2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年江苏省连云港市海州区九年级第一学期期末数学
试卷
一．选择题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
2．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，这些球除颜色外完全相同，其中有3个黄球，2个蓝球．则随机摸出一个红球的概率为（）
A．B．C．D．
3．九年级（1）班学生在引体向上测试中，第一小组6名同学的测试成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，这组数据的中位数与众数分别是（）
A．7，7B．6，7C．6.5，7D．5，6
4．二次函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的大小等于（）
A．20°B．25°C．40°D．50°
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）
A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）
7．如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一
个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）
A．∠B＝∠D B．＝C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D 8．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）
A．10B．25C．50D．75
二．填空题（本大题共有8小题，每题3分，满分24分）
9．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而．
10．若，则的值为．
11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝cm．12．如图，身高为1.5m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3m，CA＝1m，则树的高度为m．
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为．
14．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝时，△ABC∽△AMN．
15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．
三．解答题（本大题共有10小题，满分102分，写出必备的解答过程）
17．解方程：x2﹣6x+8＝0．
18．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝10，BC＝4，求DF的长．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）直接写出函数图象顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）将该函数图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得图象的函数表达式
是．
20．不透明的袋子里装有小丽刚买的红白两种色彩的手套各一双（除颜色外其余都相同）．（1）小丽在看不见的情况下随机摸出一只手套，恰好是红色的概率是；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽在看不见的情况下随机一次摸出两只手套，恰好是同色的概率．
21．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O 点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？
22．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE＝2，试求AP•AF的值．
23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
（利润＝销售价﹣进价）
24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA ＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．
25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x 为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t 为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
26．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、
D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理
由．
（3）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
解：
∵y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故选：B．
2．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，这些球除颜色外完全相同，其中有3个黄球，2个蓝球．则随机摸出一个红球的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
解：9﹣3﹣2＝4（个），
故随机摸出一个红球的概率为．
故选：D．
3．九年级（1）班学生在引体向上测试中，第一小组6名同学的测试成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，这组数据的中位数与众数分别是（）
A．7，7B．6，7C．6.5，7D．5，6
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
解：这组数据的中位数为＝6.5，众数为7，
故选：C．
4．二次函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．
解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y＝0时，方程x2﹣x+1＝0解的个数，
∵△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程无解，
∴二次函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴无交点．
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的大小等于（）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【分析】连接OA，根据切线性质得∠OAC＝90°，再由三角形的内角和求出∠AOC的度数，并根据同圆的半径相等求出结论．
解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣40°＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝40°，
∴∠B＝20°，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）
A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
7．如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）
A．∠B＝∠D B．＝C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠C＝∠AED＝90°，∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；
∵∠C＝∠AED＝90°，，
∴，即sin∠B＝sin∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE，
∵∠C＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；
∵∠BAC＝∠D，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；
故选：A．
8．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）
A．10B．25C．50D．75
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，由直角三角形的性质可得DF＝BF＝EF＝5，由勾股定理可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，
∵BD⊥DE，点F是BE的中点，
∴DF＝BF＝EF＝5，
∴CF＝5﹣y，
∴DF2＝DC2+CF2＝x2+（y﹣5）2＝25，
故选：B．
二．填空题（本大题共有8小题，每题3分，满分24分）
9．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．
解：
∵y＝ax2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
10．若，则的值为．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴b＝a，
∴＝＝．
故答案为：．
11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝4 cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
解：线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是a、b的比例中项，
∴＝，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm．
故答案为：4．
12．如图，身高为1.5m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3m，CA＝1m，则树的高度为6m．
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．
解：如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB＝CD：BE，
∴1：4＝1.5：BE，
∴BE＝6m．
∴树的高度为6m．
故答案为：6．
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为1：4．
【分析】根据8字模型相似三角形证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可解答．
解：∵BC＝2AD，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠OCB，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AOD：S△BOC＝1：4，
故答案为：1：4．
14．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝时，△ABC∽△AMN．
【分析】根据相似三角形的性质，得＝，代入数据得出AN的长即可．
解：∵△ABC∽△AMN，
∴＝，
∵M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，
∴AM＝MC＝5，
∴＝，
解得AN＝，
故当AN＝时，△ABC∽△AMN．
故答案为：．
15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行480m才能停下来．
【分析】将二次函数关系式y＝﹣1.2x2+48x，该写成顶点式，从而可得出y的最大值，则问题得解．
解：∵y＝﹣1.2x2+48x
＝﹣1.2（x2﹣40x+400﹣400）
＝﹣1.2（x﹣20）2+480，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值为480，
即该型号飞机着陆后需滑行480m才能停下来．
故答案为：480．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．
【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝DW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．
解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．
三．解答题（本大题共有10小题，满分102分，写出必备的解答过程）
17．解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
18．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝10，BC＝4，求DF的长．
【分析】（1）根据矩形性质可得AD∥BC，从而可证∠DAE＝∠AEB，再加上一组直角相等即可解答；
（2）先利用勾股定理求出AE的长，再利用（1）的结论进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°，
∴∠B＝∠DFA，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝2，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2，
∵△ABE∽△DFA，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．
19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）直接写出函数图象顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；
（2）当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）将该函数图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点横坐标，进而求解．
（3）抛物线顶点（1，﹣4）向右平移一个单位，再向上平移四个单位后为（2，0），进而求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
如图，
（2）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∵抛物线开口向上，
∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
（3）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得解析式为y＝（x﹣2）2，
故答案为：y＝（x﹣2）2．
20．不透明的袋子里装有小丽刚买的红白两种色彩的手套各一双（除颜色外其余都相同）．
（1）小丽在看不见的情况下随机摸出一只手套，恰好是红色的概率是；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽在看不见的情况下随机一次摸出两只手套，恰好是同色的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是同色的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）小丽在看不见的情况下随机摸出一只手套，恰好是红色的概率为＝，故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是同色的结果有4种，
∴恰好是同色的概率为＝．
21．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O 点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？
【分析】（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O 的坐标代入，运用待定系数即可求出解析式；
（2）把y＝4代入求出AB的长，再根据AD＝4，可求出周长．
解：（1）∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为6米，
∴P（3，6）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+6．
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+6经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣3）2+6，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+6，
即y＝﹣x2+4x；
（2）当y＝4时，4＝﹣x2+4x，
解得x＝3±，
∴AD＝4，AB＝（3+）﹣（3﹣）＝2，
所以“支撑架”总长是2×（4+2）＝（8+4）米．
22．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE＝2，试求AP•AF的值．
【分析】（1）依据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝∠CAB，然后依据SAS可证明△ABE≌△CAF，依据全等三角形的性质可得到∠ABE＝∠CAF，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明△APE∽△ACF，依据相似三角形的性质得到＝，从而可得到问题的答案．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF，
∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．
又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°，
∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°
（2）∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴＝，即＝，
∴AP•AF＝12．
23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA ＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．
【分析】（1）连接OB，先由AC是⊙O的直径证明∠ABC＝90°，再由OB＝OA证明∠OBA＝∠OAB，而∠PBA＝∠C，则∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠C+OAB＝90°，即可证明PB是⊙O的切线；
（2）设OP交AB于点D，先证明△DOB∽△BOP，根据相似三角形的对应边成比例求出OD的长，再证明△ADO∽△ABC，可得BC＝2DO，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠C+OAB＝90°，
∴OB是⊙O的半径，
∵PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：如图，设OP交AB于点D，
∵OP∥BC，
∴∠ODB＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵∠OBP＝90°，
∴∠ODB＝∠OBP，
∵∠DOB＝∠BOP，
∴△DOB∽△BOP，
∴＝，
∵OB＝3，OP＝8，
∴OD＝＝＝，
即DO＝，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝2DO＝2×＝．
∴BC的长为．
25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．（1）写出图中与△ABC相似的三角形；
（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x 为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度．求t 为多少秒时，矩形DEMN为正方形？
【分析】（1）根据△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6组不同的相似三角形；（2）先求出CH，进而表示出CG，再用相似三角形的对应高的比等于相似比表示出DE，即可表示出S，即可求出答案；
（3）根据△ADM∽△ABC，AM＝t，可得＝，即＝，即可得出DM＝t，EN＝DM＝t，再根据△BEN∽△BAC，得出＝，即＝，进而得到NB＝t，据此可得点N的运动速度：t÷t＝；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，解得t＝；当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，则有t＝5，解得t＝，若矩形DENM为正方形，则DM ＝MN，分两种情况：①相遇前；②相遇后，分别根据DM＝MN列出关于t的方程，求得t的值即可．
解：（1）∵四边形DENM为矩形，
∴DE∥AB，∠AMD＝∠ENB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AMD＝∠ENB＝∠C＝90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6组不同的相似三角形；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于H，交DE于G，
∵DE∥AB，
∴CH⊥DE，
∴四边形DMHG为矩形，
∴HG＝DM＝x，
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理得，AB＝5，
∴S△ABC＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝＝，
∴CG＝CH﹣HG＝﹣x，
由（1）知，△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝5﹣x，
∴S＝S矩形DENM＝DM•DE＝x•（5﹣x）＝﹣（x﹣6）2+15，∵CH＝，
∴0＜x＜，
∴当x＝时，S最大，最大值为；
（3）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵在运动过程中四边形DENM总为矩形，
∴∠AMD＝∠BNE＝90°，
∴△ADM∽△ABC，
由题得：AM＝t，
∴＝，即＝，
∴DM＝t，
∴EN＝DM＝t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴NB＝t，
∴点N的运动速度：t÷t＝，
∴点N的运动速度为每秒个单位长度；
当点N、M相遇时，有t+t＝5，
解得t＝，
当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，
则有t＝5，
解得t＝，
若矩形DENM为正方形，则DM＝MN，分两种情况：
①相遇前：当0＜t＜时，DM＝t，MN＝5﹣t﹣t＝5﹣t，
∴t＝5﹣t，
解得t＝；
②相遇后：当＜t≤时，DM＝（5﹣t），MN＝t﹣（5﹣t），
∴（5﹣t）＝t﹣（5﹣t），
解得t＝＞（舍去），
综上所述，点N的速度为每秒个单位长度，当t＝时，矩形DENM为正方形．
26．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；
（2）设G（m，m2﹣2m﹣3），分三种情况讨论：①当BC为平行四边形的对角线时，G （2，﹣3）；②当BD为平行四边形的对角线时，G（4，5）；③当BG为平行四边形的对角线时，G（﹣2，5）；对每种情况利用对角线互相平分，结合中点坐标公式，求解即可；
（3）求出E点坐标后，可证明∠OEC＝∠OBC，设P（t，﹣t﹣3），分两种情况讨论：①当△PEO∽△CBA时，由＝，可求P（﹣，﹣）；②当△PEO∽△ABC时，由＝，可求P（﹣1，﹣2）．
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴D点的横坐标为1，
设G（m，m2﹣2m﹣3），
①当BC为平行四边形的对角线时，
∴3＝1+m，
∴m＝2，
∴G（2，﹣3）；
②当BD为平行四边形的对角线时，
∴3+1＝m，
∴m＝4，
∴G（4，5）；
③当BG为平行四边形的对角线时，
∴3+m＝1，
∴m＝﹣2，
∴G（﹣2，5）；
综上所述：G点坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（3）存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝kx+b
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
∴E（﹣3，0），
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEC＝∠OBC，
∵点P是线段EM上，
∴﹣3＜t＜0，
∴EP＝（t+3），BC＝3，
①当△PEO∽△CBA时，
＝，即＝，
∴t＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②当△PEO∽△ABC时，
＝，即＝，
∴t＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述，P点坐标为（﹣，﹣）或（﹣1，﹣2）．。