上海上海中学东校八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(答案解析)

一、选择题
1．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
2．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3．已知123
n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4
A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点
F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：
①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中
正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ．12 7．平面直角坐标系中，点A (3，2)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ） A ．(3，－2)
B ．(－3，－2)
C ．(－3，2)
D ．(－2，3)
8．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若
6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）
A ．2
B ．1.5
C ．1
D ．2.5 9．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020
()a b +的值（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
10．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，
ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系
11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③
12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交
AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则
EBQ ∠=（ ）
A ．65︒
B ．60︒
C ．56︒
D ．50︒
二、填空题
13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．
14．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若
130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．
15．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使
ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．
16．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．
17．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取
1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．
18．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．
19．右图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点,A B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且
ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标_______；满足条件的点C 一共有_______个．
20．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，
t =_________．
三、解答题
21．如图，△ABC 是等边三角形，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，且CE 、BF 交于点P ，且EG ⊥BF ，垂足为G ． （1）求证：∠ACE ＝∠CBF ； （2）若PG ＝1，求EP 的长度．
22．如图，在ABC 中，50B C ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接
DE ，且ADE AED ∠=∠，当60BAD ∠=︒时，求CDE ∠的度数．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成下列作图（不必写作法，保留作图痕迹,标出相应字母）；
（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；
（2）尺规作图：在x 轴上找出一个点P ，使点P 到,A B 两点的距离相等．
24．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，
0）．
（1）点C 关于x 对称的点的坐标（ ， ）； （2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′； （3）△ABC 的面积为 ．
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； ①点P 到A ，B 两点的距离相等； ②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．
26．如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．
（1）直接写出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点1A 、1B 、1C 的坐标；1A （______，_______）、1B （______，_______）、1C （______，_______） （2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形222A B C △． （3）求ABC 的面积．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB 即可． 【详解】 解：∵AB=AC ， ∴∠C=∠ABC=15°， ∴∠BAD=30°， ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDA=90°， ∴AB=2BD ，
点B 到边AC 的距离是3cm ，即BD=3cm ， ∴AB=2BD=6cm ， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质把已知的15°角转化为30度角．
2．B
解析：B
【分析】
根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，
得出CE＝AE＝1
2
AC，又因为BF＝AC所以CE＝
1
2
AC＝
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等
腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
3．A
解析：A
【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．
【详解】
解：A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y 轴对称，
A1与A5是同一个点，
四次一循环，
100÷4=25，
A100与A4重合，
即第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与
△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①正确；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，即②正确；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
5．D
解析：D
【分析】
由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得
90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，
结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．
【详解】
解：∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，
∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；
∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，
∴AE=BE ，
在△ADE 和△BCE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；
△ADE ≌△BCE ，
,ADE BCE ∴∠=∠
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，
∴∠BDE=∠AFE ，
在△AEF 和△BED 中，
FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴AF BD =； 故③正确；
∵△ADE ≌△BCE ，
∴,DE CE =
△AEF ≌△BED ，
,,AEF BED EF DE S
S ∴== ,EF CE ∴=
∴,AEF ACE S S =
∴ ,BDE ACE S S 故④正确；
综上：正确的有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；
②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 7．C
解析：C
【分析】
根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【详解】
解：点A （3，2）关于y 轴对称点的坐标为B （−3，2）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．C
解析：C
【分析】
延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．
【详解】
解：延长BD 与AC 交于点E ，
∵∠A=∠ABD ，
∴BE=AE ，
∵BD ⊥CD ，
∴BE ⊥CD ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCD=∠ECD ，
∴∠EBC=∠BEC ，
∴△BEC 为等腰三角形，
∴BC=CE ，
∵BE ⊥CD ，
∴2BD=BE ，
∵AC=6，BC=4，
∴CE=4，
∴AE=AC-EC=6-4=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
9．C
解析：C
【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．
【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称
∴2a =，3b =-
∴()
()20182018231a b +=-= 故选：C ． 【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
10．B
解析：B
【分析】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形
的面积相等；
【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
11．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形
的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45
BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ，
AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确；
90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，
45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=
1(180)312
ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．
【详解】
在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，
∴AB=CB ，∠A=∠C=
1(180)312
ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，
∴AE=BE ，
∴∠ABE=31A ∠=︒，
同理：31QBC C ∠=∠=︒，
∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，
故选：C ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
--
解析：(2,2017)
【分析】
按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)
1=2，P1（0，2），
完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-
1=1，P2（-2，1），
完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），
完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
14．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的
解析：25°
【分析】
∠=∠，则BEG是等腰三角形，由顶角的度由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB
∠的度数，即可得出结果．
数算出底角EGB
【详解】
解：∵BD 平分ABC ∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∵//EF BC ，
∴CBG EGB ∠=∠，
∴EBG EGB ∠=∠，
∴BEG 是等腰三角形，
∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠=
=︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．
故答案是：25︒．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 15．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP1时②当AB ＝AP3时③当AB ＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C ＝9
解析：72°或18°或108°或36°
【分析】
分四种情况：①AB ＝BP 1时，②当AB ＝AP 3时，③当AB ＝AP 2时，④当AP 4＝BP 4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
【详解】
∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝36°，
∴当AB ＝BP 1时，∠BAP 1＝∠BP 1A ＝36°，
当AB ＝AP 3时，∠ABP 3＝∠AP 3B ＝
12∠BAC ＝12×36°＝18°， 当AB ＝AP 4时，∠ABP 4＝∠AP 4B ＝12
×（180°−36°）＝72°， 当AP 2＝BP 2时，∠BAP 2＝∠ABP 2，
∴∠AP 2B ＝180°−36°×2＝108°，
∴∠APB 的度数为：18°、36°、72°、108°．
故答案为：72°或18°或108°或36°
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．
16．6【分析】作BH ⊥AC 垂足为H 交AD 于M′点过M′点作M′N′⊥AB 垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD 是∠BAC 的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解
解析：6
【分析】
作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB ，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
解：如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB ，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短），
∵AB=2∠BAC=45°，
∴BH=AH
∴222AH BH AB +=
∴BH=6．
∵BM+MN 的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=B H=6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
17．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O 依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O ＝α∴∠A2B2Oα同理
∠A3B3O ∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα 解析：
512
α． 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．
【详解】
解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，
∴∠A 2B 2O 12
=α， 同理∠A 3B 3O 12=
∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 3
12=α， ∴∠A n B n O 112n -=
α， ∴∠A 10B 10O 95221αα=
=． 故答案为：
512
α． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
18．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时
解析：10
【分析】
因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
当5cm 为底时，其它两边都为10cm ，
5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形；
当5cm 为腰时，其它两边为5cm 和10cm ，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ，所以第三边是10cm ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 19．（答案不唯一符合题意即可）8【分析】分别以AB 为圆心AB 为半径作圆弧寻找在圆弧上的格点即可【详解】①如图以A 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点有5个；②如图以B 为圆心AB 为半径作圆弧符合题意的格点 解析：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可） 8
【分析】
分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．
【详解】
①如图，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；
②如图，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；
③如图，在AB 的垂直平分线上时，无符合题意的格点；
综上，符合题意的格点共有8个，
故答案为：()2,2--（答案不唯一，符合题意即可）；8．
【点睛】
本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．
20．4或14秒【分析】由于动点P 从点A 出发沿的方向运动所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时设P 点运动了t 秒用含t 的代数式分别表示BPAP 根据条件过DP 两点的直线将的周长分成两部分使其中一部分是另
解析：4或14秒．
【分析】
由于动点P 从点A 出发，沿A B C --的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时，设P 点运动了t 秒，用含t 的代数式分别表示BP ，AP ，根据条件过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t 的值；
（2）P 点在BC 上时，同理，可解得t 的值．
【详解】
解：分两种情况：
（1）P 点在AB 上时，如图，
∵12 cm AB AC ==，1 6 cm 2AD CD AC ==
=， 设P 点运动了t 秒，则AP t =，12BP t =-，由题意得： ()12AP AD BP BC CD +=
++或()12AP AD BP BC CD +=++， ∴()1612662t t +=-++①或1(6)12662
t t +=-++②， 解①得4t =秒，解②得，14t =（舍去）；
（2）P 点在BC 上时，如图，P 点运动了t 秒，
则AB BP t +=，18PC AB BC t t =+-=-，
由题意得：()2AD AB BP PC CD ++=+或()2AD AB BP PC CD ++=+， ∴()62186t t +=-+①或()26186t t +=-+②
解①得14t =秒，解②得，4t =秒（舍去）．
故当4t =或14秒时，过D 、P 两点的直线将ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
故答案为4或14秒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）PE ＝2
【分析】
（1）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），即可得到∠ACE ＝∠CBF ；
（2）利用由（1）知∠ACE ＝∠CBF ，求出∠BPE ＝60°，又EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，得到∠GEP ＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【详解】
（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ＝60°，AB ＝AC ，
在△ACE 与△BCF 中，
AC ＝BC ，∠A ＝∠BCF ，AE ＝CF ，
∴△ACE ≌△CBF （SAS ），
∴∠ACE ＝∠CBF ；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE ＝∠CBF ，
又∠ACE ＋∠PCB ＝∠ACB ＝60°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°，
∴∠BPE ＝60°，
∵EG ⊥BF ，即∠PGE ＝90°，
∴∠GEP ＝30°，
∴在Rt △PGE 中，PE ＝2PG ，
∵PG ＝1，
∴PE ＝2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE ≌△CBF ．
22．30∠=︒CDE .
【分析】
根据等腰三角形的性质，求得DAE ∠，利用ADE AED ∠=∠，确定AED ∠的度数，在三角形DEC 中，利用三角形外角性质计算即可.
【详解】
∵50B C ∠=∠=︒，
∴18080BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵60BAD ∠=︒，
∴20DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒， ∴18020802
ADE AED ︒-︒∠=∠==︒． ∵AED CDE C ∠=∠+∠，
∴805030CDE AED C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的顶角计算，底角的计算，熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是解题的关键.
23．（1）见解析，（2）见解析，
【分析】
（1）根据轴对称的性质，分别画出A 、B 、C 三点的对称点，顺次连接即可；
（2）作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆如图所示；
（2）如图，作AB 的垂直平分线，交x 轴于点P ；
．
【点睛】
本题考查了轴对称变换和垂直平分线的性质的应用，依据知识准确画图是解题关键． 24．（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据轴对称的性质解答；
（2）根据轴对称的性质作图；
（3）利用割补法求解．
【详解】
（1）根据坐标系知点C 坐标为（-2,5），
∴点C 关于x 对称的点的坐标（-2，-5），
故答案为：-2，-5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）
111
7537225510
222
ABC
S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，
故答案为：10．
【点睛】
此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
25．（1）作图见解析；（2）（4，4）
【分析】
（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；
（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．
【详解】
（1）如图，点P为所作；
（2）P点坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．（1）3，−3，1，−1，4，1；（2）见详解；（3）5
【分析】
（1）由关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得到答案；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】
（1）∵点A（3，3），B（1，1），C（4，−1）．
∴点A关于x轴的对称点A1（3，−3），B关于x轴的对称点B1（1，−1），C关于x轴的对称点C1（4，1），
故答案为：3，−3，1，−1，4，1；
（2）如图所示，即为所求；
（3）△ABC的面积为：3×4−1
2
×2×2−
1
2
×2×3−
1
2
×1×4＝5．
【点睛】
本题主要考查作图−轴对称变换和点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．。