【数学】抛物线

抛物线
一 定义和性质
1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
2．抛物线标准方程的四种形式：
图 形 标准方程
焦点坐标 准线方
程
px
y 22=(p
＞0)
)0,2
(p
2
p x -
=
px
y 22-=(p ＞0)
)0,2
(p -
2
p x =
py
x 22=(p ＞0)
)2
,0(p
2
p y -
=
py
x 22-=(p ＞0)
)
2
,0(p -
2
p y =
3．性质： （1）
的几何意义p ：定点F 到定直线l
的距离记为P ；
（2）范围、顶点坐标、对称轴、焦点、离心率、准线、焦半径等。

4．抛物线焦点弦的性质：设直线过焦点F 与抛物线
()022
>=p px
y 相交于A
（x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则：
（1）4
2
21p x x =；
（2）2
21p y y -=； （3）通径长为2p ； （4）焦半径公式
|AF|=2
0p
x +
（5）焦点弦长|AB|=x1+x2+p 。

二应用
类型一．抛物线的定义的应用
例1（1）．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程
***一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的一半，求这个动点的轨迹方程。

（2）．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

（3）．在抛物线y2=2x上求一点P，使P到
焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.
（4）．设PQ为过抛物线的焦点F的弦，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）
A．相交B．相切
C．相离D．以上答案均有可能
类型二。

求抛物线标准方程
例1．试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程。

（1）过点P（-3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4＝0
例2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴，其通径的两个端点与顶点的连线组成的三角形的面积是4，求抛物线的标准方程
“定量”和“定位”
(1) “定位”是指判断焦点在哪条坐标轴的哪条半轴上
（2）“定量”要求出抛物线的标准方程，就要求出P
类型三．抛物线的性质的应用 例1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5，25)到焦点距离是6，则抛物线的方程是
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x
例2、已知抛物线
()022
>=p px
y ，
过动点M （a ，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A 、B ，
p AB 2≤。

（1）求a 的取值范围； （2） 若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 的面积的最大值。

例
3、直线x y 21
=与抛物线4812-=x y 交于
A 、
B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5
-=y
交于点Q 。

（1）求点Q 的坐标； （2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含点A 、B ）的动点时，求△PQO 面积的最大值。

类型四．抛物线焦点弦的性质的应用： 设直线过焦点F 与抛物线
()022
>=p px
y 相交于A （x 1
,y 1
）,B
（x 2,y 2）两点，则：
（1）4
2
21p x x =；
（2）2
21p y y -=； （3）通径长为2p ； （4）焦半径公式
|AF|=2
0p
x +
（5）焦点弦长|AB|=x 1+x 2+p 。

例1、斜率为1的直线经过抛物线y 2
=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段
AB 的长。

解：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0），所以直线AB 的方程为y=x －1. ①
将方程①代入抛物线方程y 2=4x,得 （x －1）2=4x 化简得x 2－6x ＋1=0 设两交点坐标为A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2), 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x 1＋x 2＋2=. 6+2=8.
例2．已知过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则
m 1+n 1
= .
例3．抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ．
求证：(1)A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；(2)FN ⊥AB(F 为抛物线的焦点)．
证明：(1)设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、
中点M(x 0，y 0)，焦点F 的坐标是(2p
，0)．
由
⎪⎩⎪⎨
⎧
=-=px
y p x k y 2)
2(2得ky 2－2py －kp 2＝0．
∴A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、
N ，∴C(－2p ，y 1)、D(－2p ，y 2)、N(－2p
，y 0)．
∵2,222
1
21111p y k y p
p
y y x y k
OD OA
-====
，
由ky 2－2py －kp 2＝0 得y 1y 2＝
k
kp 2
-＝－p 2，
∴k OA ＝k OD ，∴A 、O 、D 三点共线． 同理可证B 、O 、C 三点共线． (2)k FN ＝p y -0
，当x 1＝x 2时，显然FN ⊥AB ；
当x 1≠x 2时， k AB ＝)(212
122121212
y y p
y y x x
y y
--=--0
212y p
y y p =+=，
∴k FN ·k AB ＝－1．∴FN ⊥AB 综上所述知FN ⊥AB 成立．
评注：注意“设而不求”方法在解题中的应用
例4．过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴
的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：｜AB ｜＝2｜NF ｜．
证明：设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2．
两式相减并整理得2
12
1
2
12y y p x
x y
y
+=
--．
∵M 是AB 的中点，
∴0
02
1
2
122y p
y p x
x y y
==
--．
∵MN ⊥AB ，∴k MN ＝－p y 0
．
∴直线MN 的方程为y －y 0＝－p
y 0
(x －x 0)，
令y ＝0得N 点的横坐标x N ＝x 0＋p ． ∴2
2||0p x p x
NF N
+=-
=．
又｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝x 1＋x 2＋p
p)．＝2(x0＋
2
∴｜AB｜＝2｜NF｜．。