高考数学复习点拨 复数知识考点例析.doc

复数知识考点例析
考点一：复数的有关概念
高考中常以选择题、填空题的形式出现，试题难度不大，且有相当数量的基础题源于课本，即便是综合题也是基础知识的组合、加工和发展.
例1 已知x y ，为共轭复数，且2()346x y xyi i +-=-，求x y ，．
分析：解决该类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实．
解：设()x a bi a b =+∈R ，，则y a bi =-，
222(2)3()46a a b i i -+=-∴，
222443()6a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，．
∴ 解得11a b =⎧⎨=⎩，，或11a b =⎧⎨=-⎩，，或11a b =-⎧⎨=⎩，，或11a b =-⎧⎨=-⎩
，． 故所求复数为11x i y i =+⎧⎨=-⎩，，或11x i y i =-⎧⎨=+⎩，，或11x i y i =-+⎧⎨=--⎩，，或11x i y i =--⎧⎨=-+⎩
，．
例2 设12
a ≥，x ai =，1z x x i =-+-，分别求满足下列条件的实数a ． （1）z 为实数；
（2）z 为虚数；
（3）z 为纯虚数；
（4）z 为复平面内对应的点位于第二象限．
解：由已知有1x a +，
(1)z a a i +-∴．
（1）当10a -=，即1a =时，z 为实数；
（2）当10a -≠，即12
a ≥且1a ≠时，z 为虚数；
（30a =且10a -≠，即1a =z 为纯虚数；
（40a <且10a ->，即1a >z 在复平面内对应的点位于第二象限． 点评：复数的概念是本章的灵魂，深刻理解复数的概念是掌握复数解题中常用的化虚为实的思路的基础.
考点二：复数的运算
主要考查复数与函数、方程、数列、几何等知识的综合应用，常以选择题、填空题的形式出现.
例3 设()z x yi x y =+∈R ，，若(1)(2)i z z i --为实数，试求复数z 对应的点Z 的轨迹． 分析：将z x yi =+代入(1)(2)i z z i --整理，由其为实数，虚部必为0，由此可得到关于x y ，的等式，即为所求轨迹方程．
解：z x yi =+∵，
(1)(1)()()()(2)[()2](2)i z i x yi x y x y i z i x yi i y x i --+-++-==-+--+-∴ 22()[()()][(2)](2)(2)x ty x y i x y x y i y x i y x i y x +--+--+-=
=--+-． (1)(2)i z z i
--∵为实数， ∴上式中的虚部为零（即分子的虚部为零）
，即22220x y x y +--=． 22(1)(1)2x y -+-=∴．
故z 对应的点的轨迹是以(11)，
例4 复数3
12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值是（ ） Ａ．i - Ｂ．i Ｃ．1- Ｄ．1
解：令12ω=-，故12ω=-， 3
331()12ωω⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭∴． 故选Ｃ．
点评：凡是一个复数的实部与虚部之比是或ω，ω的性质简化运算．如此题中的ω具有以下性质31n ω=，31n ωω+=，322()n n ωω+=∈Z ．。