材料力学

k
a
k
a
sa
pa
a
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
k
a
当a = 0°时， s 0 s max (横截面上存在最大正应力)
当a = 90°时， s 90 s min 0
| 45 | 当a = ± 45°时，
2 当a = 0,90°时，| 0,90 | min 0
L0 10d 0
18
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
s
P A
0
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
s 图
l
19
l
(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段)
s
1、op -- 比例段:
sp -- 比例极限(200MPa)
se e sP p
l N Nl ( l ) l EA EA N 1 s s E 胡克定律： A E E
2.
FN ( x) 拉伸应力： s A
3. 危险截面及最大工作应力：
FN ( x) s A
危险截面：应力最大的面(内力最大，截面尺寸最小的面)
危险点：应力最大的点。
FN ( x) s max max( ) A( x)
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
100
30 / 500 6 0 0
0
5
10 15
由拉伸图知： s 20（）
160MPa
P As 3.14 22 106 160106 / 4 502N
29
思考：三个构件，尺寸及形状均相同，但材
料不同。请问：
强度高（ A ），刚度大( B )，塑性好( C )；
F N>0 FN<0
内力按正向画
三、 轴力图—— FN (x) 的图象表示。
P
FN P +
x
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA FN1 A PA B PB B PB C PC C PC
轴力图如下图： O A PA 2P + – 3P B PB + C PC 5P P
PD
D PD
FN4
D PD x
FN
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法：自左向右 遇到向右的P ， 轴力FN 突降。 8kN 5kN 3kN
遇到向左的P， 轴力FN 突增；

左增右降
5kN + 3kN 2P
Fa F pa cosa s 0 cosa 斜截面上全应力：pa s 0 cos a Aa A
斜截面上全应力： pa s 0 cos a 分解： pa
k
F F

F s0 a pa sina s 0 cosa sina sin2a 2
sa pa cos as 0 cos2a
应力[s]=170M Pa。 试校核刚拉杆AB的强度。 q
A
B
钢拉杆
8.5m
s
max max(
N ( x) ) s A( x)

34
解： ① 整体平衡求支反力 q
HA
RA
A
钢拉杆
8.5m
B RB
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
35
② 局部平衡求 轴力： q HC RC HA=0KN FN RA=19.5KN ④强度校核与结论： s
名义屈服应力:0.2％塑性应变时的
应力为 s

0.2
，即此类材料的失效
应力。
0.2
五、铸铁拉伸时的机械性能 无明显的直线部分；没有屈服和缩颈现象
s
s bL
sｂL ---铸铁拉伸强度极限（失效应力）

E t ga ; 割线斜率
26
§2－5 材料在压缩时的力学性能
一、低碳钢压缩时的机械性能
1、E、s s与拉伸时 大致相同；
A B C
30 18-3
§2－7 失效、安全因数和强度计算
一、许用应力、安全系数
1、许用应力：

ss 塑性材料： s ns sb 脆性材料： s nb
ns , nb
31
2、安全系数：
二、强度计算
1、保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
FN ( x) s max max( ) s A( x)
E－－弹性模量；
0
a

s E tga
2、pe --曲线段:
se -- 弹性极限
s f ( )
n
20
(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段)
s
e s --屈服阶段: ss ---屈服极限
塑性材料的失效应力:ss
se e sP p
s
（开始丧失承载能力 ）
ss
0
a

滑移线

其中：[s]--许用应力， smax--危险点的最大工作应力。 2、三种强度计算类型：
s ①校核强度：
max
s


Amin ②设计截面尺寸：
FN max [s ]
③许可载荷： FN max As
;
32
[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 [s]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 P d P
30

P b
maxs 0 /2127.4/263.7MPa
s 30 s 0 cos2 a 127.4 cos2 30 95.5MPa
30
127 .4 sin 2a sin 60 55.2MPa 2 2
15
s0
练习：图示结构中，1,2两杆的横截面直径分别为10mm和 20mm，试求两杆内的应力。 2
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[s]、h、L。
L
分析：
A
B
V ABDLBD;
P C
ABD FN /s ; LBD h / sin 。

h
D
37
L
XA
YA
A
B

FN
C
P
解： BD杆内力FN： 取AC为研究对象，如图
m
A
0 , (FN sin ) (hctg ) PL
P
A B C D
(a) 轴向拉伸
(b) 不是
(c) 轴向压缩
(d) 不是
二、轴向拉压的变形特点：
体积不变，轴向拉伸，则横向收缩，轴向收缩，则横向膨胀。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
P
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
P
（拉力）
P
P
（压力）
5
§2–2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力、应力
max

s0
(45 °剪应力达到最大)
例 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。 解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
s0
P 4 10000 127 .4MPa 4 A 3.14 10
a P
§2-13 剪切和挤压的实用计算
介绍顺序：
受力特点
变形特点

内 力

应
变
力 强度计算
形 刚度计算
3
§2–1 轴向拉压的概念及实例
一、轴向拉伸与压缩的外力特点 外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 例：下列几种情况，哪些是轴向拉伸（压缩），哪些不是？ P P P
P
P
P
–
O A 5P 2P B 8P 5P C 4P D P x
FN
3P

P
四、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前: 受载后:P a c a´ c´ b d b´ d´ P
平面假设：横截面在变形后仍为平面；纵向纤维变形相同。 说明：均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 轴力引起的正应力 —— s ： s FN(x) P 在横截面上均布。
s
b
a
f
ss
0
a

p
e
2、面缩率：
1、延伸率:
L1 L 100 0 0 L
A A1 100 0 0 A
3、脆性、塑性及相对性
23 以 5 0 0 为界
24
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(s -- 图)
25
s
四、无明显屈服现象的塑性材料
s0.2
§2－3 拉(压)杆斜截面上的应力
设有一等直杆受拉力F作用。 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Fa=F
Fa 则： pa Aa
k F F
k
F
a
Байду номын сангаас
k
pa
k Aa斜截面面积；Fa斜截面上内力。
a
A 由几何关系： cosa Aa

A 代入上式，得： Aa cosa
1.5m 10KN
1m 1.5m
1m
1.5m
1
16
作业：2－1 a) c)； 2－ 2 2－ 5
§2－4 材料在拉伸时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件: L0 5d 0
第二章
拉伸、压缩与剪切
§2–1 轴向拉压的概念及实例 §2–2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力、应力 §2–3 §2-4 §2-5 §2-7 §2-8 §2-9 §2-10 §2-11 §2-12 直杆轴向拉伸或压缩斜截面上的内力、应力 材料拉伸时的力学性能 材料压缩时的力学性能 失效、安全因数和强度计算 轴向拉伸或压缩时的变形 失效、安全因数和强度计算 轴向拉伸或压缩时的变形能 温度应力和装配应力 应力集中的概念
max
m
C
0 FN 26.3kN
③应力：
FN 4P s max A d2 4 26.3 103 131MP a 2 3.14 0.016
131MPa s 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
36
[例5] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
一、内力：由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分
布内力系的合成。 二、截面法 ·轴力 1、截面法的基本步骤：截、代、平； 2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。 3. 轴力 FN 的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN与外法线反向,为负轴力(压力) FN FN FN FN
BD杆面积A： A FN /s
③ 求VBD 的最小值：V ALBD
PL FN hcos
2 PL Ah / sin ; [s ] sin 2
45o时, Vmin
2PL [s ]
38
练习：2－12
39
作业：2－8 2－12 2－15
40
§2 －8
解：① 轴力：FN = P =25kN ②应力： s max
FN 4P 4 25103 162MP a 2 2 A πd 3.14 0.014
③强度校核： s max 162MPa s 170MPa ④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
33
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
D
PD D PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
X 0 FN 1 PA PB P C P D 0
FN1 5P 8P 4P P 0
FN1 2P
8
同理，求得AB、 BC、CD段内力分
FN2
B PB FN3
C PC C PC
D
PD D
别为：
FN2= –3P ; FN3= 5P ; FN4= P
轴向拉伸或压缩时的变形
a c
一、拉压杆的变形及应变
1、杆的纵向总变形：
L L1 L
2、线应变：单位长度的线变形。 3、平均线应变： L L1 L P L L 4、杆的横向变形： ac ac ac 5、x点处的横向线应变：
2、没有强度极限s b
27
二、铸铁压缩时的机械性能 sｂy ---铸铁压缩强度极限；
s ｂy （4 — 6） s ｂL
28
例11 铜丝直径d=2mm，长L=500mm， 材料的拉伸曲线如图
所示。如欲使铜丝的伸长为30mm， 则大约需加多大的力P？
s（MPa）
200 300
解：变形量可能已超出了“线弹性” 范围，故，不可再应用―胡克定律” 。应如下计算：
21
(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段)
s
sb
se e sP p
s
b
a
１、sｂ---强度极限 （恢复承载能力） ２、卸载定律： 按红色线卸载 ３、冷作硬化：
ss
0
a

p
e
卸载后二次加载， 比例极限提高，塑 性变形降低。
22
(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段)
s
sb
se e sP p