高一数学人教A版必修1章末测试：第二章基本初等函数(B)

第二章测评B (高考体验卷)
(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2log
3log
( ) A ．0
B ．1
C ．6
D ．log 6
23
2．函数f (x )
( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y
B ．y ＝3x
C ．y ＝lg|x |
D ．y ＝x 13
4．已知函数f (x )＝230log 0x x x x ⎧≤⎨>⎩，，，，
那么f 18f ⎛
⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的值为( ) A ．27
B.
127
C ．－27
D ．－
127
5．设f (x )＝5log 61321x x x x ≥⎧⎨<⎩＋，，
－，，
则f (f (－1))的值为( )
A ．7
B ．5
C ．6
D ．－1
6．已知a ＝212，b ＝12⎛⎫
⎪⎝⎭
－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a
7．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )
8．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于()
A．lg 0.5
0.92
B．lg
0.92
0.5
C.
lg0.5
lg0.92
D.
lg0.92
lg0.5
9．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是()
A.
1
,1
10
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.
1
0,
10
⎛⎫
⎪
⎝⎭
∪(1，＋∞) C.
1
,10
10
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．(0,1)∪(1，＋∞)
10．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log
2
3)
＝()
A.1
24
B.
1
12
C.
1
8
D.
3
8
第Ⅱ卷(非选择题共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)＝
1
2
log1
21
x
x x
x
≥
⎧
⎪
⎨
⎪<
⎩
，，
，
的值域为__________．
12．方程
3
31
x-
＋
1
3
＝3x－1的实数解为______．
13．设函数f (x )
＝0,1,0,2x x x ≥⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩则f (f (－4))＝______.
14．设a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，且函数g (x )＝12a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
x 3在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．
15．定义在R 上的函数f (x )＝lg 010x x x ⎧≠⎪⎨
⎪⎩，，
，＝，
关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同
的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__________.
三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(6分)(1)(2013～2014江西南昌高一期中)计算1000081⎛⎫
⎪
⎝⎭
14
－0738⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
－
1·11
2
3
0.25381
38-
--⎡⎤
⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的值． (2)已知幂函数f (x )的图象过点(16,4)，若函数y ＝log a f (x )在[9,25]上的最大值比最小值大1，求实数a 的值．
17．(6分)(2013～2014天津南开区高一期中)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)．
(1)求函数f (x )＋g (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．
18．(6分)(2013～2014浙江温州高一期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋2，x >1，x 2
，－1≤x ≤1，
x ＋2，x <－1.
(1)求f 52f ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值； (2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；
(3)若方程f (x )＝m 有四个根，求实数m 的取值范围，并求出这四个根的和．
19．(7分)(2013～2014辽宁实验中学高一期中)已知函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足
f(－1)＝－2，且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立．
(1)求实数a，b的值；
(2)不等式f(x)≥4m－15恒成立，求m的取值范围．
参考答案
1. 解析：要使函数有意义，则010x x ≥⎧⎨>⎩，
－，
解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．故选
B.
答案：B
2. 解析：由题知2
20log (2)0x x >⎧⎨
≠⎩－，
－，
解得221x x >⎧⎨
≠⎩，－，即23.
x x >⎧⎨≠⎩，
所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)， 故选C. 答案：C
3. 解析：根据指数与对数的运算法则可知， 2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，故A 错，B 错，C 错； D 中，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，故选D. 答案：D
4. 解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg lg b a ·lg lg a
c
＝log c b ， 所以B 正确． 答案：B
5. 解析：∵函数y ＝x 1
3
是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D. 当x >1,0<a <1时，y ＝xa 在直线y ＝x 下方，排除C ，选B. 答案：B
6. 解析：由f (0)＝0可知函数图象经过原点． 又f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称， 故选A. 答案：A
7. 解析：根据公式变形，a ＝
63lg lg ＝1＋lg2lg3，b ＝lg10lg5＝1＋lg2lg5，c ＝lg14lg7＝1＋lg2
lg7
，因为lg 7>lg 5>lg 3，所以
lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3
，即c <b <a .故选D. 答案：D
8. 解析：因为log 12
a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12
a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，
原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．
又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1， 解得
1
2
≤a ≤2，故选C. 答案：C
9. 解析：由－3≤2x －1≤3得，－1≤x ≤2； 要使函数y ＝lg(x －1)有意义，应令x －1>0， ∴x >1.∴集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D
10. 解析：由已知，得2
1212x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，
，
∴1≤x
. ∴log 2x ∈10,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
∴y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x .∴y ∈114,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 答案：B
11. 解析：当x ≥1时，log 12
x ≤log 12
1，即log 12
x ≤0，当x <1时，0<2x <21，即0<2x <2；
故f (x )的值域为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
12.解析：原方程整理后变为32x－2·3x－8＝0⇒3x＝4⇒x＝log34. 答案：log34
13.解析：∵f(－4)＝
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)
4.
答案：4
14.解析：∵f(x)＝a x在R上是减函数，∴0<a<1.
又g(x)＝
1
2
a
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
x3在R上是增函数，
∴1
2
－a>0，a<
1
2
.∴0<a<
1
2
.
答案：
1 0,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
15.解析：函数f(x)的图象如图．
方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0. 由lg|x|＝1知另两根为－10和10，
∴x1＋x2＋x3＝0.
答案：0
16.解：(1)原式＝
1
44
10
3
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
－(3×1)－1·
1
12
1
3
44
27
(3)
8
-
-
-
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
+ ⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
＝10
3
－
1
3
×
1
12
33
13
32
-
-
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎫
+⎢⎥
⎨⎬
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
＝10
3
－
1
3
×
1
2
12
33
-
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝10
3
－
1
3
×1＝
10
3
－
1
3
＝3.
(2)设f(x)＝xα，由f(16)＝4，得α＝1
2
，
∴f(x)
.
∵x∈[9,25]，∴f(x)∈[3,5]．
当0<a<1时，由log a3－log a5＝1，得log a 3
5
＝1，即a＝
3
5
符合题意；
当a>1时，由log a5－log a3＝1，得log a 5
3
＝1，即a＝
5
3
也符合题意．
故实数a的值是3
5
或
5
3
.
17.解：(1)由
10
10
x
x
>
⎧
⎨
>
⎩
＋，
－，
解得－1<x<1，
∴函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＋g(－x)＝log a(1－x)＋log a(1＋x)＝g(x)＋f(x)，∴函数f(x)＋g(x)为偶函数．
(3)由f(x)＋g(x)<0，得
log a(x＋1)＋log a(1－x)＝log a[(x＋1)(1－x)]<0.
当a>1时，由log a[(x＋1)(1－x)]<0，
得(x＋1)(1－x)<1，即x2>0，∴x≠0.
又∵x∈(－1,1)，
∴使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合是{x|－1<x<0，或0<x<1}；
当0<a<1时，由log a[(x＋1)(1－x)]<0，得(x＋1)(1－x)>1，
即x2<0，∴使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合是∅.
综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|－1<x<0，或0<x<1}；当0<a<1时，不等式
的解集为∅.
18.解：(1)f
5
2
f
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
＝f
1
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
＝
1
4
.
(2)图象如图，由图象得f(x)的值域是(－∞，1]，单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
(3)因为方程f(x)＝m有四个根，所以根据图象可得实数m的取值范围是0<m<1，
由图象判断f(x)是偶函数，所以这四个根的和是0.
19.解：(1)由f(－1)＝－2，知lg b－lg a＋1＝0，①
∴a
b
＝10.②
又∵f(x)≥2x恒成立，∴x2＋x·lg a＋lg b≥0恒成立，故Δ＝(lg a)2－4lg b≤0.
将①式代入上式得(lg b)2－2lg b＋1≤0，
即(lg b－1)2≤0，故lg b＝1.
解得b＝10，代入②得a＝100.
(2)要使f(x)≥4m－15恒成立，只需4m－15≤f(x)min，由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3≥－3，
∴4m－15≤－3，解得m≤3.。