广东省汕头金山中学高一数学下学期期中考试数学试题 文

高一（文科）数学期中考试
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数()3g x x =
+的定义域为 （ ）
A ．{3
x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}
2．已知函数),1(log )(2+=x x f 若()1,f α= α=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 （ ） A ．^
10200y x =-+ B ．^
10200y x =+ C ．^
10200y x =-- D ．^
10200y x =-
4．一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为 （ ） A ．4 B ．12 C ．5 D ．8
5．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x
++=22)(（b 是常数），则=-)1(f （ ） A. 1 B. 1- C.3 D.3-
6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 （ ）
A ．91.5和91.5
B ．91.5和92
C ．91和91.5
D ．92和92 7. )6
11sin(π
-
= （ ） A.2
1
- B.21 C.23 D.23-
8．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面
截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如果执行右图的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于
（ ）
A ．720 B.360 C. 240 D ．120
10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价 格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交
易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示
y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题：本大题共5小题．每小题5分，满分25分.
11．小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字8,6,4,2按一定顺序构成(数字不能重复)，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，则随机输入由8,6,4,2组成的一个四位数，不能打开锁的概率是_____
12．若圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧， 且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是 ． 13．定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的 任何一个实数的随机数函数.如CONRND(-1,1)是随机产 生区间（-1，1）内的任何一个数，如图所示的程序框图 可用来估计π的值.现在N 输入的值为1200,结果m 的输 值为257,则由此可估计π的近似值为 .（保留四位有效数字）
14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解 某品牌羽绒服的月销售量y （件）与月平均气温()x C 之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平 均气温，数据如下表： 由表中数据算出线性回归方程.气象部门预测下个月的平均气温约为6C ，据此估计，
该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 .
参考公式：线性回归系数12
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-=
=--∑∑，ˆy
bx a =+。

15．在区间]4,4[-内任取一实数x ，其满足x x >+2的概率是_________.
三．解答题
)C （件）
第13题图
16. 已知圆M 过两点A (1，0)，B (－1,2)，且圆心M 在2x －y －2＝0上。

（1）求圆M 的方程；
（2）若直线2x+y-5=0与圆M 交于C 、D 两点，求△MCD 的面积S △MCD 。

17. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；
（3）从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。

18. 如图4，
是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为
的中点，点B 和点C 为线段
AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB =5a .
（1）证明：EB FD ⊥；
（2）求点B 到平面FED 的距离.
19. 投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标。

（1）求点P 落在区域C ：2
2
10x y +≤内的概率；
（2）若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒
豆子，求豆子落在区域M 上的概率。

20．已知圆C 的方程为:1)4(2
2
=-+y x ,直线l 的方程为02=-y x ，点P 在直线l 上，过点
P 作圆C 的切线PB PA ,，切点为B A ,。

（1）若
60=∠APB ，求点P 的坐标。

（2）若点P 的坐标为)2,1(，过点P 的直线与圆C 交于N M ,两点，当2=MN 时，求直
线MN 的方程。

（3）求证：经过C P A ,,三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标。

21．已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且
1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式求函数()g x 的单调区间； (2) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.
高一（文科）数学期中考试 答题卷
_________班_________号 姓名_____________分数__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
二．填空题：本大题共5小题．每小题5分，满分25分.
11._________________; 12.___________________________;
13.__________; 14.____________; 15.___________. 三．解答题
16．（本小题10分）
17.（本小题12分）
18.（本小题13分）
19.（本小题12分）
20.（本小题14分）
21.（本小题14分）
高一（文科）数学期中考试 ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █
▇ ▅ ▃ ▁
ABADD ABBBC
10．C 解 析：本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际
的能力.刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B 、D 均错误.答 案：C 11．
2423；12．22
(2)2x y ++=．〖解 析〗设圆心为(,0)(0)a a <，则22|20|211
a r +⨯==+，
解得2a =-．13．3.143；14．46；15．
2
1
16．解：（1）求出AB 的垂直平分线x-y+1=0。

（2分）联立方程组可得圆心坐标（3,4）。

（1分）利用两点距离公式可得圆M 的半径为。

（1分）所以圆M 的方程为。

（1分）（共5分）
（2）利用圆心到直线的距离公式求出弦心距为。

（2分）利用勾股定理求出弦长CD 为2。

（2分）最后求出三角形△MCD 的面积为。

（1分）（共5分） 17. 解：（1）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。

（2）有统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率故有f 估计该校学生身高在
170~180cm 之间的概率p=0.5。

（3）样本中身高在180~185cm 之间的男生有4人，设其编号为
样本中身高在185~190cm 之间的男生有2人，设其编号为
故从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15（列举），求至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果数为9（列举），因此，所求概率
18．（13分）（1）证明： 点E 为弧AC 的中点
19．解：
（1）以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有（0，0）、（0，2）、 （0,4）、（2，0）、（2，2）、（2，4）、（4，0）、（4，2）、（4，4） 9个，而这些点中，落在域C 内的点有：（0，0）、（0，2）、 （2，0）（4，2）（4，4）4个，∴所求概率为P=4
9
； （2）区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为42
105P ππ
=
=。

12分
20．解：（1）由条件2=PC ，设)2,(a a P ，则2)42(2
2
=-+a a ，解得2=a 或5
6=a ，所以点)4,2(P 或点)5
12
,
56(P 。

（3分） （2）由已知圆心到直线MN 的距离为
2
2
，设直线MN 的方程为)1(2-=-x k y ，则2
2
1
22=
++k k ，解得7-=k 或1-=k 。

所以直线MN 的方程为03=-+y x 或097=-+y x 。

（8分）
（3）设)2,(a a P ，过点C P A ,,的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为
0)2)(4()(=--+-a y y a x x ，整理得082422=+---+a ay y ax y x
即0)82()4(2
2
=-+--+y x a y y x
由⎩⎨⎧=-+=-+0
82042
2
y x y y x 得⎩⎨⎧==40y x 或⎪⎩
⎪⎨
⎧==51658y x ，该圆必经过定点)4,0(和)516,58(。

（14分） 21．（本小题满分14分）
(1) 解：∵()00f =，∴0c =. … 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-
，即1
22
b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()2
10b =-≤． ∵()2
10b -≥， ∴1,1b a ==． ∴()2f x x x =+． …… 4分
(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()2
2111,,111,.x x x x x x λλ
λλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩
…… 5分
① 当1
x λ
≥
时，函数()()2
11g x x x λ=+-+的对称轴为12
x λ-=
，
若
1
1
2
λλ
-≤
，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增；…… 6分 若
1
1
2
λλ
->
，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递
减．…… 7分 ② 当1
x λ
<
时，函数()()2
11g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ
+=-
<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减．… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为 1,2λ+⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭； …… 9分
高中数学期中考试试题
- 11 - 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝
⎭．… 10分 (3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，
又()()010,1210g g λ=-<=-->，
故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分
② 当2λ>时，则
1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，
（ⅰ）若23λ<≤，由于11
12
λλ-<≤，
且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； 12分
（ⅱ）若3λ>，由于1
12λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1
上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；
当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分。