河南省洛阳市高三第二次统一考试(3月)(图片)——数学

河南省洛阳市
2017届高三第二次统一考试（3月）（图片）
数学（理）试题
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．设复数满足（为虚数单位），则（）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）
A．B．C．D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）
A．1 B．C．D．
5．甲乙和其他名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这名同学的站队方法有（）
A．种B．种C．种D．种
6．已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（）A．B．C．D．
7．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，表示估计的结果，刚图中空白框内应填入（）
A．B．C．D．
8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．
9如图，、是双曲线()
22
22
:10,0
x y
C a b
a b
-=>>的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
10设函数，若，满足不等式()()
22
220
f a a f b b
-+-≤，则当时，
的最大值为（）
A．B．C．D．
11．在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）
A．B．C．D．
12．已知函数()
()
()
21,1
ln
,1
x x
f x x
x
x
⎧-<
⎪
=⎨
⎪
⎩
≥
，关于的方程()()()
2
2120
f x m f x m
+--=
⎡⎤
⎣⎦，有个不同的实数解，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．
13．已知角的始边与轴非负半轴重台，终边在射线上，则______．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：.该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则
______．
15．如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______．
16．已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆的右焦点．圆上有一动点，不同于，两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是______．
三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列中，，其前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围．
18．某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．
(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？
(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．
19．已知三棱锥，平面，，，，，分别是，的中点．
(1)为线段上一点．且，求证：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设，是轨迹上的两点，且，，记，求的最小值．
21．已知函数，．
(1)若，，求的单凋区间；
(2)若函数是函数的图像的切线，求的最小值；
(3)求证：．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑
22．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．
23．选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
(1)求的最大值；
(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．
洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试
数学试卷参考答案(理)
一、选择题
1-5:BDBCC 6-10:DCBAB 11、12:AC 二、填空题
13． 14． 15． 16． 17．解：(1)∵，
∴，∴()()11221n n n a n a n a ++=+++， 即，∴， ∴ ∴. （2）.
()2
1131n n n b b n λ++-=-+()
()232321n n n n λλ--=⋅-+.
∵数列为递增数列，∴，即.
令，则11232163
1232321n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+. ∴为递增数列，∴，即的取值范围为．
18．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件，则事件的概率为．该厂有台机器就相当于次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为，则，
()40
4
2160381
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()3
14123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，
()2224
122423381P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
3412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭
，
即的分布列为：
设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，即，，，…，，这个互斥事件的和事件，则
∵，∴至少要名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于． (2)设该厂获利为万元，则的所有右能取值为：18,13,8， ()()72
1281
P X P X +=+==， ()()813381
P Y P X ====， ()()18481
P Y P X ====
． 即的分布列为：
则()72811408
1813881818181
E Y =⨯
+⨯+⨯=
． 故该厂获利的均值为． 19．(1)解：交于，∴，∴， 在中，，∴.
22241216AC AD CD =+=+=，∴，
为中点，，∴，∴． ∵面，∴， 又∵，，∴面， ∴面，∴．
∵，∴面，面， ∴
.
(2)以点为坐标原点，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,则，，，，，，，． 设平面的法向量为， 则0,0,
DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即 取．
设，的夹角为， 21
cos 7
421
AC n AC n
θ⋅=
=-⋅. 所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：(1)设，的中点，连，则：，， ∴. 又, ∴
∴，整理得.
(2)设，，不失一般性，令， 则1111
22
OFA S OF y y =⋅⋅=△，
∵, ∴,解得③
直线的方程为：2
112
22
121444
y x y y y y y y -
---，, 即21112
44y x y y y y ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭-=+，令得，即直线恒过定点，
当时，轴，，． 直线也经过点. ∴12121
2
OAB S OE y y y y =⋅-=-△. 由③可得, ∴111182OAB S S y y y ⎛⎫==
++ ⎪⎝
⎭
△113
82y y =+≥当且仅当，即时，. 21．解：(1)时，，
()()211
20F x x x x
'=+->，()()()22211212x x x x F x x x -++-'=
=， 解得，解得，
∴的单调增区间为，单调减区间为区间为． (2)设切点坐标为设切点坐标为， ，
切线斜率，又， ∴，∴0200
11
ln 1a b x x x +=+-- 令()()211
ln 10h x x x x x
=+-->，
，
解得，解得，
∴在上递减，在上递增． ∴，∴的最小值为． (3)法一：令， 由(1)知，∴. 又，∴ ∴52
1223ln x e
x x x
---
≥≥，（两个等号不会同时成立） ∴． 法二：令， 显然在上递增，， ∴在上有唯一实根，且，， ∴在上递减，在上递增，
∴ ∴，
22．解：(1)的普通方程为，的直角坐标方程为．
(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离
()d α=
.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为． 23．解：(1)因为. 当或时取等号， 令所以或． 解得或 ∴的最大值为． (2)∵．
由柯西不等式，()222111234234a b c ⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭
,
∴，等号当且仅当，且时成立． 即当且仅当，，时， 2的最小值为．。