轴交点B的坐标为（0，1），BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为1.
∴6x＝1，x＝6，即BC＝6.
由BC∥x轴，得BC与x轴的距离为1.
∴AD＝2.
∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×2＝6.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.解：（1）设该班的学生人数为x人.
依题意,得3x＋20＝4x－25.
解得x＝45.
答：该班的学生人数为45人.
（2）由（1）可知，树苗总数为3x＋20＝155.
设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（155－y）棵.
依题意，得30y＋40(155－y)≤5400.
解得y≥80.
答：至少购买了甲种树苗80棵.
19.（1）证法一
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝12(∠ACB＋∠B＋∠ACD＋∠ADC)＝12×180°＝90°.
∴DC⊥BC.
证法二
证明：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上.
∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC.
（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F.
在Rt△BCD中，cos B＝BC
BD，BC＝1.8，
∴BD＝
BC
cos B＝1.8cos55°≈3.16.
∴BE＝BD＋DE＝3.16＋2＝5.16.
在Rt△EBF中，sin B＝EF BE，
∴EF=BE·sin B＝5.16×sin55°≈4.2.因此，雕塑的高约为4.2m.
E
D
A
B C F
20.解：（1）连接OE .∵∠ADE ＝40°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝80°.∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝100°.∴ BE 的长l ＝100∙π∙2180
＝109π.
（2）证明：∵OA ＝OE ，∠AOE ＝80°，
∴∠OAE ＝180°-∠AOE
2
＝50°.
∵∠EAD ＝76°,
∴∠BAC ＝∠EAD －∠OAE ＝26°.又∠C ＝64°，
∴∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝90°.即AB ⊥BC .又OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：（1）68，23%.（2）320.（3）①小胡的说法正确.
理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.理由二：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.
②方法一：26000×8+16+28+34+14+44+60+82200+320
＝14300（名）.
方法二：26000×(1-68+46+65+55200+320
)＝14300（名）.
所以，估计该区有14300名中学生视力不良.建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.22.（1）证法一
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .
又BD ⊥AC ，
∴BD 垂直平分AC .∴BA ＝BC .
∴□ABCD 是菱形.证法二证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .
A B C D O E A C
B
D O
图1
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝∠COB.
又OB＝OB,
∴△AOB△COB（SAS）.
∴BA＝BC.
∴□ABCD是菱形.
（2）①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝12AC＝4，OD＝12BD＝3.
∴OA2＋OD2＝42＋32＝25.
又AD2＝52＝25，
∴OA2＋OD2＝AD2.
∴∠AOD＝90°.即BD⊥AC.
∴□ABCD是菱形.
②方法一
解：如图2，取CD的中点G，连接OG.
∵□ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝5，OB＝OD，∠ACB＝∠ACD.
∵∠E＝12∠ACD，
∴∠E＝12∠ACB.即∠ACB＝2∠E.
又∠ACB＝∠E＋∠COE，
∴∠E＝∠COE.
∴CE＝CO＝4.
∵OB＝OD，GC＝GD，
∴OG为△DBC的中位线.
∴OG//BC，且OG＝12BC＝52.
∴OG//CE.
∴△OGF△ECF.
∴OF
EF＝
OG
CE＝
58.
方法二
解：如图3，延长FO交AB于点H.同方法一可得CE＝CO＝4.
∵□ABCD是菱形，
∴BH//CF.
∴HF
FE＝
BC
CE＝
54，HO
OF＝
BO
OD＝1.
∴HF＝2OF.
∴OF
FE＝
58.
A
C
B
D
O
F
E
G
图2
A
C
B
D
O F
E
H
图3
六、解答题（本大题共12分）
23.解：（1）①3.
②S＝t2＋2.
（2）方法一
由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6.
将S＝6代入S＝t2＋2，得6＝t2＋2，解得t＝2或t＝－2（舍去）.
当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.
将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.
故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.
由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.
由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）
∴AB＝（8－2）×1＝6.
方法二
由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6，即BD2＝6.
∴BD＝6.
在Rt△DBC中，由勾股定理，得BC＝BD2-CD2＝2.
∴点P由C运动到B的时间为2÷1＝2s.
当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.
将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.
故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.
由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.
由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）
∴AB＝（8－2）×1＝6.
（3）①4.
由(1)(2)可得S＝{t2+2，0≤t＜2，
(t-4)2+2，2≤t≤8.
在图2中补全0≤t＜2内的图象.
根据图象可知0≤t≤2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称.
因此t1＋t2＝4.
②方法一
函数S＝t2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝(t－4)2＋2的图象重合.∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，
∴t3－t1＝4.
又t3＝4t1，
∴4t1－t1＝4，得t1＝43.
此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.
图1
A
F
E
B P C
D
图2
方法二
根据二次函数的对称性，可知t2＋t3＝8.
由①可知t1＋t2＝4，
∴t3－t1＝4.
又t3＝4t1，
∴4t1－t1＝4，得t1＝43.
此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.。