三大分布--超几何分布

其中 N＝100 , n＝3, M＝5
故 P(X k)
即X的分布列为
C5k
C 3 95
k
C3 100
(k
0,1, 2, 3)
X
0
C
50C
3 95
P
C3 100
1
C51C925 C3
100
2
C52C915 C3
100
3
C53C905 C3
100
为何不计算出具体的数值？
操作量太大，故省去 不可模仿！
①加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 注：若A，B互斥，则有 P( A B) P( A) P(B)
②乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) 注：若A，B独立，则有 P( AB) P( A)P(B)
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
体现了总体的稳定性波动性pnb?2??dabad??若则随机变量期望与方差常用的公式及性质aae?0?ad????eee?22???eed??2n???nmnh?pg?1pnpdnpe?????p121pp?2??????de1???nnnmnnnnmbaebae?????若则若则若则????de????dnnme????eee???11若若相互独立则随机变量期望与方差的求法1
故
应有 k＝0,1,2,3,4 ,但显然有 k＝1,2,3,4
(允4许).不(2同0是1协5否年会天服的津从运)超动为员推几组动何队乒分参乓布加球？.运现动“有的避来发自而展甲不,协某论会乒”的乓！运球动比员赛 3名,其中只种用子不选说手，2名蒙;乙头协发会大的财运…动…员5名，其中种子选手
3名.从这概8率名运公动式员、中期随望机公选式择4，人照参用加比不赛误.……
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
为ξ的方差 ，称 ＝ D 为ξ的标准差
随机变量期望与方差的作用(目的)
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
随机变量分布列的概念
设离散型随机变量X＝ x1, x2 , x3 ,L , xi L 若X＝ xi (i 1, 2,L ) 对应的概率为 P( xi ) pi
则称表格 X x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi …
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列
注：视随机变量X为自变量，对应的概率P(X)为因变量
注2：频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
二项分布常用的公式
若ξ～B(n,p),则
① P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
② E( ) np ③ D( ) np(1 p)
二项分布常见的题型
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
几何定义法(几何概型)求概率
(1).操作步骤： 一变二算三相除 无限等分是前提
注1.三大步骤
S1.将每个基本事件看成点 则A和Ω就变成了线(面,体)
S2.计算出A和Ω的测度
古典概型个数比
S3.套用公式
P(
A)
A的测度 Ω的测度
几何概型测度比 有限无限分水岭
注2.使用的两前提
卅六整点二骰子
①无限性 ②等可能性
(k＝0,1,
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
… …
m
C C m nm M NM CNn
(2)《选修2-3》P：47 例2
在含有5件次品的100件产品中，任取3件
求取到的次品数X的分布列
书写格式
解: 由题意得X服从超几何分布
称该分布列称为超几何分布
二、公式：
若 ~ H (n , M , N ) ,则 E( ) nM
N
三、应用：
一、概念：
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
k＝0,1,2,…,m; m＝min{M，n}
X
0
1
…
m
即p
C C 0 n0 M NM CNn
一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值 二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率
计算概率常用的方法
统计定义
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
定义法 模拟试验法 性质公式法
古典概型 几何概型
概率的求法
定义法
统计定义法 古典定义法 几何定义法 公理化定义法
模拟试验法
物理机械法 计算机(软件)法
<3>按问法分: 知二有一
古典概型与几何概型的关联
1.相同点：等可能性 2.不同点：有限性与无限性 3.个别问题两法均可
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
模拟法求概率
物理机械(实物)法
计算机(软件)法
随机数模拟法 ……法
随机数模拟法
①古典概型：
(4).(2015年天津简化)为推动乒乓球运动的发展, 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名 乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名 运动员中随机选择4人参加比赛. ②设X为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量X的分布列和数学期望 析:若认为：X服从超几何分布 其中N＝8, n＝4 ,M＝5
随机变量期望与方差常用的公式及性质
① E(a) a
② D(a) 0
③ E(a b) aE( ) b
④ D(a b) a2D( )
⑤ D( ) E( 2 ) E2( )
⑥若 ~ B(n , p) ,则 E( ) np , D( ) np(1 p)
⑦若 ~ N ( , 2 ) ,则 E( ) , D( ) 2
②设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的
分布列和数学期望
标准答案如下：
解:由题意得X的所有可能取值为1,2,3,4
且
故所求分布列为
超几何分布与二项分布的关联
以下三种情况，按照二项分布来处理
频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
(5)(2010年湖南)某城市通过抽样 得到的居民某年的月均用水量 (单位：吨)的频率分布直方图 ①求直方图中x的值 ②若将频率视为概率,从这个城市 随机抽取3位居民(看作有放回的 抽样),求月均用水量在3至4吨的 居民数X的分布列和数学期望
随机变量有范围 (高仿只用莫声张)
若
X
~ H(n
,M
,N)
,则
P( X
k ) C C k nk M NM CNn
( k＝0?,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
若随机变量 X 符合超几何分布的条件 但 k ∈ {0,1,2,…,m } ,则 ①虽然 X 不是“正品”的超几何分布
②但概率公式，期望公式，仍然适用 即表象上；按照求一般分布列来处理 骨子里；按照超几何分布列来处理
核心是用整数型随机数代替古典概型中的基本事件
②几何概型：
①0长度型：用1组均匀型的随机数模拟…
②0面积型：用2组均匀型的随机数模拟… 核心是用均匀型随机数代替几何概型中的样本点
随机变量期望与方差的概念
若ξ的分布列为 ξ p
x1 x2 x3 … xn p1 p2 p3 … pn
① 则称 E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
一、概念： 二、公式：
若 X ~ H (n , M , N) ,则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
( k＝0,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
E(X ) nM
N
D(
X
)
nM
(N N
n)(N 2(N 1)
M
)
(1)《精炼案》P：88 Ex3
一、概念： 二、公式：
§116 三大分布——超几何分布
一、概念：
在含有M件次品的N件产品中,任取n件
其中恰有X件次品数
( k＝0,1, 2,,
,则 P(X k)
m ; m＝min{M，n}
CMk )
C nk N M
CNn
X
0
1
…
m
即
p
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
C C m nm M NM CNn
§116 三大分布——超几何分布
一、概念：
在含有M件次品的N件产品中,任取n件
其中恰有X件次品数
( k＝0,1, 2,,
,则 P(X k)
m ; m＝min{M，n}
CMk )
C nk N M
CNn
X
0
1
…
m
即
p
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
C C m nm M NM CNn
性质法
范围性 总和性
性质公式法
加法公式
公式法
乘法公式 和积互补公式
对偶律
概率的性质
1.范围性：0≤P(A)≤1
注：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0 反之则不然
2.总和性：
若Ω＝A1＋A2＋…＋An，且A1，A2，…，An两两互斥
则 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝1
常用的概率公式
二项分布的定义
——独立重复n次，恰好发生k次的概率
一般的,在n次独立重复试验中 用X表示事件A发生的次数 设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
则称随机变量X服从二项分布
称 p 为成功概率 ,并记X～ B (n, p)
注1：互不影响为独立 概率相等即重复 重复n 次恰好 k 通项公式后项 p
称该分布列称为超几何分布
二、公式：
若 ~ H (n , M , N ) ,则 E( ) nM
N
三、应用：
随机变量简述
1.概念：
将随机试验的每种结果用一变量来表示
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
4.性质：
若ξ为随机变量， 则 aξ+b ；aξ2+bξ+c
|kξ+b|……也为随机变量
则解析式 P( xi ) pi ,表格或图像均为X的分布列
一般的，不做说明时，X的分布列，特指表格
随机变量分布列的性质
①非负性： pi ≥ 0 , i 1，2，3，L ②规范性： p1 p2 p3 L 1
随机变量分布列的求法
一选二算三列表 三大分布公式法
随机变量分布列的求法 一选二算三列表
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
⑧若 ⑨若
~ ~
H(n , G( p)
M , N) ,则
,则 E( )
E(
1 p
) nM , D( )
,
N
D(
)
1
p p2
nM
(N n)(N nN(N 1)
M
)
⑩ E( ) E( ) E()
〇11 若ξ,η相互独立，则 E() E( )E()
随机变量期望与方差的求法
(1).定义法： (2).性质公式法： (3).图象估算法： (4).作用估算法：
C C 1 n1 M NM CNn
…
C C m nm M NM CNn
称该分布列称为超几何分布
称随机变量X服从超几何分布. 并记X～ H (n,M,N)
注：元素属性两大类 质量抽检是范例
①
②
大 N总数抽小 n 次品 M 含小 k
①超几何分布是“结构一分为二(成分两大类)” 概型
②超几何分布的模型是不放回抽样
(3)从含有5件次品的10件产品中，任取6件 其中恰有X件次品.X是否服从超几何分布？
析：若 X 服从超几何分布 其中N＝10, n＝6 ,M＝5
则
由 k＝0?,1, 2,, m ;m ＝min{M，n} 得 应有 k＝ 0,1,2,3,4,5 但显然有 k≠0 即 k＝1,2,3,4,5 哪如何处理呢？ 且看高考真题如何处理！
旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
(1).操作步骤：一变二算三相除 无限等分是前提
(2).常见的题型：
<1>按测度分
长度型 面积型 体积型 弧长型 角度型
<2>按事件域分
显式 隐式
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
三、应用：
注1：当n≤2时，虽可套用公式 但不如直接计算简捷 当n≥3时，套用公式 一般的，可减少操作量
注2：三个细节要留心 书写格式要正规 随机变量有范围 (高仿只用莫声张) 二项分布会区分
超几何分布的书写格式
由题意得X服从超几何分布
其中 N＝！,M＝！,n＝！
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
概率与统计简述
样本
抽样
估计 推断
总体
回归分析 分布列及期望 相关分析
概率 计数
分布列的求法
一选二算三列表 三大分布公式法
一选：
根据题意,灵活准确地选取随机变量所有可能的取值
二算：
根据题意,灵活准确地计算各随机变量相应的概率
三列表:
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …