2019_2020学年高中数学课时分层作业13(含解析)苏教版

课时分层作业(十三)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 D [∵sin 2>0，cos 2<0，

∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.]

2．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )

A ．a ≠2或a ≠1

B ．a ≠2，且a ≠1

C ．a ＝0

D ．a ＝2或a ＝0 D [由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D.]

3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →

对应的复数为( )

A ．－2－i

B ．－2＋i

C ．1＋2i

D ．－1＋2i B [因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB →

对应的复数为－2＋i.]

4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是

3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )

A ．2＋4i

B ．－2＋4i

C ．－4＋2i

D ．4－2i D [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，即CD →对应的复数为4－2i.

故选D.]

5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)

2

＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z

－2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2

表示圆上的点与定点(2,2)的距离，

数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]

二、填空题

6．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________．

2＋4i [∵复数6＋5i ，－2＋3i 对应点分别为A ，B ，

∴点A (6,5)，B (－2,3)．

∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.]

7．设复数z ＝－1－i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 10 [z ＝－1＋i ，则|(1－z )·z |＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝10.]

8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z |＝3， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．]

三、解答题

9．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，w ＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝z ＋2i ，且|z －w |＝5，求角α的值．

[解] 由题意知1＋a i ＝1＋(2－a )i ，

则a ＝2－a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.

由|z －w |＝5得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，

整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－22， ∵0<α<2π，∴π4<α＋π4<94

π， ∴α＋π4＝5π4或α＋π4＝7π4，∴α＝π或α＝3π2

. 10．已知复数z 满足(z －2)i ＝a ＋i(a ∈R )．

(1)求复数z ；

(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限．

[解] (1)由(z －2)i ＝a ＋i ，

得z －2＝a ＋i

i

＝1－a i ，∴z ＝3－a i. (2)由(1)得z 2＝9－a 2－6a i ，

∵复数z 2

对应的点在第一象限，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9－a 2>0，－6a >0，解得－3<a <0.

故当a ∈(－3,0)时，z 2对应的点在第一象限．

[能力提升练]

1．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1,2i,5＋2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是 ( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

A [|A

B |＝|2i －1|＝5，|A

C |＝|4＋2i|＝20，|BC |＝5，∴|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.故选

A. ]

2．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )

A ．0

B ．1 C.22 D.12

C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22

.] 3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对

应的复数为________．

4－4i [由OB →＝OA →＋AB →，知

OB →对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i ，

又BC →＝OC →－OB →，

∴BC →对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.]

4．在复平面内，复数z ＝i 1－i

＋i 2 014表示的点所在的象限是________． 第二象限 [z ＝i 1－i ＋i 2 014＝i －12＋i 2＝－32＋12i ，对应点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，12，故在第二象限．]

5．已知O 为坐标原点，O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →

2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若O Z →1与O Z →2共线，求a 的值．

[解] 因为O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i ，所以O Z →

1＝(－3,4)，