特殊平行四边形拔高题含答案

第II 卷（非选择题）

一、解答题（题型注释）

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E ，交y 轴于F ，且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0，228c b b =-+-+

（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；

（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t 秒，问是否存在t 的值，使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；

点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外），PM ⊥PO ，交直线AB 于M ，求PC BM

的值

2．如图，矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=3，OC=2，P 是BC 边上一点且不与B 重合，连结AP ，过点P 作∠CPD=∠APB ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ．

（1）若△APD 为等腰直角三角形，求点P 的坐标；

（2）若以A ，P ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE 的解析式．

3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合，联结DF ，点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，联结MA ，MN ．

（1）如图1，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 上，请判断MA ，MN 的数量关系和位置关系，直接

写出结论；

（2）如图2，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

B F

N

M

E C

D

A

F C

B

E

M

N

A D 图1 图2

4．如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，

E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．

（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；

（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

5．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

6．阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对

角线PQ的最小值及此时AP

AC

的值是多少．

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：

（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，AP

AC

=；

（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小

值为，此时AP

AC

=；

（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，

那么对角线PQ的最小值为，此时AP

AC

=．

7．在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．

（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．

①求证：△ABP≌△ACE．

②∠ECM的度数为°．

（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．

②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．

（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

8．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，

H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处。

（1）求证：四边形OECH是平行四边形；

（2）当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；

（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标。

9．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题．

习题解答：

习题如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．

∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF，

又∵AE′=AE，AF=AF

∴△AE′F≌△AEF（SAS）

∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

习题研究

观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；

③∠B=∠D=90°；④∠EAF=1

2

∠BAD．

类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗？

研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠E AF=60°时，还有EF=BE+DF吗？

（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=1

2

∠BAD时，EF=BE+DF吗？

归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题：在四边形ABCD 中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF ．

10．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE