第二课时 函数的概念(二)
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第三章 函数的概念与性质
索引
题型一 区间的应用
例1 把下列数集用区间表示： (1){x|x<0}； (2){x|－1<x<1}； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}. 解 (1){x|x<0}＝(－∞，0)； (2){x|－1<x<1}＝(－1，1)； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].
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题型三 求函数的值域
例 3 求下列函数的值域： (1)y＝ x－1；(2)y＝2xx－＋31； 解 (1)(直接法)∵ x≥0， ∴ x－1≥－1， ∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－ x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，所以 y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
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题型四 抽象函数的定义域
例4 设函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义 域. 解 ∵函数f(x)的定义域是[－1，3]， ∴要使函数g(x)有意义， 则－ －11≤ ≤2xx－＋11≤≤33，，解得 0≤x≤1. 故函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义域为[0，1].
A.f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
B.f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
C.f(x)＝xx2＋－11，g(x)＝x－1
D.f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
解析 对于 A 项，g(x)＝ x2＝|x|与 f(x)＝|x|定义域、对应关系分别对应相同，是
同一函数.
选项B中，对应关系不同，不是同一函数. 选项C中，f(x)定义域{x|x∈R且x≠－1}，g(x)的定义域为R，不是同一函数. 选项D中，f(x)定义域为[1，＋∞)，g(x)定义域为{x|x≤－1或x≥1}，两函数定 义域不同，不是同一函数.
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题型二 同一函数的判断
例2 下列各组函数： ①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2； ③f(x)＝ （x＋3）2，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝ 80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是____②__⑤__(填序号).
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思维升华
判断两个函数为同一函数应注意的三点： (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域 与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是 没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.
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训练2 下列四组函数中，表示同一函数的域不同，不是同一函数； ②f(x)与g(x)的定义域都是[－1，1]，且对应关系相同，是同一函数； ③f(x)＝ （x＋3）2＝|x＋3|与 g(x)＝x＋3 对应关系不同，不是同一函数； ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，是同一函数.
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思维升华
用区间表示连续实数集注意几点： (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
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训练1 (1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用区间表示为____(_－__2_，__0_)∪__(_0_，__2_]____. (2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__(_－__3_，__2_)____. 解析 (1){x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]. (2)由a2＋a＋1<7，得(a＋3)(a－2)<0. ∴－3<a<2.
A.13，53
B.－1，53
C.[－3，1]
D.13，1
解析 由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
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(3)y＝xx2－＋18(x>1)； 解 (基本不等式法)由x>1，知x－1>0. 则 y＝xx2－＋18＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋9 ＝(x－1)＋x－9 1＋2≥2 （x－1）·x－9 1＋2＝8. 当∴且y＝仅xx当2－＋x18－(x1>＝1)的x－9最1小，值即为x＝8.4 时，上式取“＝”. 故函数 y＝xx2－＋18的值域为[8，＋∞).
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思维升华
1. 若 已 知 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 函 数 y ＝ f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b解得. 2.求抽象函数定义域的关键是理解函数的定义.
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训练 4 已知函数 f(x)＝ －x2＋2x＋3，则函数 f(3x－2)的定义域为( A )
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训练3 求下列函数的值域： (1)y＝x＋x 1；(2)y＝2x＋4 1－x. 解 (1)(分离常数法) ∵y＝x＋x 1＝1－x＋1 1，且定义域为{x|x≠－1}， ∴x＋1 1≠0，即 y≠1.
∴函数 y＝x＋x 1的值域为{y|y∈R，且 y≠1}. (2)(换元法)令 t＝ 1－x(t≥0)，则 x＝1－t2，
索引
(4)y＝2x－ x－1. 解 (换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0，且 x＝t2＋1， 所以 y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，结合函数的图象得原函数的值域为185，＋∞.
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思维升华
1.求函数的值域，应先确定定义域，由定义域及对应关系确定函数的值域. 2.求函数值域的常用方法： (1)对一些简单的函数，用观察法直接求解. (2)对于二次函数，常用配方法求值域. (3)对于分式类型的函数，采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式， 便于求值域. (4)对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域.
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题型一 区间的应用
例1 把下列数集用区间表示： (1){x|x<0}； (2){x|－1<x<1}； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}. 解 (1){x|x<0}＝(－∞，0)； (2){x|－1<x<1}＝(－1，1)； (3){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].
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题型三 求函数的值域
例 3 求下列函数的值域： (1)y＝ x－1；(2)y＝2xx－＋31； 解 (1)(直接法)∵ x≥0， ∴ x－1≥－1， ∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－ x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，所以 y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
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题型四 抽象函数的定义域
例4 设函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，求函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义 域. 解 ∵函数f(x)的定义域是[－1，3]， ∴要使函数g(x)有意义， 则－ －11≤ ≤2xx－＋11≤≤33，，解得 0≤x≤1. 故函数g(x)＝f(2x＋1)＋f(x－1)的定义域为[0，1].
A.f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
B.f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
C.f(x)＝xx2＋－11，g(x)＝x－1
D.f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
解析 对于 A 项，g(x)＝ x2＝|x|与 f(x)＝|x|定义域、对应关系分别对应相同，是
同一函数.
选项B中，对应关系不同，不是同一函数. 选项C中，f(x)定义域{x|x∈R且x≠－1}，g(x)的定义域为R，不是同一函数. 选项D中，f(x)定义域为[1，＋∞)，g(x)定义域为{x|x≤－1或x≥1}，两函数定 义域不同，不是同一函数.
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题型二 同一函数的判断
例2 下列各组函数： ①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2； ③f(x)＝ （x＋3）2，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝ 80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是____②__⑤__(填序号).
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思维升华
判断两个函数为同一函数应注意的三点： (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域 与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是 没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.
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训练2 下列四组函数中，表示同一函数的域不同，不是同一函数； ②f(x)与g(x)的定义域都是[－1，1]，且对应关系相同，是同一函数； ③f(x)＝ （x＋3）2＝|x＋3|与 g(x)＝x＋3 对应关系不同，不是同一函数； ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，是同一函数.
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思维升华
用区间表示连续实数集注意几点： (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
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训练1 (1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用区间表示为____(_－__2_，__0_)∪__(_0_，__2_]____. (2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__(_－__3_，__2_)____. 解析 (1){x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]. (2)由a2＋a＋1<7，得(a＋3)(a－2)<0. ∴－3<a<2.
A.13，53
B.－1，53
C.[－3，1]
D.13，1
解析 由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
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(3)y＝xx2－＋18(x>1)； 解 (基本不等式法)由x>1，知x－1>0. 则 y＝xx2－＋18＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋9 ＝(x－1)＋x－9 1＋2≥2 （x－1）·x－9 1＋2＝8. 当∴且y＝仅xx当2－＋x18－(x1>＝1)的x－9最1小，值即为x＝8.4 时，上式取“＝”. 故函数 y＝xx2－＋18的值域为[8，＋∞).
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思维升华
1. 若 已 知 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 函 数 y ＝ f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b解得. 2.求抽象函数定义域的关键是理解函数的定义.
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训练 4 已知函数 f(x)＝ －x2＋2x＋3，则函数 f(3x－2)的定义域为( A )
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训练3 求下列函数的值域： (1)y＝x＋x 1；(2)y＝2x＋4 1－x. 解 (1)(分离常数法) ∵y＝x＋x 1＝1－x＋1 1，且定义域为{x|x≠－1}， ∴x＋1 1≠0，即 y≠1.
∴函数 y＝x＋x 1的值域为{y|y∈R，且 y≠1}. (2)(换元法)令 t＝ 1－x(t≥0)，则 x＝1－t2，
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(4)y＝2x－ x－1. 解 (换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0，且 x＝t2＋1， 所以 y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，结合函数的图象得原函数的值域为185，＋∞.
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1.求函数的值域，应先确定定义域，由定义域及对应关系确定函数的值域. 2.求函数值域的常用方法： (1)对一些简单的函数，用观察法直接求解. (2)对于二次函数，常用配方法求值域. (3)对于分式类型的函数，采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式， 便于求值域. (4)对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域.