江苏省苏州市张家港乐余高级中学2021-2022学年高一数学文联考试题含解析

江苏省苏州市张家港乐余高级中学2021-2022学年高一数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩（?R B）=（）
A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜1}
参考答案：
B
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，全集R，
∴?R B={x|x≤﹣1或x≥1}，
则A∩（?R B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
2. 若正数x、y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A. B. C. 5 D. 6
参考答案：
C
【详解】由已知可得，则
，所以的最小值5，应选答案C。

3. 函数y=的定义域为M，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}
参考答案：
C
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
专题：计算题．
分析：如图所示阴影部分所表示的集合为：C U M∩N，由函数y=的定义域为M，知M={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，再由N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|1＜x＜3}，能求出如图所示阴影部分所表示的集合．
解答：解：∵函数y=的定义域为M，
∴M={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，
N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜3}，
∴如图所示阴影部分所表示的集合为：
C U M∩N={x|﹣2≤x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|x|1＜x≤2}．
故选C．
点评：本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意Venn图的灵活运用．
4. 已知向量，则=
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 在区间上为增函数的是: （）
A． B. C. D.
参考答案：
D
略
6. 在等差数列{a n}中，，则（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
参考答案：
B
【分析】
利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.
【详解】由等差中项的性质可得，
由于，即，即，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.
7. 的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
.
故选：B
8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．16 B．4C．48 D．32
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体是四棱锥，根据图中数据计算体积．
【解答】解：由三视图得到几何体为四棱锥如图：体积为：=16；
故选A．
9. 若实数x，y满足，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】设过原点的右半个圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，
求得k的值，可得的取值范围．
【解答】解：由题意可得，表示右半个圆x2+y2=1上的点（x，y）与原点（0，﹣2）连线的斜率，
设k=，故此圆的切线方程为y=kx﹣2，
再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，可得r==1，
平方得k2=3
求得k=±，故的取值范围是[，+∞），
故选：D．
10. 已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在矩形ABCD内随机取一点，取到的点O的距离大于1的概率为（）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数 f(x)的定义域为 A ，若当
，则称 f(x)为
单值函数。

例如，函数f(x) ＝2x +（1 x R ）是单值函数。

给出下列命题： ① 函数f(x)是单值函数； ② 函数f(x)
是单值函数；
③ 若f(x)为单值函数，
；
④ 函数f(x) ＝ 是单值函数。

其中的真命题是 。

（写出所有真命题的编号） 参考答案：
②③
12. 函数f (x )=，则
= ▲
．
参考答案：
4
13. 若集合，则集合的关系是
_________ .
参考答案：
略
14. 某同学在借助计算器求“方程lgx=2﹣x 的近似解（精确到0.1）”时，设f （x ）=lgx+x ﹣2，算得f （1）＜0，f （2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正
负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8．那么他所取的x 的4个值中最后一个值是 ．
参考答案：
1.8125
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区
间即可．
【解答】解：根据“二分法”的定义，最初确定的区间是（1，2），又方程的近似解是x≈1.8， 故后4个区间分别是（1.5，2），（1.75，2），（ 1.75，1.875），（1.75，1.8125）， 故它取的4个值分别为 1.5，1.75，1.875，1.8125，最后一个值是1.8125． 故答案为：1.8125．
【点评】本题考查了二分法的定义，以及利用二分法求方程的近似解的问题，是基础题．
15. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把
个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则
最小的份为 .
参考答案：
16. 在△ABC 中，角
的对边分别为
，若
，
，
，则
．
参考答案：
17. 对于以下4个说法：①若函数在上单调递减，则实数
；
②若函数
是偶函数，则实数
；③若函数
在区间上有最大值9，最小值，则；
④的图象关于点对称。

其中正确的序号有
▲。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知圆：，直线经过点，
（1）求以线段为直径的圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，求直线的方程．
参考答案：
（1）将圆的方程配方得标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为. …………2分所以的中点，可得
，
，得圆的方程为
；…………6分（2）设直线的方程为：
，…………7分，且为等腰直角三角形，
，…………8分
因此圆心到直线的距离
…………9分解之得或，所求直线的方程为：或.
…………12分19. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．
参考答案：
∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)；
f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝
ax2－(2＋4a)x＋3a，①
由方程f(x)＋6a＝0，得
ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，②
∵方程②有两个相等的实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－，
又a<0，故舍去a＝1.将a＝－代入①得，
f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－．
20. （12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
（3）求函数在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）．
参考答案：
考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）当a=﹣1时，根据函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，利用二次函数的性质求得函数f（x）取得最值．
（2）由于函数f（x）对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，由此求得a的范围．
（3）分当﹣a≤﹣5、当﹣5≤﹣a≤5时、当﹣a≥5时三种情况，分别利用二次函数的性质求得g （a）．
解答：（1）当a=﹣1时，∵函数f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣5，5]，
故当x=1时，函数f（x）取得最小值为1，当x=﹣5时，函数f（x）取得最大值为 37．
（2）由于函数f（x）=x2+2ax+2的对称轴为 x=﹣a，要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，
应有﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，解得a≥5，或a≤﹣5，即a的范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．
（3）由于函数在区间[﹣5，5]上的最小值为g（a），
故当﹣a≤﹣5，即a≥5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调增函数，故最小值g（a）=f（﹣5）=27﹣10a．
故当﹣5≤﹣a≤5，即5≥a≥﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值g（a）=f（﹣a）=2﹣a2．
故当﹣a≥5，即a≤﹣5时，函数f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数，故最小值g（a）=f（5）=27+10a．
综上可得，当a≥5时，g（a）=f（﹣5）=27﹣10a；当5≥a≥﹣5时，g（a）=f（﹣a）=2﹣a2；当a≤﹣5时，g（a）=f（5）=27+10a．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21. 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点O？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
解：法一：假设存在且令l为y＝x＋m. 圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)，
则AB中点N是两直线x－y＋m＝0与y＋2＝－(x－1)的交点，即N(－，)．以AB为直径的圆过原点，|AN|＝|ON|.
又CN⊥AB，|CN|＝，
所以|AN|＝＝.
又|ON|＝，
由|AN|＝|ON|，得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
法二：假设存在，令y＝x＋m，
由
消去y，得2x2＋(2m＋2)x＋m2＋4m－4＝0.①
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，k OA·k OB＝·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.
由方程①，得x1＋x2＝－m－1，x1x2＝.②
y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，
所以x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
把②代入，m2＋3m－4＝0.解得m＝1或m＝－4.
将m＝1和m＝－4分别代入方程①，检验得Δ>0，
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
略
22. 已知向量，且 A为锐角（1）、求角 A的大小
（2）、求函数的值域参考答案：
解析：（1）、由得
，又A为锐角，
（2）、由（1）知：
当时，有最大值
当时，有最小值。

的值域是。