2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题4(附答案)

2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题4（附答案）
1．下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x 2的图象平移得到的是（ ）
A.y=3x 2+2
B.y=3(x-1)2
C.y=3(x-1)2+2
D.y=2x 2
2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x
=与一次函数y ax b =+在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，边长为2的正△ABC 的边BC 在直线l 上，两条距离为l 的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记△ABC 夹在a 和b 之间的部分的面积为s ，则s 关于t 的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D. 4．已知点1(2,)y ，2(3,)y -均在抛物线21y x =-上，则1y 、2y 的大小关系为（ ）
A.12y y <
B.12y y >
C.12y y ≤
D.12y y ≥
5．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A.22(1)y x x =--
B.21y x =+
C.227y x =-
D.2
1y x =- 6．若A （﹣3.5，y 1），B （﹣1，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=﹣x 2﹣4x+5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 2＜y 3＜y 1
C.y 2＜y 1＜y 3
D.y 3＜y 1＜y 2 7．将二次函数y=（x ﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（ ）
A.（1，3）
B.（2，﹣1）
C.（0，﹣1）
D.（0，1）
8．把抛物线y=﹣2x 2先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，则变换后的抛物线解析式是（ ）
A ．y=﹣2（x+3）2﹣3
B ．y=﹣2（x+3）2+3
C ．y=﹣2（x ﹣3）2+3
D ．y=
﹣2（x ﹣3）2﹣3
9．下列函数关系中，不属于二次函数的是（ ）
A ．y ＝1﹣x 2
B ．y ＝（3x +2）（4x ﹣3）﹣12x 2
C ．y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）
D ．y ＝（x ﹣2）2+2
10．抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在二次函数y ＝（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＜x 2
＜1，则y 1_____y 2．（填“＞”“＝”或“＜”）
12．若二次函数2y x bx c =++的图象经过()4,0-，()2,6，则这个二次函数的解析式为________．
13．如图，抛物线y 1=a （x+2）2+m 过原点，与抛物线y 2=12
（x ﹣3）2+n 交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y 2=5；③当x ＞3时，y 1﹣y 2＞0；④y 轴是线段BC 的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
14．若抛物线y=ax 2+c 与x 轴交于点A （m ，0），B （n ，0），与y 轴交于点C （0，c ），则称△ABC 为“抛物三角形”．特别地，当mnc ＜0时，称△ABC 为“正抛物三角形”；当mnc ＞0时，称△ABC 为“倒抛物三角形”．若△ABC 为“倒抛物三角形”时，a 、c 应分别满足条件_____、_____；若△ABC 为“正抛物三角形”，此时△ABC 及其关于x 轴的轴对称图形恰好构成了一个含60°角的菱形，则a 、c 应满足的关系为_____．
15．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc
＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的序号是______
16．当实数a 满足条件________时，函数2y x 2ax 2a 3=-++的图象过原点．
17．在同一平面直角坐标系内，将函数
的图象向右平移2个单位，再向
下平移1个单位得到图象的顶点坐标是______．
18．如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x
对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．
①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．
19．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直
线x ＝﹣1，给出以下结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （﹣32
，y 1）、C （﹣12
，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_____．
20．如图，直线y ＝mx+n 与抛物线y ＝ax 2+bx+c 交于A （﹣2，p ），B （5，q ）两点，
则关于x 的不等式mx+n ＞ax 2+bx+c 的解集是_____．
21．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C(5，4)．
(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．
22．已知二次函数y=2x 2﹣4mx+m 2+2m （m 是常数）．
（1）求该函数图象的顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）当m 为何值时，函数图象的顶点C 在二、四象限的角平分线上？
23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2253y ax a x =-+交y 轴于点A ，交直线x =6于点B .
（1）填空：抛物线的对称轴为x =_________，点B 的纵坐标为__________（用含a 的代数式表示）；
（2）若直线AB 与x 轴正方向所夹的角为45°时，抛物线在x 轴上方，求a 的值； （3）记抛物线在A 、B 之间的部分为图像G （包含A 、B 两点），若对于图像G 上任意一点()p p P x y ，，总有p y ≤3，求a 的取值范围.
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A(-1,0)
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．
26．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
27．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）求△MCB的面积．
28．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），
（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式. （2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC 的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3<m<－1)，与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m为何值时，△BCQ的面积最大？
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
二次函数的平移不改变图形的大小和形状.
【详解】
解：二次函数的平移不改变图形的大小和形状，A 、B 、C 三个选项中的图像均为平移，可以通过23y x 平移得到，但D 选项中，系数为2，图像形状发生改变，故不能通过平移得到.
故选择D.
【点睛】
本题考察了二次函数图像的平移，注意图像的平移只改变位置，其他均不变.
2．C
【解析】
分析：首先利用二次函数图象得出a ，b 的取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．
详解：由二次函数开口向上可得：a ＞0，对称轴在y 轴左侧，故a ，b 同号，则b ＞0，故反比例函数y =
a x
图象分布在第一、三象限，一次函数y =ax +b 经过第一、二、三象限．
故选C ．
点睛：本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出a ，b 的取值范围是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
依据a 和b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分．
【详解】
如图①，当0≤t ＜1时，BE=t ，，
∴s=S △BDE =12×2； 如图②，当1≤t ＜2时，CE=2-t ，BG=t-1，
∴2-t ），t-1），
∴s=S 五边形AFGED =S △ABC -S △BGF -S △CDE =
12×12×（t-1）t-1）-12×（2-t ）2-t ）
2
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t ，3-t ），
∴s=S △CFG =12×（3-t ）（3-t ）2， 综上所述，当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
4．A
【解析】
∵抛物线21y x =-开口向上，对称轴为直线0x =（即y 轴），点1(2)y ，比点2(3)y -，到对称轴的距离近，
∴12y y <.
点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大.
5．C
【解析】
【分析】
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【详解】
A. 整理后是一次函数，故本选项错误；
B.是一次函数，故本选项错误；
C.y =2x 2−7是二次函数，故本选项正确；
D.y 与x 2是反比例函数关系，故本选项错误.
故选：C.
【点睛】
考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数定义的条件.
6．D
【解析】
根据二次函数的解析式可知a=-1＜0，开口向下，对称轴为x=-
2b a
=-2，可由函数的图像与性质，可知y 3＜y 1＜y 2.
故选：D.
点睛：此题主要考查了二次函数的系数与图像的关系，关键是判断出函数的对称轴和开口方
向，有函数的对称性判断即可.
7．B
【解析】
【详解】
二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1，
即y=（x﹣2）2﹣1，
所以顶点坐标为（2，﹣1），
故选B．
8．B
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线y=-2x2先向左平移3个单位得到解析式：y=-2（x+3）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=-2（x+3）2+3．
故选B．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
9．B
【解析】
【分析】
二次函数的定义是：如果y=ax2+bx+c(abc是常数，a≠0)，那么y叫做x 的二次函数.按照定义进行判断即可.
【详解】
解：A、C、D均符合二次函数的定义，B项展开后得：y=-x-6，不是二次函数，
故选择B.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义.
10．A
【分析】
根据二次函数图象所在的象限大致画出图形，由此即可得出结论．
【详解】
∵二次函数图象只经过第一、三、四象限，∴抛物线的顶点在第一象限．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
11．＞
【解析】
【分析】
根据题意画出函数图象即可进行比较．
【详解】
∵二次函数，画出图象为：
根据图象可知，当时，的值随的增大而减少，，．
故答案为：＞．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出二次函数的图象，此题难度不大．
12．234y x x =+- 【解析】 【分析】
用待定系数法求b 、c 的值，将()4,0-，()2,6代入2y x bx c =++即可求得． 【详解】
解：将()4,0-，()2,6代入2
y x bx c =++中，得：
1640426b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得3
4
b c =⎧⎨
=-⎩， ∴这个二次函数的解析式为：234y x x =+-． 【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，注意二次函数三种形式的灵活运用. 13．①③④ 【解析】 【分析】
根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y 2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A 、B 、C 的横坐标，然后求出AB 、AC 的长，判定④． 【详解】
∵抛物线y 1=a （x+2）2+m 与抛物线y 2=
12
（x ﹣3）2
+n 的对称轴分别为x=-2，x=3， ∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确； ∵抛物线y 2=
12
（x ﹣3）2
+n 交于点A （1，3）， ∴2+n=3，即n=1；
∴y 2=
12
（x ﹣3）2
+1， 把x=0代入y 2=12（x ﹣3）2
+1得，y=112
≠5，②错误；
由图象可知，当x ＞3时，y 1＞y 2，∴x ＞3时，y 1﹣y 2＞0，③正确； ∵抛物线y 1=a （x+2）2+m 过原点和点A （1，3）， ∴40
93
a m a m +=⎧⎨
+=⎩，
解得35
125a m ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
， ∴()2
1312255
y x =
+-. 令y 1=3，则()2
3123255
x =+-，
解得x 1=-5，x 2=1， ∴AB=1-（-5）=6， ∴A （1，3），B （-5，3）； 令y 2=3，则
12
（x ﹣3）2
+1=3， 解得x 1=5，x 2=1， ∴C （5，3）， ∴AC=5-1=4， ∴BC=10，
∴y 轴是线段BC 的中垂线，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
14．a ＞0， c ＜0 ac=﹣3或﹣1
3
． 【解析】 【分析】
(1)由抛物三角形的定义可知，△ABC 为“倒抛物三角形”时，开口向上，函数与y 轴负半轴有交点；
(2)分∠CAB=60°和∠CAB=30°两种情况分别计算.
解：(1)由题意可知mn ＜0，当a ＞0，c ＜0时，为△ABC 为“倒抛物三角形”；
(2)当∠CAB=60°时，则AO=tan60°×，则2+c=0，解得：ac=﹣1
3
，
当∠CAB=30°时，则AO=tan30°
×c ，则c)2+c=0，解得：ac=-3； 故答案为：ac=﹣3或﹣1
3
． 【点睛】
本题关键在理解“抛物三角形”的定义是与二次函数系数密切相关的. 15．①②④ 【解析】 【分析】
观察图像，可得出a ，b 和c 的符号，就可判断①是否正确；根据一元二次方程与二次函数和x 轴交点之间的关系就可对②作出判断；根据对称轴是直线x=-1，就可对③④作出判断. 【详解】
①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0. ∵对称轴为直线12b
x a
=-
=-， ∴b=2a ＜0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0. ∴abc ＞0，故①正确；
②∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac ＞0.即24.ac b < 故②正确； ③∵b=2a ， ∴2a-b=0. 故③错误；
④当1x =-时，根据图象得到：y ＞2，即a-b+c ＞2. 故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④. 故答案为：①②④.
考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置. 16．3
a 2
=- 【解析】 【分析】
令x=0，y=0，代入2
y x 2ax 2a 3=-++，即可求得a. 【详解】
解：由题意，得：02
-2a×
0+2a+3=0， 解得：a=32
-
. 故答案为：3a 2
=-. 【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，是中学阶段的重点，此题比较简单. 17．
【解析】 【分析】 先将化成顶点式，
2(x+1)2-5,再利用左加右减平移即可解题.
【详解】 ∵
=2(x+1)2-5 将图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2(x-1)2
-6
∴此时的顶点坐标是.
【点睛】
本题考查二次函数图像的平移及其顶点坐标，关键是将二次函数一般式化成顶点式. 18．②③ 【解析】
分析：①观察函数图象，可知：当x ＞2时，抛物线y 1=-x 2
+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可
得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当
x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，
由此可得出：若M=2，则x=1或，结论④错误．
此题得解．
详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1（舍去），x2；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
19．②③⑤
【解析】
解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a +b +c =0，﹣2b
a
=﹣1，∴b =2a ，c =﹣3a ，∴4b +c =8a ﹣3a =5a ＜0，故③正确． ∵B （﹣5
2，y 1）、C （﹣12
，y 2）为函数图象上的两点，又点C 离对称轴近，∴y 1，＜y 2，
故④错误，
由图象可知，﹣3≤x ≤1时，y ≥0，故⑤正确． ∴②③⑤正确， 故答案为②③⑤．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型． 20．x ＜﹣2或x ＞5 【解析】 【分析】
直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＞ax 2
+bx+c 的解集．
【详解】
∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-2，p ），B （5，q ）两点， ∴关于x 的不等式mx+n ＞ax 2+bx+c 的解集是：x ＜-2或x ＞5． 故答案为：x ＜-2或x ＞5． 【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键． 21．(1) (
52
，－94)；(2)答案不唯一，合理即可，y ＝x 2
＋x ＋2.
【解析】
试题分析：将点c 坐标代入函数表达式即可求出a 的值，a=1，将函数表达式转换为顶点式
y ＝x 2－5x ＋4＝(x －
52)2－94，所以顶点坐标是（52，－9
4
）；将抛物线平移后顶点在第二象限，答案不唯一，可通过平移顶点，例如先向左平移3个单位长度，则变为y ＝ (x －532
+)
2
－94，再向上平移4个单位，得到y ＝ (x －532
+)2
－94+4= (x ＋12)2＋74= x 2＋x ＋2. 解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y ＝ax 2
－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4.解得a ＝1.
∴二次函数的表达式为y ＝x 2－5x ＋4.
∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －
52)2－94， ∴顶点P 的坐标为(52，－9
4
)．
(2)答案不唯一，合理即可，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数表达式为y ＝(x －52＋3)2
－94＋4＝(x ＋12)2＋74
， 即y ＝x 2
＋x ＋2.
22．（1）（m ，﹣m 2
+2m ）；（2）m 为0或3时
【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标公式直接计算即可；
（2）根据点C 坐标，点C 在直线y=-x 上，即使横纵坐标互为相反数，计算即可得出答案． 试题解析：（1）由y=2x 2-4mx+m 2+2m =2（x 2-2mx ）+m 2+2m =2（x-m ）2-m 2+2m ，
得顶点C 的坐标为（m ，-m 2+2m ）； （2）点C 坐标（m ，2m-m 2），由题意知， 点C 在直线y=-x 上，
则-m=2m-m 2，整理得m 2-3m=0， 解得m=0或m=3；
所以当m 为0或3时，函数图象的顶点C 在二、四象限的角平分线上． 23．（1）52a ； 2 -30363a a ++；（2）a =15
；（3）a ≥6
5或a <0． 【解析】
(1).
52a ;2-30363a a ++; （2）15a = ; (3) 6
5
a ≥ 或a<0. 试题分析：（1）①根据抛物线的对称轴为直线2b
x a
=-，代入数据即可得出结论；②把x =6
代入直线2
2
53y ax a x =-+即可求出点B 的纵坐标；
（2）根据直线AB 与x 轴正方向所夹的角为45°，列方程-30a 2
+36a +3=6+3求出a 的值；
（3）分a ＞0及a ＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出a 的取值范围．
解：（1）①对称轴为：25522
a x a a -=-=；
②把x =6代入直线2253y ax a x =-+得， y =36a -30a 2+3.
∴点B 的纵坐标为-30a 2+36a +3. (2)当x =0时,003y =-+=3, ∴A(0,3).
∵直线AB 与x 轴正方向所夹的角为45°， ∴-30a 2+36a +3=6+3, 解之得
11
5
a =
,a 2=1（舍去）. ∴a 的值是1
5 .
（3）当a ＞0时，如图1． ∵A （0，3），
∴要使0≤x p ≤6时，始终满足y p ≤3，只需使抛物线y =ax 2-5a 2x +3的对称轴与直线x =3重合或在直线x =3的右侧．
∴
5
32a ≥ , 65
a ∴≥.
当a ＜0时，如图2， 在0≤x p ≤6中，y p ≤3恒成立． 综上所述，a 的取值范围为6
5
a ≥
或a<0．
24．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
【解析】
【分析】
(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式;
(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ 即可得出结论；
（3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可.
【详解】
解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+（﹣x2+3x）×3
=﹣（x﹣）2+．
当x=时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=QC时，3=|m|，
解得：m=±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC=QO时，3=，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当QC=QO时，有|m|=，
解得：m=，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．【点睛】
本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中.
25．（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣3
2
（m﹣
3
2
）2+
63
8
，当m=
3
2
时，S有最大值是
63
8
；（3）
点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）
【解析】
试题分析：（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值；
（3）先将抛物线配方成顶点式求M（1，4），利用待定系数法求直线MB的解析式，利用解析式分别表示N、Q两点的坐标；
分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，证明△EMQ≌△FQN，根据全等三角形的性质EM=FQ，EQ=FN，列方程组解出即可；
②当N在射线BM上时，如图3，同理可求得点N的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
当y=0时，-x+3=0，
x=3，
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），
a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（m，n），
∴OE=m，BE=3-m，PE=n，
S=S梯形COEP+S△PEB=1
2
OE（PE+OC）+
1
2
BE•PE，
=1
2
m（n+3）+
1
2
n（3-m），
=3
2
m+
3
2
n，
∵n=-m2+2m+3，
∴S=3
2
m+
3
2
（-m2+2m+3）=-
3
2
m2+
9
2
m+
9
2
=-
3
2
（m-
3
2
）2+
63
8
，
当m=3
2
时，S有最大值是
63
8
；
（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M（1，4），
设直线BM的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），M（1，4）代入得：
30
4
k b
k b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，解得：
2
6
k
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，设N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），分两种情况：
①当N在射线MB上时，如图2，
过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，∵△EQN是等腰直角三角形，
∴MQ=QN，∠MQN=90°，
∴∠EQM+∠FQN=90°，
∵∠EQM+∠EMQ=90°，
∴∠FQN=∠EMQ，
∵∠QEM=∠QFN=90°，
∴△EMQ≌△FQN，
∴EM=FQ，EQ=FN，
∴
13(26)
4(3)
n n a
n a n
--+--+
⎧
⎨
--+-
⎩
＝
＝
，解得：
2
1
2
a
n
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
当a=2时，y=-2a+6=-2×2+6=2，∴N（2，2），
②当N在射线BM上时，如图3，
同理作辅助线，得△ENQ ≌△FQM ，
∴EN=FQ ，EQ=FM ，
∴3426(3)1n a n a n n -+-+-⎧⎨-+--+-+⎩＝＝，解得：12a n -⎧⎨-⎩
＝＝， ∴N （-1，8），
综上所述，点N 的坐标为（2，2）或（-1，8）．
26．开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.
试题解析:2264y x x =-++, =29923442x x ⎛⎫--+
++ ⎪⎝⎭, =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
, 开口向下,对称轴为直线32x =,顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 27．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）y=﹣x+5；（3）15．
【解析】
【分析】
（1）由A 、C 、（1，8）三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由B 、C 两点的坐标求得直线BC 的解析式；
（3）过点M 作MN ∥y 轴交BC 轴于点N ，则△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12
MN OB ⋅． 【详解】
（1）∵A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax 2+bx+c 上，
∴058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩
，
解方程组，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
故抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5；
（2）∵y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣5）（x+1）=﹣（x ﹣2）2+9，
∴M （2，9），B （5，0），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，
550b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得,15
k b =-⎧⎨=⎩ 则直线BC 的解析式为：y=﹣x+5；
（3）过点M 作MN ∥y 轴交BC 轴于点N ，
则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=1
2
MN OB
⋅．
当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），则MN=9﹣3=6，
则
1
6515
2
MCB
S=⨯⨯=．
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点, 待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
28．（1）y=－x2-2x+3；（2）3；（3）m=-3
2
时，面积最大.
【解析】
试题分析：（1）用待定系数法求函数关系式即可；
（2）先根据
2
3
KH
BO
=得KH=2，所以DK=2，S△DBC=
1
2
DK×OC即可；
（3）先根据QK=QK-KP求出QK=-m2-3m，再由S△BCQ=1
2
QK×|OC|得出结果即可.
试题解析：（1）设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4
将B（0，3）代入，得a=-1,
∴二次函数解析式为y=－x2-2x+3；
（2）易得DH∥OB,
∴KH:OB=CH:CO
∵C（-3，0），B（0，3）且直线DH是抛物线的对称轴，∴CH=2，CO=3，OB=3
∴CH=2
∵D（-1，4）
∴DH=4，
∴DK=DH-KH=4-2=2；
∴S△DBC=1
2
DK×OC=
1
2
×2×3=3
（3）QK=QK-KP=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m.
S△BCQ=1
2
QK×|OC|=
1
2
（-m2-3m）×3=--2
39
22
m m
--.
∴当m=
b
2a
-=-
3
2
时，面积最大.。