高一数学12月份月考试题
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。
高一数学12月月考卷.doc
高一数学12月月考卷一、选择题1、用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是 ( ) A ．A ∈l ，α∉l B ．A ∈l ，α⊄l C ．A l ⊂，α⊄l D ．A l ⊂，α∉l2、下列四个条件中，能确定一个平面的是 ( )A ．空间中任意三点B ．空间中两条直线C ．一条直线和一个点D ．两条平行直线3、若一个三角形，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积( )A ．12倍 B ．4倍 C ．2倍 D 倍4、a ，b ，c 分别表示三条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 ( ) A. 77cm B. 72cm C. 55cm D. 102cm6、在空间，下列命题中正确的是 ( )A ．若两直线a 、b 与直线m 所成的角相等，那么a ∥b ；B ．若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，那么a ∥b ；C ．若直线m 与两平面α、β所成的角都是直角，那么α∥β；D ．若平面γ与两平面α、β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β.7、已知二面角α—l —β为60°，若平面α内有一点A 到平面βA 在平面β内的射影B 到平面α的距离为 ( )A B ．1 C D 8、以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角B AD C --等于（ ）时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形。
A ．120°B ．90°C ．60°D ．45° 9、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
河南省新乡市原阳县2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷（答案在最后）总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A .(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥D.4+≥11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,312.设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．16.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】解指数不等式化简集合N ，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.【详解】依题意，21111{|()()(}{|12}222x N x x x -=<<=-<<，而{}1M x x =<，对于A ，{|2}M N x x ⋃=<，因此(){|2}U M N x x =≥ ð，A 是；对于B ，{|1}U M x x =≥ð，因此(){|1}U N M x x =>- ð，B 不是；对于C ，{|11}M N x x ⋂=-<<，因此(){|1U M N x x =≤- ð或1}x ≥，C 不是；对于D ，{|1U N x x =≤-ð或2}x ≥，因此(){|1U M N x x =< ð或2}x ≥，D 不是.故选：A 2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为221log log 103a =<=，300221-<<=，即01b <<，ln20331c =>=，所以a b c <<.故选：A3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1a ≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A.(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃【答案】D 【解析】【分析】由题意化简0213x x <<，直接求解即可.【详解】因为a b ad bc cd=-，所以2133x xx =-，所以2032x <-<，即213x <<，解得1x <<或1x <<-，故选：D5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】第一次降价后价格为(1)m x -，第二次降价后价格变为2(1)(1)(1)y m x x m x =--=-．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b << B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】771log 2log 2<=，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A.【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年【答案】C 【解析】【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.【详解】设第n 年获利y 元，则=20 1.2n y n ⨯，是正整数，2022年是第一年，故201.260n ⨯>，解得 1.2lg 3lg 3log 3== 6.03lg1.2lg 32lg 21n >≈+-故7n ≥，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据()()112212x f x x f x x x --＜0，得到()()g x xf x =在()0,∞+上递减，然后由(2)4f =，得到()28=g ，将不等式8()0f x x->转化为()(2)g x g >求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，所以()()g x xf x =在()0,∞+上递减，因为(2)4f =，所以()28=g ，因为不等式8()0f x x->，所以()80xf x x->，所以()80xf x ->，所以()8xf x >，即()(2)g x g >，所以02x <<，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-【答案】AB 【解析】【分析】根据2y x =的图象求得正确答案.【详解】画出2y x =的图象如下图所示，由24x =解得2x =±，()2f x x =的图象是函数2y x =的图象的一部分，依题意，()2f x x =的值域为[]0,4，由图可知，()f x 的定义域可以是[]0,2、[]2,1-.故选：AB10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥ D.4+≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式可得A,B,D 正误，利用1的妙用可得C 的正误.【详解】对于A ，因为42a b ≤+=，所以14ab ≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故A 正确；对于B ，2164a b +≥==，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故B 正确；对于C ，()1111114194552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a b =，即21,33a b ==时，取到等号，故C 正确；对于D，244a b +=++，2+≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故D 错误．故选：ABC .11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,3【答案】BC 【解析】【分析】根据题意求出()f x 的定义域，将()f x 的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.【详解】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()f x 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线=1x -，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()f x 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.12.设()33,0log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2【答案】AB 【解析】【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】解：作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．【答案】9【解析】【详解】由已知得，f (6)＝8，f (3)＝－1，因为f (x )是奇函数，所以f (6)＋f (－3)＝f (6)－f (3)＝8－(－1)＝9.答案：9.14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】分两种情况0a =和0a ≠，可求出实数a 的取值范围.【详解】 关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为1<0-，该不等式在R 上恒成立；当0a ≠时，则有2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．【答案】13【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x y +的取值范围，从而求得3x y +的最大值.【详解】因为正数x ，y 满足40x y xy +-=，所以4x y xy +=，即141y x+=，则()14455549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =且141y x+=，即6,3x y ==时取等号，此时x y +取得最小值9，则3x y +的最大值为13．故答案为：1316.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据题意，推得()2021(1)f f =-，即可求得()2021f 的值，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，结合log (41)3a -=和log (61)3a -=，结合图象，即可求得a 的取值范围.【详解】由题意，函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，所以()()()()112021201920171(1)()112f f f f f -=====-=-= ；当02x <≤时，则220x -<-≤，可得()()212(12x f x f x -=-=-；当24x <≤时，则022x <-≤，可得()()412()12x f x f x -=-=-；当46x <≤时，则224x <-≤，可得()()612(12x f x f x -=-=-；当68x <≤时，则426x <-≤，可得()()812(12x f x f x -=-=-，画出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示，由log (41)3a -=，可得a =log (61)3a -=，可得=a ，由图象可知，若两个函数的图象有3a <≤，所以实数a 的取值范围为.故答案为：1；.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．【答案】（1）1252-（2）13【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：4112313221125(0.25)(2)[(2)]1)2416(1)22---⨯-+-=-⨯+--.【小问2详解】解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：1827151525lg 9lg8lg lg lg12.5log 9log 8lg lg lg 28282lg8lg 27-⎛⎫-+-⋅=++-⋅ ⎪⎝⎭18252lg 3221lg()lg1012523lg 3333=⨯⨯-=-=-=.18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）812,77a b ==-；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）根据题目条件得到2,4B A ∈∈，从而得到方程组，求出实数a ，b 的值；（2）先根据对数函数的定义域得到{}|01B x x =<<，分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）()R {2}A B ⋂=ð，(){}R 4A B ⋂=ð，故2,4B A ∈∈，故164120420a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得87127a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）由题意得20x x ->，解得01x <<，故{}|01B x x =<<，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-，当A ≠∅时，需满足12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得2a ≥或122a -<≤-，综上，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）0m =时，()()21422x x xf x +=-=-()22222x x x ⋅=-，令()0f x =可得22x =，即1x =．()f x ∴的零点是1．（2）令2x t =，显然0t >，则()22f x t t m =--．()f x 有两个零点，且2x t =为单调函数，∴方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，0440120m m m ->⎧⎪∴+>⎨⎪--<⎩，解得：10m -<<．m ∴的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上4点该厂的污水污染指数最低（2）调节参数a 应控制在2(0,]3内.【解析】【分析】（1）12a =时，令()251log 102x +-=，解得x 即可得出；（2）利用换元法()25log 1t x =+，再利用函数的单调性即可得出.【小问1详解】因为12a =，()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=，即121255x +==，解得4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.【小问2详解】设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩,()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,则有()()0313123g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤，又()0,1a ∈，故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦内.21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1a <（2）{|84}λλ-≤≤【解析】【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.【详解】（1）由题意，当11x -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则2(2)44x a x x ->-+-，因为11x -≤≤，所以224444222x x x x a x x x-+--+<==---，所以min (2)a x <-，由2y x =-单调递减，知当1x =时，min (2)1x -=，即1a <.（2）因为()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈成立，所以()2280x y y x y λ+-+≥对于任意的,R x y ∈成立.即()2280x yx y λλ-+-≥恒成立，由二次不等式的性质可得，()222224843(2)0y y y λλλλ∆=+-=+-≤，所以4)80()(λλ+-≤，解得84λ-≤≤.故实数入的取值范围为{|84}λλ-≤≤.22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．【答案】（1）0.（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据()f x ，()g x 单调性求出最小值，两个最小值相等求出m 的值.（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x 之间的关系，转化为2x 即可求解.【小问1详解】由()2e ,e ,x x x x m f x x x m⎧--≤=⎨+>⎩，(],x m ∈-∞时()01e x f x '=-<-，(),x m ∈+∞时()e 10x f x '=+>则()f x 在(],m -∞单调递减，在(),m +∞单调递增，所以()f x 最小值()()min 2e mm f x f m ==--；()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩(]0,1x ∈时，()110g x x '=--<，()1,x ∈+∞时，()110g x x'=+>所以()g x 在(]0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()g x 最小值()()min 11g x g ==；()()min min 2e 1m f x m g x =--==，即2e 1e 10m m m m --=⇒+-=令()=e 1m q m m +-，()=e 10m q m '+>所以()=e 1m q m m +-在定义域上单调递增，因为0(0)e 10q =-=，所以e 10m m +-=解得0m =.【小问2详解】由（1）知0m =，即()2e ,0e ,0x x x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩；因为()()min min 1f x g x ==，所以当1b >时，考虑()f x b =与()g x b =解的个数，根据()f x ，()g x 单调性作图如下：易知x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞；0x +→时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+；则()f x b =在区间(),0∞-与()0,∞+各有一个根，()g x b =在区间()0,1与()1,+∞各有一个根，要证：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，即证：()()f x g x =在()0,1上有交点.当()0,1x ∈时，令()()()()e 2ln e ln 22x xh x f x g x x x x x x =-=+---=++-1()e 20x h x x'=++>，所以()h x 在()0,1上单调递增，(1)e>0h =，31e 3312(e 320e e h =-+-<，所以存在()00,1x ∈，使()00()f x g x =，即()()f x g x =在()0,1上有交点，得证.所以存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点.【小问3详解】如图y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，()123x x x <<，则有121222332e e 2ln ln x x x x x x x x --+=+==--，因为112ln 122122e 2ln 2e 2eln x x x x x x x x ----⇒--=-=-而()2e x f x x =--单调递减，所以12ln x x =，因为322ln 23323e ln e eln x x x x x x x x +=+⇒+=+，而()e x f x x =+单调递增，所以23ln x x =，又因为2222222e 2ln e ln 22x x x x x x x +=--⇒++=.所以212322e 222ln x x x x x x ++=++=.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.。
高一数学12月月考试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校闽侯第HY学二零二零—二零二壹高一12月月考数学试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴集合∵集合∴集合∴应选C2.表示两条不同直线，表示平面，以下说法正确的选项是〔〕A.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么【答案】B【解析】如图,,但相交,错;,但,错;,但,错;故此题选3.扇形的半径为，周长为，那么扇形的圆心角等于〔〕A.1B.3C.D.【答案】A【解析】设扇形的圆心角为，扇形的弧长为∵扇形的半径为，周长为∴扇形的弧长为∴扇形的圆心角为应选A4.执行如下列图的程序框图，假设输入的值是1，那么输出的值是〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.一个几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中，，为侧棱的中点，侧棱长为2∴几何体的体积为应选D点睛：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表〔侧或者底〕面积或者体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状.此题中由的三视图可得：该几何体是直三棱柱消去一个棱锥，画出几何体的直观图，求出棱柱与棱锥的体积，相减可得答案.6.三棱柱中，假设三棱锥的体积为，那么四棱锥的体积为〔〕A. B. C.18D.24【答案】A【解析】根据题意三棱柱如下列图：∵∴应选A7.设是轴上的不同两点，点的横坐标为2，，假设直线的方程为，那么直线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为〔-1，0〕，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，那么P〔2，3〕，又因为Q为A与B的中点，所以得到B〔5，0〕，所以直线PB的方程为：化简后为x+y-5=0故答案为A考点：数形结合的数学思想解决实际问题．会根据两点坐标写出直线的一般式方程．8.如图，正三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的间隔为1，点是线段的中点，过点作球的截面，那么截面面积的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设正三角形的中心为，连接，分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上,所以平面，结合平面，可得，因为球的半径.球心到平面的间隔为1，得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形，所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径，可得截面面积为.应选C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．9.曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法10.从个编号中要抽取个号码入样，假设采用系统抽样方法抽取，那么分段间隔应为〔表示的整数局部)〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】从个编号中要抽取个号码入样，按照系统抽样的规那么，为整数时，分段的间隔为，不是整数时，分段的间隔为.应选C11.假设函数是上的减函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是上的减函数∴∴应选D点睛：此题考察分段函数的单调性，解决此题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.12.设定义域为的函数，假设关于的方程有7个不同的实数解，那么〔〕A. B. C.或者2D.【答案】B【解析】设，作出函数图象，如下列图：由图象可知：当时，函数图象有2个交点，当时，函数图象有3个交点，当时，函数图象有4个交点，当时，函数图象有两个交点，当，函数图象无交点．要使方程有7个不同的实数解，那么要求对应方程中的两个根或者，且∴∴应选B点睛：利用函数零点的情况求参数值或者取值范围的方法(1)利用零点存在的断定定理构建不等式求解；(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，那么__________．【解析】∵是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称∴，，即∴∴，即∴∴故答案为014.点，点坐标满足，求的取值范围是__________．【答案】【解析】设∵点∴∵点坐标满足∴，即把代入到∵∴∴的取值范围是故答案为15.设点是函数的图象上的任意一点，点，那么的最小值为【答案】【解析】∵函数∴，即对应的曲线为圆心在，半径为2的圆的下局部∵点∴点在直线上过圆心作直线的垂线，垂足为，如下列图：∴故答案为16.函数，其中，假设对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，__________．〔并且写出的取值范围)【答案】【解析】∵函数，其中∴当时，又∵对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立∴函数必须为连续函数，即在附近的左右两侧函数值相等∴∴由题意可知二次函数的对称轴不能在轴的左侧，那么，即∴故答案为点睛：函数的函数值时,首先应该确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求值,同时,要注意各区间上端点值的取舍情况.分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕假设，求的值；〔2)求的值.【答案】〔1〕1；〔2〕1006.【解析】试题分析：〔1〕由及函数的表达式，直接进展求值即可；〔2〕根据〔1〕的结论，即可算出的值.试题解析：〔1〕.〔2〕.18.的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是.〔1〕求顶点的坐标；〔2〕求直线的方程；【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设.因为B点在直线上，所以可得①.又因为A,B两点的中点在直线上，所以可得②.所以由①，②可解得的值，即可求出B点的坐标.〔2〕由于过点的内角平分线所在直线方程为.所以通过求出点A关于平分线的对称点，然后再与点B写出直线方程即为所求的直线BC的方程.试题解析：〔1〕设，那么中点，由，解得，故．6分〔2〕设点关于直线的对称点为，那么，得，即，直线经过点和点，故直线的方程．12分考点：1.直线方程的表示.2.求关于直线的点的对称点.3.线段的中点问题.19.如图是以为直径的圆上的两点，，是上的一点，且，将圆沿折起，使点在平面的射影在上，.〔1〕求证：平面〔2〕求证平面；〔3〕求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕∴..所以AD⊥平面BCE.〔2〕因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE 中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF,(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.试题解析：〔1〕证明：依题意：平面∴∴平面．4分〔2〕证明：中，，∴中，，∴．∴．∴在平面外，在平面内，∴平面．8分〔3〕解：由〔2〕知，，且平面∴．12分考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.20.函数〔，且〕.〔1〕写出函数的定义域，判断奇偶性，并证明；〔2〕当时，解不等式.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由题设可得，解得，即可写出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义即可判断奇偶性；〔2〕由及，再结合单调性，可得，即可解不等式.试题解析：〔1〕由题设可得，解得，故函数定义域为从而：故为奇函数.〔2〕由题设可得，即：∵∴为上的减函数∴，解得：故不等式的解集为.21.和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足.〔1〕务实数间满足的等量关系；〔2〕求线段长的最小值；〔3〕假设以为圆心所作的与有公一共点，试求半径取最小值时的方程.【答案】〔1〕.〔2〕.〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕连，由勾股定理可得，化简可得实数间满足的等量关系；〔2〕由于，根据间的等量关系及二次函数的性质即可求出线段长的最小值；〔3〕解法一：设的半径为，根据题设条件可得，利用二次函数的性质求得的最小值，此时，求得，获得最小值，从而得到圆的方程；解法二：根据的轨迹设出直线，由与有公一共点，欲求半径最小，即为与外切时半径最小，然后可求出半径最小值及垂直直线的方程，即可求出此时圆心的坐标，故而求出方程.试题解析：〔1〕连∵为切点，，由勾股定理有又由，故.即：.化简得实数间满足的等量关系为：.〔2〕由，得..故当时，，即线段长的最小值为.〔3〕解法一：设的半径为∵与有公一共点，的半径为1，∴.即且.而，故当时，.此时，，.得半径取最小值时的方程为.解法二：由题意可得的轨迹方程是，设为直线与有公一共点，半径最小时为与外切〔取小者〕的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的间隔减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点..又，解方程组，得，即.∴所求圆方程为.22.函数，且.〔1〕试求的值；〔2〕用定义证明函数在上单调递增；〔3〕设关于的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？假设存在，求出的取值范围；假设不存在说明理由.【答案】(1)；〔2〕见解析；〔3.【解析】试题分析：〔1〕由，即可求出的值；〔2〕利用单调增函数的定义即可证明；〔3〕化简为，利用韦达定理可得，根据，得出的取值范围，不等式对任意的恒成立等价为在恒成立，令，根据〔2〕求出，即可求出的取值范围.试题解析：(1)∵∴∴〔2〕∵∴设，∴，∵∴∴∴又∵，∴∴∴在上单调递增.〔3〕∵∴∴又∵∴，故只需当，使得恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，∴令，由第〔2〕问可知在上单调递增，同理可得在上单调递减.∴∴故的取值集合是.点睛：对于含有多个变量的函数的恒成立问题，解题时要注意分清哪个是主变量，哪个是参数，区分的原那么是给出了税的范围谁就是变量，求谁的范围谁就是参数.解决恒成立问题一般采用别离参数的方法转化为求函数的最值问题处理.。
【高中教育】最新高一数学12月月考试题
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高一数学12月月考试题______年______月______日____________________部门数学试题本卷满分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 设全集, 则{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3}U A B ===()U A B =ð A.B.{2}{1,2,3}C.D.{1,3}{0,1,2,3,4}2. 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β 。
其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．33. 函数的定义域、值域分别是1()()12x f x =-A ．定义域是，值域是B ．定义域是，值域是RC ．定义域是 ，值域是D ．定义域是，值域是 R R(1,)-+∞4. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是330x y --=A ．30°B ．60°C ． 120°D ．150°5. 函数的大致图像是23y x = A.B.C.D.6. 已知直线l1：与l2：平行，则k 的值是210x y -+=230x ky ++=A ．B ．C ．D ．1414-4-4 7. 圆过点的切线方程是22(2)4x y -+=(1,3)PA ．B ．320x y +-=340x y +-=C ．D ．340x y -+=320x y -+=8. 如图，ABCD －A1B1C1D1为正方体，异面直线AD 与CB1所成的角是 A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°9. 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函数,,,a c b d M M M M x关系式分别是，，，，如果运动的时间足够()21f x x=()122f x x=()32log f x x =()42xf x =长，则运动在最前面的物体一定是 A.B. C. D.a Mb Mc M dMABCDA B C D 111110. 直线与圆交于两点，则320x y +-=224x y +=,A B ||AB =A.B. C.D.12322211. 如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D 所成的角为A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°12. 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的等边三角形，SC 为球O 的直径，若三棱锥S －ABC 的体积为，则球O 的表面积是26A.B. C.D.4π34π3π43π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 两点的距离是 (6,0,1),(3,5,7)A B 14. 给出两条平行直线，则12:3410,:3420L x y L x y --=-+=这两条直线间的距离是15．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于 . 16. 给出四个区间： ① ；② ；③ ；④ ，(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)则函数的零点所在的区间是这四个区间中42)(-+=x x f x的哪一个： （只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且满足＝＝，＝＝2．求证：四边形EFGH 是梯形. 18．（本题满分12分）已知在平面直角坐标系中，△三个顶点坐标分别为ABC(1,3),(5,1),(1,1)A B C --（I ）求边的中线所在的直线方程；BC AD（II ）求边的高所在的直线方程.AC BH 19. （本题满分12分）求过三点的△外接圆方程的一般形式，并指出圆的半径长和圆心坐标。
高一数学12月月考试题
东台创新中学高一12月份月考试卷一．填空题（共14小题）1．将弧度转化成角度：= ．2．设θ是第三象限角，则点P（sinθ，cosθ）在第象限．3．=（cosα，sinα），||= ．4．已知△ABC中，tanA=﹣，则cosA= ．5．函数y=s in（πx﹣）的最小正周期为．6．函数y=cos（﹣x）的单调递增区间为．7．平面向量=（2，1），=（m，﹣2），若与共线，则m的值为．8．函数y=的单调递增区间是．9．已知= ．10．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为．11．已知，则= ．12．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．13．若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是．14．如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若•=﹣12，则•= ．二．解答题（共6小题）15．已知tanx=2，求的值．16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．（1）求tanα的值．（2）求的值．17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．（1）若，求t；（2）若∠BAC=90°，求t．18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4，=+2，求（1）•；（2）|+|．20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．东台创新高级中学15/16学年第一学期十二月份月考高一数学答卷 2015.12.24一．填空题（共14小题）1、 2、 3、 4、5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、13、 14、二．解答题（共6小题）15．已知tanx=2，求的值．16．已知方程x2+4x+3=0的两个根为tan（α﹣β），tanβ．（1）求tanα的值．（2）求的值．17．已知A（3，1），B（t，﹣2），C（1，2t）．（1）若，求t；（2）若∠BAC=90°，求t．18．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．19．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，若=﹣4，=+2，求（1）•；（2）|+|．20．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．。
四川省成都市成华区某校2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
高一数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2- B.2C.D.2-或23.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b ma a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22a b<二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A. B.C. D.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+=B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x xf f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.19.设点(),x y 是奇函数()f x 图象上的动点，且1x >时满足3xy x y =++.（1）求1x <-时，函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x 在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x >时，求x y +的最小值.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151kP x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.22.已知函数3()log (91)xf x mx =++是偶函数，()33x xg x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④.【详解】①0{0}∈正确；②空集不含任何元素，故0∈∅错误；③因为空集是任何集合的子集，故{}210x x ∅⊆+=正确；④因为{}R x y x ==，(){}2,x y y x =为点的集合，故{}(){}2,x y x x y y x =⋂==∅，故{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==错误.所以正确的个数为2.故选：B2.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-B.2C.D.2-或2【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可.【详解】因为幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，所以231m -=且0m <，解得2m =-，故选：A3.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域与解析式进行判断即可.【详解】选项A 中，函数()g x x ==，即(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项B 中，显然(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项C 中，函数()2lg f x x =的定义域为()0,∞+，2()lg g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是同一函数；选项D 中，函数()(),f x g x 的定义域为()1,1-，且()lg(1)lg(1)lg(1)(1)()=++-=+-=g x x x x x f x ，所以是同一个函数；故选：D ．4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.13=，所以5127cos sin 131313αα-=-=-.故选：C5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1） B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+- ()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π【答案】C 【解析】【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为R ，因为弧长为4π的扇形圆心角为6π，所以46R ππ=，所以24R =，所以此扇形的面积为214826R ππ⨯=.故选：C .7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】设需要休息x 小时，依题意，()3100125%100204xx⎛⎫⨯-=⨯< ⎪⎝⎭，32410x⎛⎫< ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数得32lg lg 410x <，所以lg 2lg10lg 210.310.75.8lg 3lg 4lg 32lg 20.4820.30.12x --->===≈---⨯，所以至少需要6小时.故选：B8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b m a a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22ab <【答案】D 【解析】【分析】由1122log log a b <且,a b 都不等于1，则得0a b >>，然后根据不等式性质可对A 判断，利用作差法可对B 判断，利用指数函数性质可对C 判断，利用对数函数性质及特殊值可对D 判断.【详解】由题意知1122log log a b <且,a b 都不等于1，所以0a b >>，对A ：由0a b >>，所以11a b<，故A 一定成立；对B ：()()()()()0b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故B 一定成立；对C ：111443abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 一定成立；对D ：由0a b >>，不妨设3,2a b ==，则3311log log 123>=-，21log 12=-，故D 不一定成立.故选：D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】A.利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；B.利用判别式判断； C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.因为命题“m ∃∈N N ”是存在量词命题，所以其否定全称量词命题，即为“m ∀∈N N ”，故错误；B.因为240=∆+>a ，所以命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”是真命题，所以其否定为假命题，故正确；C.若x y ==，则0x y +=，故不充分，故错误；D.当0c =时，22ac bc =，故充分性不成立，当22ac bc >时，则()20c a b ->，即20c >，且0a b ->，则a b >，故必要性成立，故正确；故选：BD10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增【答案】CD 【解析】【分析】选项A ，举特殊情况a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值；选项B ，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数；选项C ，利用基本不等式求出最小值即可；选项D ，对a 的取值分类讨论，其中0a >时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数m 判断单调性即可.【详解】函数()(0)af x x a x=+≠的定义域是{|0}x x ≠，对于选项A ，当a<0时，在区间(0,)+∞上函数y x =和ay x=都单调递增，故()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值，选项A 错误；对于选项B ，定义域是{|0}x x ≠，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数，选项B 错误；对于选项C ，0,4x a >=，则44x x +≥=（2x =时等号成立），函数()f x 有最小值为4，选项C 成立；对于选项D ，当a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增；当0a >12x x ≤<，121212121212()()()()()()x x x x a a af x f x x x x x x x ---=+-+=，12x x ≤<得：120x x -<，120x x a >>，10x x a ->，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <成立，()(0)af x x a x=+≠在区间+∞)，使得函数()f x在+∞)上单调递增；选项D 正确；故选：CD.11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据每个选项中两个函数的图象，求出实数a 的取值范围，然后观察每个选项中实数a 的范围是否一致，即可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，指数函数1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则101a <<，可得1a >，对数函数log a y x =在()0,∞+上为增函数，则1a >，A 满足条件；对于B 选项，对数函数log a y x =在()0,∞+上为减函数，则01a <<，由幂函数a y x =在第一象限内的图象可知，01a <<，取13a =，令()13a f x x x ===，该函数的定义域为R ，()()f x f x -===-，此时函数a y x =为奇函数，B 满足条件；对于C 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得02a a >⎧⎨-<-⎩，解得2a >，函数a y x=的图象在第二、四象限，则a<0，C 不满足条件；对于D 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得001a a <⎧⎨<-<⎩，解得10a -<<，由幂函数a y x =在第一象限的图象可知，a<0，取67a =-，令()67a g x x x -==={}0x x ≠，()()g x g x -==，此时，函数a y x =为偶函数，合乎题意，D 满足条件.故选：ABD.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+= B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数【答案】ABC【解析】【分析】令0x y ==，可得()04f =，再令2023,2023x y ==-，判断选项A ；令y x =-，即可判断选项B ；由()()4g x f x =-，判断选项C ；令,0y x ∈>R ,利用函数的单调性定义进行判断选项D.【详解】由对于任意实数,x y ，()()()4f x y f x f y +=+-，令0x y ==，则()()()0004f f f =+-，即()04f =,再令2023,2023x y ==-,则()()()020*******f f f =+--，即()()202320238f f +-=，故A 正确;令y x =-，则()()()04f f x f x =+--，即()()8f x f x +-=，故B 正确；由()()4g x f x =-，则()()()()440g x g x f x f x +-=-+--=，即()g x 是奇函数，故C 正确；对于任意,0y x ∈>R ,则x y y +>，当0x >时，()4f x >，则()()()40f x y f y f x +-=->，所以()f x 单调递增，即()g x 单调递增，故D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.【答案】()25，【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可求解.【详解】因为01(0a a =>，且1)a ≠，所以令240x -=，得2x =，此时5y =，所以函数()f x 必过定点()2,5.故答案为：()2,514.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．【答案】24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，实数t 满()()213f t f t +≤-，所以213t t +≤-，两边平方得23+1080t t -≤，解得243t -≤≤，故答案为：24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[)2,-+∞【解析】【分析】根据复合函数单调性求出()f x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，再由()f x 在[]1,2上单调递减，得到12a -≤，进而求得a 的取值范围.【详解】令21t x ax =+-，则12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21t x ax =+-在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.因为()f x 在[]1,2上单调递减，所以有12a -≤，解得2a ≥-.故答案为：[)2,-+∞16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意利用换元法得到关于t 的函数，判断出()f t 的奇偶性和单调性，然后将不等式变形，由单调性和定义域得到关于x 的不等式，求解即可.【详解】令2log t x =，则2t x =，由1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]2,2t ∈-，所以21()21t t f t -=+，[]2,2t ∈-，因为()211221()212121t t t t t t f t f t ------===-=-+++，所以函数()f t 为奇函数，因为212()12121t t t f t -==-++，而21t y =+在其定义域内单调递增，则221t y =+在其定义域内单调递减，所以函数()f t 单调递增，而不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可变形为111422422x x x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11242242x x ⎛⎫⎛⎫-≤-<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1244x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，解得12x ≤-，由1222x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2x ≥-，由114242x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得220m m --<，即12m -<<，所以1122x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，则1x >-，综上，112x -<≤-.故答案为：11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，脱掉“f ”是解有关函数不等式的常用方法.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.【答案】（1）4（2）2-【解析】【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【小问1详解】原式=1134-=-+；【小问2详解】原式=()22323321036192log log lg ⨯+-=+-=-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）m =cos 4α=-，tan 3α=-（2）3-【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.（2）根据诱导公式化简得到原式等于tanα，计算得到答案.【小问1详解】sin4mα==，0m>，解得m=.故cos4α==-，tan3α==-.【小问2详解】()()()11πcosπcos coscos sin sin22tan9πcos sin cos3cosπsinπsinπ2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫---+⎪⎝⎭.19.设点(),x y是奇函数()f x图象上的动点，且1x>时满足3xy x y=++.（1）求1x<-时，函数()f x的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x>时，求x y+的最小值.【答案】（1）()()311xf x xx-=-<-+（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据题意，求出当1x>时，函数()f x的解析式，然后利用奇函数的性质可求出当1x<-时，函数()f x的解析式；（2）任取1x、()2,1x∞∈--且12x x<，作差()()12f x f x-，变形后判断()()12f x f x-的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）当1x>时，可得出4121x y xx+=-++-，利用基本不等式可求得x y+的最小值.【小问1详解】当1x>时，由3xy x y=++得()13y x x-=+，则()31xf x yx+==-，当1x<-时，1x->，则()3311x xf xx x-+--==--+，因为函数()f x 为奇函数，则()()31x f x f x x -=--=-+.所以，()()311x f x x x -=-<-+.【小问2详解】由（1）知()()341111x f x x x x -=-=-+<-++，对任意的1x 、()2,1x ∞∈--且12x x <，有()()()()()21121212124444411111111x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<-，210x x ->，110x +<，210x +<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，()f x 在(),1∞--上单调递减.【小问3详解】由（1）知，当1x >时，344112111x x y x x x x x x ++=+=++=-++---2426≥+=+=，当且仅当()4111x x x -=>-时，即当3x y ==时，等号成立，故x y +的最小值为6.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151k P x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．【答案】（1）()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈；（2）最小值为250千元.【解析】【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及()416Q =求出k ，再由销量的变化关系及函数模型选择函数()Q x 的关系式，再代入计算作答.（2）利用（1）的函数模型求出()f x 的表达式，再求出当12x ≤时，()f x 的最小值作答.【小问1详解】当4x =时，由(15)162561k x +⋅=+，得5k =，即5()151P x x =++，（124x ≤≤，*x ∈N ），因为()416Q =，()617Q =，则()()46Q Q <，而()()1213Q Q >，即日销售量数据有增有减，显然0a ≠，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，将()416Q =，()617Q =代入模型③得：4121661217a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1220a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以模型③的函数解析式为()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈.【小问2详解】由（1）知，当112,N x x *≤≤∈时，5()151P x x =++，()11(12)201422Q x x x =--+=+，因此51512752715)(14)15)[(1)]205[3(1)]121222()(1(f x x x x x ++=+++=+++++=+205250≥+，当且仅当273(1)1x x +=+，即2x =时取等号，所以当2x =时，该产品日销售收入()f x 最小，最小值为250千元.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据二次函数及对数函数的图象作出函数图象，再根据函数图象写出单调区间即可；（2）依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，根据二次函数的对称性可求出m n +，根据对数函数的性质可求出,a b 的关系，进而可得出答案.【小问1详解】()f x 图象如图所示：()f x 的单调递增区间：()()1,1,2,∞-+，()f x 的单调递减区间：()(),1,1,2∞--；【小问2详解】依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，其横坐标分别为,,,m n a b ，且m n a b <<<，由二次函数图象对称性可知：2m n +=-，由()()2log 1log 1a b --=-知()()111a b --=，则111b a =+-，11121111a ab a a a a a a =+=++=++----，111m n ab a a ∴++=+--，由(]0,3k ∈，得9,28a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，令1t a =-，则1,18t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故1m n ab t t++=+，由对勾函数的性质可得函数1y t t =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以652,8m n ab ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，即m n ab ++的取值范围为652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.已知函数3()log (91)x f x mx =++是偶函数，()33x x g x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】22.1m =-，1n =23.4,2⎡-+⎣【解析】【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.（2）首先根据()33x x g x -=-的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为()()240,0h t t at a t =-++>>恒成立即可，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题知函数()(),f x g x 定义域均为R ，∵()f x 是偶函数，∴()()11.f f =-即3310log 10log 3m m +=-，即 1.m =-此时()3()log 91x f x x =+-，而此时()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，所以()()()3log 33x x f x f x --=+=，且定义域关于原点对称，满足题意，∵()g x 是奇函数，∴()000330, 1.g n n =-⋅==此时()33x xg x -=-，所以()()()3333x x x x g x g x ---=-=--=-，且定义域关于原点对称，满足题意.【小问2详解】()33x x g x -=-在R 上单调递增，故有()()23f x ag x a <+对()0,x ∞∈+恒成立，又()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，∴()()()322log 3333333x x x x x x a a a -+---<+=++对()0,x ∞∈+恒成立.令33x x t ,-=-由()0,x ∞∈+知()0,t ∞∈+.则有24at a t <++对()0,t ∞∈+恒成立.即240t at a -++>对()0,t ∞∈+恒成立.令()()240.h t t at a t =-++>只需()min 0h t >即可.又()h t 对称轴为2a t =，当02a ≤即0a ≤时，()h t 在()0,∞+上单调递增，只需()040h a =+≥即可.∴40a .-≤≤当02a >即0a >时，()h t 在02a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增.∴()2min40.24a a h t h a ⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭解得22a -<<+∴02a <<+综上所述，a 的取值范围为4,2.⎡-+⎣【点睛】关键点睛：第一问的关键是利用奇偶函数的性质记得一定要检验，第二问的关键是利用函数单调性以及换元法来求解.。
高一12月月考数学试题(含答案)
高一12月月考数学试题(含答案)数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第 象限.3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有 个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||xx sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果 αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为 ．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分） 已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。
重庆市中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)
重庆市2023—2024学年度上期高2026级月考数学试题（答案在最后）（满分150分考试时间120分钟）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（）A.513B.－513C.512D.－512【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．【详解】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-.故选：B ．【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．2.函数()22xf x x =+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,0-C.()1,2 D.()2,3【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，判断()1f -、()0f 等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【详解】()3102f -=-<，()010f =>，且函数为增函数，由函数零点存在定理，()f x 的零点所在的区间是()1,0-．故选：B .3.直角坐标平面上将函数1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数()g x 的图像恒过定点（）A.(2,0)-B.(0,1)C.(2,1)- D.(0,1)-【答案】A 【解析】【分析】先求出()f x 的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.【详解】因为1()2x f x a +=-（0a >，1a ≠）,令10x +=，得=1x -，021y a =-=-，所以()f x 的图像过定点()1,1--，将定点()1,1--向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得()2,0-，所以()g x 的图像恒过定点()2,0-.故选：A.4.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（π3≈）A.185B.180C.119D.120【答案】C 【解析】【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式12S lr =，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案．【详解】设外弧长为1l ，外弧半径为1r ，内弧长为2l ，内弧半径为2r ，该扇面所在扇形的圆心角为α,∵扇形的弧长为l r α=，∴1136πl r α==，2215πl r α==，∵扇形的面积为12S lr =，∴该扇面画的面积为1122111361153572410119222π2ππS l r l r =-=⨯⨯-⨯⨯=≈，故选：C ．5.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，则不等式20cx bx a ++>的（）A.1125x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣ B.12x x ⎧<-⎨⎩∣或15x ⎫>-⎬⎭C.1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ D.15xx ⎧<⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，利用韦达定理得到7b a =-、10c a =，则不等式20cx bx a ++>化为210710x x -+<，解得即可.【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|25}x x <<，所以2x =、5x =为方程20ax bx c ++=的两根且a<0，所以2525b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以7b a =-、10c a =，所以不等式20cx bx a ++>，即为20710ax ax a -+>，即210710x x -+<，即()()21510x x --<，解得1152x <<，即不等式20cx bx a ++>的解集为1152xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣；故选：C6.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从（）年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A.2018 B.2019C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】根据题意得340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，再利用对数函数的性质解之即可得解.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%4002nny ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，由于第n 年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取对数得3lg 12n >，即115.67863lg 3lg 2lg 2n >=≈-，又*N n ∈，因此从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故选：D ．7.若关于x 的不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则a 的取值范围是（）A.510,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(,10)-∞-C.(,2)-∞- D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，转化为max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，求出33y x x =-的最大值可得答案.【详解】因为1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由不等式23(2)30x a x -+->得233323x a x x x-+<=-，不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，只需max 323a x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，因为33y x x =-在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y 的最大值为393222y =⨯-=，可得922a +<，解得52a <.故选：D .8.已知函数()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，(1)(21)0f m f m --+<成立，则实数m 的取值范围是（）A.(,2)(0,)-∞-+∞B.(2,0)-C.22,3⎛⎫--⎪⎝⎭ D.2(,2),3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()()1g x f x =-，由题意得到()g x 的性质，从而将问题转化为()()22g m g m <+，从而利用()g x 的奇偶性与单调性即可得解.【详解】令()()1g x f x =-，因为()f x 在[)1,-+∞是增函数，(1)=-y f x 关于y 轴对称，所以()g x 在[)0,∞+是增函数，且在R 上是偶函数，又()()(1),22(21)g m f m g m f m =-+=+，所以由(1)(21)0f m f m --+<，得()()220g m g m -+<，即()()22g m g m <+，则()()22g m g m <+，所以22m m <+，两边平方得()2222m m <+，解得2m <-或23m >-.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.“a b >"是“|||a b >∣”的充分不必要条件B.命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>C.设,x y ∈R ，则“2x 且2y ”是“4x y + ”的必要不充分条件D.“1m "是“关于x 的方程220x x m -+=有实根”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．【详解】对于A ，例如0,1a b ==-满足a b >，但a b <，所以A 错误；对于B ，特称命题的否定为全称命题，命题“()23,,9x x ∞∃∈-+ ”的否定是“()23,,9"x x ∞∀∈-+>，所以B 正确；对于C ，例如2,1x y ==满足224x y + ，但2y <，所以C 不正确；对于D ，方程220x x m -+=有实根Δ4401m m ⇔=-⇔≤ ，所以D 正确．故选：BD ．10.下列对应关系是从A 到B 的函数的是（）A.Z A =，Z B =，2:f x y x →=B.R A =，{}0B x x =>，:||f x y x →=C.Z A =，Z B =，:f x y →=D.{}11A x x =-≤≤，{1}B =，:1f x y →=【答案】AD 【解析】【分析】根据函数定义进行判断即可．【详解】根据函数定义，集合A 中的每一个元素，对应集合B 中唯一元素．对于A ，符合函数的定义，是从A 到B 的函数，故A 正确；对于B ，A 中有元素0，在对应关系下0y =，不在集合B 中，不是函数，故B 错误；对于C ，A 中元素0x <时，B 中没有元素与之对应，不是函数，故C 错误；对于D ，A 中任意元素，在对应关系下1y =，都在集合B 中，是从A 到B 的函数，故D 正确；故选：AD ．11.已知函数21()21x x f x -=+，下面说法正确的有（）A.()f x 的图象关于y 轴对称B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的值域为()1,1-D.12,x x R ∀∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-恒成立【答案】BC 【解析】【分析】判断()f x 的奇偶性即可判断选项AB ，求()f x 的值域可判断C ，证明()f x 的单调性可判断选项D ，即可得正确选项.【详解】21()21x x f x -=+的定义域为R 关于原点对称,()()2122112()()2112212x x x x x x x xf x f x --------====-+++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，22021x--<<+，所以211121x -<-<+，可得()f x 的值域为()1,1-，故选项C 正确；设任意的12x x <，则()()()121221121222()()1121212121212222221x x x x x x x x f x f x 骣琪-=---=-=琪++++++桫-，因为1210x +>，2210x +>，12220x x -<，所以()()()121222202121x x x x -<++，即12())0(f x f x -<，所以()()12120f x f x x x ->-，故选项D 不正确；故选：BC【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12.已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（）A.若2a b +=，则lg lg 0a b +≤B.若20ab a b --=，则29a b +≥C.若2a b +=，则1122a b ab +-≥D.若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+【答案】ACD 【解析】【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可．【详解】对于A ，因为0a >，0b >，所以2a b =+ ，故1ab ，当且仅a b =时取等号，此时()lg lg lg lg10a b ab +== ，故选项A 正确；对于B ，因为20ab a b --=，所以2ab a b =+ ，当且仅当2a b =时取等号，所以228a b ab ，解得8ab ，则28a b + ，故选项B 错误；对于C ，因为2a b +=，所以2111524244(2)a b b a a a b ab b ab b a +-=+-=+≥+，当且仅当552b -==时取等号，故选项C 正确；对于D ，因为111123a b +=++，所以27ab a b =++，所以271b a b +=-，因为0a >，0b >，所以1b >，所以41418237373(1)141461411b ab a b a b b b b b +++=++=++=-++=-- ，当且仅当1b =+时取等号，故14ab a b +++ ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角θ的终边经过点1(,22-那么tan θ的值是_______.【答案】33-【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角θ的终边经过点1(,),22-所以θ为第二象限角，tan 0θ∴<，由三角函数的定义可得12tan 32θ==-，故答案为3-.【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.14.已知幂函数()f x 满足以下条件：①()f x 是奇函数；②()f x 在(0,)+∞是增函数；③(2)3f >.写出一个满足条件①②③的函数()f x 的一个解析式()f x =______.【答案】3x 【解析】【分析】分别由幂函数，奇函数，增函数定义验证以及(2)3f >验证即可.【详解】因为3()f x x =，定义域为R ，关于原点对称；又()()33()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数；因为30>所以()3f x x =为()0,+∞上的增函数；()32283f ==>；故答案为：3x 15.计算7log 2334log lg 25lg 47log 8log +-+⋅______.【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算法则与换底公式计算即可得解.【详解】7log 234log lg25lg47log 8log ++-+⋅21333231log 27(lg 25lg 4)log 2l 22og 3=++⋅-+33321log 3lg1003213log 2log 26+⨯=+-312222=+-+2=.故答案为：2.16.设函数2343,0()1log ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，给出下列四个结论：①对0t ∀>，方程()f x t =都有3个实数根；②0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x f x -=；③若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是35(,5]9-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】分析并作出函数()f x 的图象，再利用图象判断各个命题得解.【详解】当0x ≤时，()f x 的图象是开口向上、对称轴为直线2x =-的抛物线243y x x =++在y 轴及左侧部分，当0x >时，()f x 的图象是对数函数3log y x =的图象向上平移1个单位而得，如图，对于①，观察图象知，当3t >时，方程()f x t =只有2个实数根，①错误；对于②，当00x >时，使得有00()()f x f x -=成立，即24+3y x x =-与31+log y x =有交点，而24+3(0)y x x x =->的图象与函数()f x (0)x <的图象关于y 轴对称，显然24+3(0)y x x x =->的图象与函数31+log y x =的图象有公共点，②正确；对于③，不妨设互不相等的实数123,,x x x 且123x x x <<，当满足123()()()f x f x f x ==时，由图可知1222+=-x x ，即124x x +=-，当0x >，()1f x =-，即31+log 1x =-时，19x =，当0x >，()3f x =，即31+log 3x =时，9x =，因此3199x <≤，所以1325359x x x -<++≤，③正确，所以所有正确结论的序号是②③.故答案为：②③四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）已知实数x ，y 满足21x -≤≤-，23y ≤≤，求32x y -的取值范围;（2）已知实数1x >，求21x x +-的最小值.【答案】（1）[12,7]--；（2） 1.【解析】【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值．【详解】（1）因为21x -≤≤-，所以633x -≤≤-，因为23y ≤≤，所以624y -≤-≤-，所以12327x y -≤-≤-，所以32x y -的取值范围是[12,7].--（2）1x >，则10x ->，所以22(1)111x x x x +=-++--11≥=当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，所以21x x +-的最小值为 1.18.已知函数()24,02,012,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩.（1）求函数()f x 的零点；（2）当43x -≤<时，求()f x 的值域.【答案】（1）1,22-（2）[)7,4-【解析】【分析】（1）根据题中所给的函数解析式，结合零点的定义分情况运算求解；（2）分情况求得函数在相应区间上的值域，取并集得结果.【小问1详解】当0x <时，令()120=+=f x x ，可得12x =-；当0x =时，可得()(0)20==≠f x f ，不合题意；当0x >时，令2()40==-f x x ，可得2x =或2x =-（舍去）；综上可得，函数()f x 的零点为1,22-．【小问2详解】当40x -≤<时，()12f x x =+，可得7121-≤+<x ，即()71-≤<f x ；当0x =时，()(0)2f x f ==；当03x <<时，2()4f x x =-，可得2544-<-<x ，即5()4f x -<<；综上可得，当43x -≤<时，求函数()f x 的值域为[)7,4-．19.已知函数()()0,1x f x a a a =>≠.（1）若()12f -=，求()()22f f +-的值.（2）若函数()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值.【答案】（1）174；（2）3或13.【解析】【分析】（1）由题意可得12a =，解得12a =，再代入求解即可.（2）讨论1a >和01a <<，运用指数函数的单调性，可得a 的方程，解方程即可得到所求值．【详解】（1）因为()x f x a =，()12f -=，所以12a =，解得12a =，当12a =时，()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22111722224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）①当1a >时，()x f x a =在[]1,1-上单调递增，所以()()()()1max min 8113f x f x f f a a--=--=-=，化简得23830a a --=，解得3a =或13a =-（舍去）.②当01a <<时，()x f x a =在[]1,1-上单调递减，所以()()()()1max min 8113f x f x f f aa --=--=-=，化简得23830a a +-=.解得13a =或3a =-（舍去）.综上可得实数a 的值为3或13.【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；2、问题中的条件是分类给出的；3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.20.已知集合{}2log (1)2A x x =+<，{}48x B x =>，{}22(21)0,C x x a x a a x A =-+++=∈.（1）计算A B ⋂；（2）若集合C 是单元素集，求实数a 的取值范围.【答案】（1）332xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣（2）23a ≤<或21a -<≤-【解析】【分析】（1）利用对数函数、指数函数的单调性求出集合,A B ，再由集合的交运算即可求解.（2）解方程求得集合C ，再利用单元素集的定义列出不等式组即可求解.【小问1详解】由2log (1)2x +<得()222log 1log 2x +<，又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则2012x <+<，即13x -<<，则{13}A xx =-<<∣，由48x >，得2322x >，故32x >，则32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∣，所以332A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ ∣.【小问2详解】解22(21)0x a x a a -+++=，得1x a =或21x a =+，所以{C x x a ==或}1,x a x A =+∈，因为集合C 是单元素集，{13}A xx =-<<∣，1a a <+，所以1313a a -<<⎧⎨+≥⎩或1113a a ≤-⎧⎨-<+<⎩，解得23a ≤<或21a -<≤-，所以实数a 的取值范围为23a ≤<或21a -<≤-.21.已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数；（2）若112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.【答案】（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭化为1(4)x f f x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，根据()f x 的单调性可解得结果.【详解】（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =，任取210x x >>，则211x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,∞+上是增函数；（2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，令1x =，2y =，则1((1)(2)2f f f =-，即10(2)f -=-得()21f =，再令2x =，4y =，则2((2)(4)4f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =，∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫++=≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()f x 在()0,∞+上递增得14x x +≥且0x >，得103x <≤.所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭的解集为1(0,3.【点睛】关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.22.已知函数()41()log 412x f x x =+-，x R ∈.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）若函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，求a 的取值范围；（3）若函数[]()22()421,0,log 3xf x xg x m x +=+⋅-∈，是否存在m ，使()g x 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）(,0)-∞；（3）存在，1m =-.【解析】【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；（2）根据函数()f x 的图象与直线12y x a =+没有公共点，用分离参数法；（3）复合函数问题，用换元法，令2x t =，讨论2()g t t mt =+即可.【详解】解：（1）证明：因为x ∈R ，又()()4411()()log 41log 4122x x f x f x x x ---=++-++4444141log log 4log 104141x x x x x x --⎛⎫++=+=⨯== ⎪++⎝⎭，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数.（2）原题意等价于方程()411log 4122+-=+x x x a 无解，即方程()4log 41=+-x a x 无解.令()4()log 41x h x x =+-，因为()444411()log 41log log 144x xx x h x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，显然1114x+>，于是()0h x >，即函数()h x 的值域是(0,)+∞.因此当0a ≤时满足题意.所以a 的取值范围是(,0)-∞.（3）由题意1()2()42142f x x x x x g x m m +=+⋅-=+⨯，[]20,log 3x ∈.令2x t =，则[1,3]t ∈.则2()g t t mt =+，[1,3]t ∈.①当2m ≥-时，12m -≤，min ()10g x m =+=，解得1m =-；②当62m -<<-时，132m <-<2min ()04m g x =-=，解得0m =（舍去）；③当6m ≤-时，32m -≥min ()930g x m =+=，解得3m =-（舍去）.综上，存在1m =-，使得()g x 最小值为0.【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-；。
12月月考高一数学
高一数学月考试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y x x上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45， 腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A.2221+B. 22+C. 21+D. 221+ 4、已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④12y x =；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②5、已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则圆柱 的表面积是 （ ）A ．16πB ．8πC ．24πD ． 32π6. 已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为：（ ）A 、7B 、-5C 、3D 、-18、计算3log 213lg lg52+-的结果为(A)2 (B)1 (C)3 (D)-1 9、 设y 1=40.9,y 2=lo 4.3,y 3=()1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 210、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β ，有以下四个命题：①α∥β => l ⊥m ②α⊥β => l ∥m ③l ∥m => a ⊥β ④l ⊥m => α∥β其中正确的两个命题是（ ）（A ）①与② B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11、已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为_________．12.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上为增函数,则m =___________.13、一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____．14、 已知长方体的全面积是11，十二条棱长度之和是24，则这个长方体的一条对角线长为 15、A 、B 、C 是球O 上的三点，⊿ABC 是边长为33cm 的正三角形，球O 的半径为4cm,则球心O 到平面ABC 的距离是密 封 线 内 不 准 答 题姓 名 班 级 考三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. （本小题12分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{}1,3A =，{}2,3,4B =，则()()U UA B =（ ）A ．{}1B ．{}5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】先求,A B 的补集，然后求两个集合的交集，即可得答案. 【详解】依题意，{}{}2,4,5,1,5UU A B ==，所以()(){}5U U A B ⋂=. 故选：B.2．设集合(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈，若A B ，则()p x 是()q x 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据集合的关系及充分条件，必要条件的概念即得. 【详解】因为A B ，(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈， 所以()p x 是()q x 的充分非必要条件. 故选：B.3．设命题p ：x ∀∈R ，4221x x +>．则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，4221x x +≤． B ．x ∀∈R ，4221x x +≤． C ．x ∃∈R ，4221x x+<． D ．x ∀∈R ，4221x x+<． 【答案】A【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得p ⌝为x ∃∈R ，4221x x +≤． 故选：A.4．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放632粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，1121=-，2321=-，3721=-，41521=-，53121=-，……．小明又查到一个数据：710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米，lg 20.3010=，lg1.8360.2640=．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（ ） A ．0.0012米 B ．0.012米 C ．0.12米 D ．1.2米【答案】C【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得64个方格上一共有6421-粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，可得71364210 1.51110=⨯⨯-h ，两边取对数计算可得答案.【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列， 那么64个方格上一共有6464112212-=--粒米， 设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，因为710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米， 所以71364210 1.51110=⨯⨯-h ， 可得()64641371372112lg lg lg lg 1.51010 1.51010h ⎛⎫-=⨯≈-⨯ ⎪⨯⎝⎭， 用lg1.8360.2640=近似替代lg1.5，所以()641372lg lg 1.51064lg 27lg1.51364lg 2lg1.52010-⨯=---=--0.30100.264020164⨯--=-≈，即lg 1=-h ，可得0.1h =，又0.10.12≈，故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为0.12（米）. 故选：C.5．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）A ．()2xf x =与()2log g x x =B ．()12f x x =与()32g x x -=C ．()12f x x -=与()13log g x x =D ．()2f x x -=与()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质逐项分析即得.【详解】因为函数()2xf x =的值域为()0,∞+，函数()2log g x x =的值域为R ，故A 不合题意； 因为函数()12f x x =的值域为[)0,∞+，函数()32g x x -=的值域为()0,∞+，故B 不合题意；因为函数()12f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13log g x x =的值域为R ，故C 不合题意；因为函数()2f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，故D 正确.故选：D.6．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，（ ）A ．()2f x x x =- B ．()2f x x x =+C ．()2f x x x =-- D ．()2f x x x =-+【答案】C【分析】根据函数的奇偶性求解0x <的解析式. 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 当0x <时，0x ->，所以()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦， 故选：C7．函数()22221x x f x x -+=的图像简图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题可得()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭可排除AB ，然后根据0x <时函数值的范围可排除C.【详解】因为()()2222221221111x x x x f x x x x --+⎛⎫===+- ⎪⎝⎭+， 所以()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，故排除AB ；当0x <时，()2111112f x x ⎛⎫=+->+= ⎪⎝⎭，故排除C.故选：D.8．已知函数()231x x k f x x +=--有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数零点问题转化为曲线23y x x =+与直线1y kx =+的交点问题，如图分析临界直线，可得k 的取值范围.【详解】2310x x kx +--=,即231x x kx +=+，函数1y kx =+表示恒过点()0,1的直线，如图画出函数23y x x =+，以及1y kx =+的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点()3,0-，此时直线的斜率()101033k -==--，另一个临界值是直线与23y x x =--相切时，联立方程得()2310x k x +++=，()2340k ∆=+-=，解得：1k =-，或5k =-，当1k =-时，切点是1,2如图，满足条件，当5k =-时，切点是()1,4-不成立，所以1k =-，如图，曲线23y x x =+与直线1y kx =+有4个交点时，k 的取值范围是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题9．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log g x x =，()12h x x -=，在区间()0,+∞上（ ）A ．()f x 递减速度越来越慢B ．()g x 递减速度越来越慢C ．()h x 递减速度越来越慢D ．()g x 的递减速度慢于()h x 递减速度【答案】ABC【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间()0,+∞上，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭递减速度越来越慢，故A 正确；()12log g x x =递减速度越来越慢，故B 正确；()12h x x -=递减速度越来越慢，故C 正确；()h x 的递减速度慢于()g x 递减速度，故D 错误.故选：ABC.10．已知12a <<且53b -<<，则（ ） A ．a b +的取值范围是()4,5- B ．a b -的取值范围是()2,7- C ．ab 的取值范围是()10,6- D ．b a 的取值范围是35,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】因为12a <<且53b -<<，35b -<-<， 所以45a b -<+<，27a b -<-<，故AB 正确；当50b -<<时，05b <-<，又12a <<，所以010ab <-<，故100ab -<<； 当03b <<时，又12a <<，所以06ab <<；当0b =时，0ab =； 综上，12a <<且53b -<<，可得106ab -<<，故C 正确；当50b -<<时，05b <-<，又1112a <<，所以05ba <-<，故50b a -<<；当03b <<时，又1112a<<，所以03ba <<；当0b =时，0b a =；综上，12a <<且53b -<<，可得53b a-<<，故D 错误. 故选：ABC.11．函数()()2ln e 1xf x x =+-，则（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为RC ．()f x 是偶函数D ．()f x 在区间[)0,+∞上是增函数【答案】ACD【分析】由题可得函数的定义域判断A ，根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B ，根据奇偶性的定义可判断C ，根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.【详解】因为函数()()2ln e 1xf x x =+-，所以函数()f x 的定义域为R ，故A 正确；因为()()()()222e 1ln e 1ln e 1ln e ln ln e e ex xxxx x x f x x -+=+-=+-==+，又e e 2-+≥x x ，当且仅当e e x x -=，即0x =取等号，所以()ln 2f x ≥，故B 错误；因为()()()ln e e x xf x f x --=+=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；因为函数e x t =在[)0,+∞上单调递增，且e 1x t =≥，根据对勾函数的性质可知1u t t=+在1t ≥上单调递增，又函数ln y u =为增函数，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，故D 正确. 故选：ACD.12．若定义在R 上的函数()f x 满足： （ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =； （ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=． 则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（ ） A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x += B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A 选项，赋值法得到()()f x a f x a +=--，从而得到()()4f x a f x +=； B 选项，令20x =得到()01f =，再令120,x x x ==-得到()()=f x f x -，B 正确； C 选项，可举出反例； D 选项，令12x x t 得到()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，令2t x =，则()1f x ≥-，由()()f x a f x a +=--，得到()()2f x a f x +=-，故可得()()21f x a f x +=-≤，求出函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 【详解】令12,x x x a ==得()()()()20f x a f x a f x f a ++-==，故()()f x a f x a +=--， 上式中，用2x a -代替x 得：()()22f x a a f x a a -+=---，即()()3f x a f x a -=--， 从而()()3f x a f x a +=-，故()()4f x a f x +=，A 正确；()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，令20x =得：()()()()11120f x f x f x f +=，即()()()11022f x f x f =，∵1R x ∈，()1f x 不恒为0， ∴()01f =，令120,x x x ==-，得()()()()20x f f x x f f +=--，即()()=f x f x -， 又()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 为偶函数，B 正确；不妨令()cos f x x =，满足()()()()12121212cos cos f x x f x x x x x x ++-=++- 1212121212cos sin sin c 2cos s co os in sin co s co s s x x x x x x x x x x =-++=，故()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，此时存在3π2a =，使得3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且存在π3b =，使得()0f b ≠；但函数()f x 在区间0,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；令12x x t 得：()()()2220f f f t t +=⎡⎤⎣⎦，即()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，所以()12f t ≥-，令2t x =，则()1f x ≥-，因为()()f x a f x a +=--，所以()()2f x a f x +=-， 因为()1f x ≥-，所以()()21f x a f x +=-≤， 故函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 故选：ABD三、填空题13．51log 25+=______． 【答案】10【分析】根据对数运算求解即可. 【详解】解：551log 2log 215055521+==⨯=⨯ 故答案为：1014．设2log 3a =，3log 5b =，则5log 6=______． 【答案】1a ab+【分析】利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵2lg3log 3lg 2a ==，3lg 5log 5lg 3b ==， ∴lg 3lg 2=a，lg5lg3=b ， ∴5lg31lg31lg 6lg 2lg3l 1lg5lg3l o 3g g 6++++=====a a a b b b ab ． 故答案为：1a ab+. 15．设方程1502xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的解为1x ，2x ，方程12log 50x x +-=的解为3x ，4x ，则1234x x x x +++=______．【答案】10【分析】在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，设1324x x x x <<<，根据函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称得点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称，求出5、==-y x y x 的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案.【详解】由方程1502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得152⎛⎫=- ⎪⎝⎭xx ，由方程12log 50x x +-=得12log 5=-x x ，在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，不妨设1324x x x x <<<，如下图，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称，即点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称， 由5y x y x =⎧⎨=-⎩解得5252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即两直线的交点为55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则231455,2222x x x x ++==，则123410x x x x +++=. 故答案为：10.16．如果函数()()2log 3log 1log a a a f x x a x-=+>在区间[]2,3上是减函数，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)3,+∞【分析】根据2log 3a -的正负，考虑13a <≤3a >log 32log 3a a -.【详解】()()2log 3log 0,1log a a a f x x a a x-=+>≠，设log a t x =，当13a <≤2log 30a -≤，()2log 3a f t t t-=+单调递增，log a t x =单调递增，故函数()f x 单调递增，不成立；当3a >2log 30a ->，log a t x =单调递增， 故()2log 3a f t t t-=+在[]log 2,log 3a a t ∈上单调递减，故log 32log 3a a - 解得2log 31a -≤≤，故3a ≥.综上所述：3a ≥. 故答案为：[)3,+∞四、解答题17．设a ,b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -．【答案】2b a -=【分析】根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得0a b +=，进而分析可得a 、b 的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-，∴1ba=-， 1b =；故1a =-，1b =， 则2b a -=， 故答案为：2【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．18．（1）设()xf x a =（0a >且1a ≠），证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；（2）设()212xx g x -+=，证明：()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）结合均值不等式及幂运算即可证明；（2）结合（1）中121222x x x x a a a ++≥得()()()()1222211112222x x x x g x g x -++-++≥，结合均值不等式可得()()22221121221111222xx x x x xx x -++-+++⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即可证.【详解】（1）证明：()()121212122222x x x x f x f x x x a a a f ++++⎛⎫=≥== ⎪⎝⎭；（2）证明：由（1）得：()()()()222221111222111112222222x x x x x x x x g x g x -++-+-+-+++=≥，因为()()222211221212111222xx x x x x x x -++-+++=-+22212121212122114222x x x x x x x x x x +++++⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2222121212221111222x x x x x x x x ++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-++-+≥， 故()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为()f x ．(1)试确定()0f 的值，并解释其实际意义； (2)设()f x cc x=+，其中c 是正的常数．现有A （A >0）个单位量的水，计划把水分成2份后清洗两次，设第一次清洗用水m （0m A <<）个单位量，第二次清洗用水A m -个单位量，试问m 为何值时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由． 【答案】(1)()01f =，答案见解析； (2)当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，理由见解析.【分析】（1）根据实际意义结合条件即得；（2）由题可得两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比，然后利用基本不等式即得.【详解】（1）由题意可规定()01f =，表示的是未用清水冲洗蔬菜时，蔬菜上残留的农药量没有变化： （2）两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为：()()()()()2c c c y f m f A m c m c A m c m c A m =⋅-=⋅=++-++-⎡⎤⎣⎦，其中0m A <<,因为()()()()222=2c m c A m A c m c A m c +++-⎡⎤⎛⎫++-≤+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()c m c A m +=+-时，即2Am =时等号成立，所以()()222c y f m f A m A c =⋅-≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2A m =时等号成立． 所以，当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少． 20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t（单位：h ）间的关系为：0e ktP P -=，其中0P ，k 是正的常数．(1)如果过滤5h 消除了废气中20%的污染物，求：过滤15h 后，废气中还剩百分之几的污染物； (2)如果过滤5h 消除了废气中%M 的污染物，那么需要过滤多少时间，废气中的污染物减少50%？（用M 表示）【答案】(1)还剩51.2%的污染物； (2)()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--）【分析】（1）由题可得5e 120%k -=-，然后可得15t =时污染物含量，即得； （2）根据条件表示出k ，然后利用函数关系式进而即得. 【详解】（1）因为过滤5h 消除了废气中20%的污染物，所以()500120%ek P P --=，即5e 120%k -=-， 所以当15t =时，()31500e 120%t P P P -==-00.512P =，即过滤15h 后，废气中还剩51.2%的污染物：（2）由题意得()()500001%e 150%e kkt M P P P P --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，即()()00ln 1%5150%e kt M k P P -⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩， 所以，()()ln 1% 500150%eM t P P --=，从而，()ln 1%ln 0.55M t -=， 即，()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--） 21．已知函数()f x 是函数x y a =（0a >且0a ≠）的反函数，且()21f =． (1)求函数()f x 的解析式； (2)设()()1g x f x =-．（i ）写出函数()g x 的单调区间，并指明单调性；（无需证明）（ⅱ）求()g x 在区间[],1t t +（其中R t ∈且0t >）上的的最小值()h t 和最大值()H t ． 【答案】(1)()2log f x x =(2)（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数；（ⅱ）()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩【分析】（1）首先设函数()log a f x x =，代入()21f =，即可求解；（2）（ⅰ）首先去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数的解析式，直接判断函数的单调区间； （ⅱ）根据函数的单调性，讨论t 的取值，分别求函数的最值.【详解】（1）由题意得()log a f x x =，且log 21a =，所以2a =，从而()2log f x x =．（2）()2221log ,02log 1log 1,2x x g x x x x -<<⎧=-=⎨-≥⎩（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数． （ⅱ）当012t t <<+≤时，即1t ≤时，()()()211log 1h t g t t =+=-+，()()21log H t g t t ==-．当2t >时，()()2log 1h t g t t ==-，()()()21log 11H t g t t =+=+-． 当21t t ≤<+时，即12t <≤时，()()20h x g ==，()()()()()22221log 111log log 1log 2g t g t t t t t +-=+---=++-⎡⎤⎣⎦当1t <≤()()21log H t g t t ==-；2t <≤时，()()()21log 11H t g t t =+=+-； 综上，()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩22．已知函数()232log 1x ax bf x x cx ++=++同时满足下列三个条件：（i ）函数()f x 的定义域是R ：（ⅱ）函数()f x 是奇函数； （ⅲ）函数()f x 的最大值是1． 求()f x 的解析式．【答案】()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．【分析】由题可知()30log 0f b ==，然后根据奇函数可得22a c =，结合条件可得22420x cx ++≥恒成立，且等号成立，进而即得.【详解】由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()30log 0f b ==，即1b =， 又()()f x f x -=-，所以223322log log 11x ax b x ax b x cx x cx -+++=--+++，所以222211111x ax x ax x cx x cx -+++⋅=-+++， 即()()2222222211x a x x c x +-=+-恒成立；所以22a c =，可得a c =或a c =-， 当a c =时，()0f x =，不合题意， 所以a c =-，()2321log 1x cx f x x cx -+=++， 由题知当x ∈R 时，()232log 11x ax bf x x cx ++=≤++，即22131x cx x cx -+≤++恒成立，且等号成立， 即当x ∈R 时，22420x cx ++≥恒成立，且等号成立； 所以，()244220c ∆=-⨯⨯=， 解得：1c =或1c =-，从而，()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+，经检验，符合题意；故()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．。
高一数学12月月考试题及答案 (1)
高一年级数学第三次月考试题（考试时间：120分钟， 分值：120分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x12 B ．y ＝x 4 C ．y＝x －2 D ．y ＝x 32．函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如所示，则函数y ＝f(x)·g (x)的图象可能为( )3．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5-4．设12log 3a =，0.213b =⎛⎫ ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）.A . ab c << B. c b a << C . c a b << D. b a c <<5．已知集合{}1|1242x N x x +=∈<<Z ，，{11}M=-，，则MN =（ ）A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 6．如图，已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的部分图象，则函数的表达式为（ ）A ．y ＝2sin （61110π+x ） B ．y ＝2sin （61110π-x ） C ．y ＝2sin （2x ＋6π） D ．y ＝2sin （2x －6π)7．根据表格中的数据，可以断定方程20xex --=的一个根所在的区间是（ ）．A ． （－1，0）B ． （0，1）C ． （1，2）D ． （2，3）8. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D.9．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 10.定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，设-b a ≤，给出下列不等式其中正确不等式的序号为（ ）①()()0f a f a -≤, ②()()0f b f b -≥, ③()()()()f a f b f a f b +≤-+-, ④()()()()f a f b f a f b +≥-+-A. ①④B. ②④C. ①③D.②③ 11．已知1(0)()0(0)x f x x ≥⎧=⎨<⎩ ， 则不等式()2xf x x +≤的解集为 （ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．](,2-∞ D ．](,1-∞ 12．已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(2,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上． 13.已知cos α=5-13,α为第二象限角，则tan α= _______ 14.函数11+=-x ay (0,1)a a >≠的图象恒过定点 _______15．y =log 2(x 2－2x ＋3)的单调增区间是_________x y cos =4π)421cos(πx y +=)42cos(πx y +=)821cos(πx y +=)22cos(πx y +=16．对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）=x 0，则称x 0是函数f （x ）的一个不动点．若函数2()21f x ax x =++有一个不动点，则实数a 的取值集合是______________．三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题8分） 已知函数f(x)=2sin(2x+6π)（1）求()f x 的最小正周期及()f x 的对称中心： （2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 18．（本小题8分）已知集合U R =，{A x y ==，{()112xB y y ==+，}21x -≤≤-，{}1C x x a =<-．（1）求A B ；（2）若CUA ，求a 的取值范围．19. (本小题10分)设函数)0()2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8π=x ，（1）求ϕ的值并写出)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 的单调增区间；20．(本小题10分)已知f (x )＝12x －1＋12．(1)求f (x )的定义域； (2)证明f (x )是奇函数21．(本小题10分)若函数f (x )满足对于定义域内任意两个不等的实数x 1，x 2都有：2)()(21x f x f + >f (x 1＋x 22)则称函数f (x )为H 函数．已知f (x )＝x 2＋cx ，且f (x )为偶函数． (1)求c 值；(2)求证f (x )为H 函数22.（本小题10分）已知函数212(),03()11,02x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩.（1）写出该函数的单调区间；（2）若函数()()g x f x m =-恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围。
天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。
高一数学12月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校、二零二零—二零二壹高一年级12月联考数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕2,1,0,1P，|1Q x y x ，UPQA.2,1B.2 C.0,1D.1,0,1【答案】B 【解析】 【分析】对于集合Q ，求得函数的定义域，然后求得Q 的补集，再和集合P 取交集得到结果. 【详解】对于集合Q，依题意有10x ，解得1x，故,1U C Q，所以2U PC Q.【点睛】本小题主要考察集合的研究对象，考察集合的补集和交集，以及函数的定义域的求法，属于根底题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.A.420B.860C.1060D.1260 【答案】C 【解析】 【分析】 将角化为360k 的形式，由此判断出角的终边所在象限.【详解】42036060位于第一象限；8602360140位于第二象限；1060336020位于第四象限；12603360180位于x 轴负半轴.综上所述，选C.【点睛】本小题考察任意角，考察角的终边所在的象限.要将角化为360k ，由此判断出角终边所在象限.3.以下各组函数中，表示同一函数的是A.1,y y xB.211,1x yx y x C.33,y x yxD.2,yx yx【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的三要素即可判断出．【详解】A ．y=1，x∈R；y=x 0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；B ．y=x ﹣1，x∈R；y=211x x ，x≠﹣1，定义域不同，不表示同一函数；C ．y=x ，33yx =x ，定义域与对应法那么都一样，表示同一函数；D ．y=|x|，x∈R；2()yx ，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．综上可知：只有C 正确． 应选：C ．【点睛】此题通过判断函数是否为同一函数主要考察函数的定义域、值域以及对应法那么，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考察学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法那么是否都一样，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4.以下函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的是A.12y xB.1()2xyC.21y xD.23y x【答案】D 【解析】 【分析】先排除不是偶函数的选项.然后判断剩余选项在0,上的单调性，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于函数定义域是0,，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，排除A 选项.当0x时，12xy ，21yx 为减函数，排除B 、C 选项.23y x 符合题目要求，应选D.【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性以及函数的单调性.判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域是否关于原点对称.cos 0，且tan 0，那么角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限. 【详解】由于cos 0，故角为第一、第四象限角.由于tan 0，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.应选D.【点睛】本小题主要考察三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.lg 2100x x 的根所在的一个区间是A.〔3，4〕B.〔4，5〕C.〔5，6〕D.〔2，3〕 【答案】B【解析】 【分析】 构造函数lg 210f x x x ，利用零点存在性定理判断函数零点所在的区间，也即是方程的根所在的区间.【详解】构造函数lg 210f x x x ，3lg340,4lg420,5lg50f f f ，根据零点的存在性定理可知，函数的零点即对应方程的根在区间4,5，应选B.【点睛】本小题主要考察方程的根和函数零点的对应关系，考察零点的存在性定理的应用，属于根底题.sin 26f xx的图像向右平移6个单位后，所得的图像对应的解析式为〔〕A.y sin 2xB.ycos2xC.ysin(2)6xD.y2sin(2)3x【答案】C 【解析】试题分析：根据三角函数图像变换规律：左正右负，因此图像向右平移6个单位，所以，选C.考点：三角函数图像变换2lg+2x f x x x 的图像关于〔〕对称 A.原点B.x 轴C.直线1x D.y 轴【答案】A 【解析】 【分析】 通过计算f x f x可知函数图像关于原点对称.由此得出正确选项.【详解】由202x x ，解得2x 或者2x .22lglg21x x f x x x f xx x ，故函数为奇函数，图像关于原点对称.应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的对称性，考察函数奇偶性的判断.要验证一个函数是奇函数，还是偶函数，首先要求得函数的定义域，假设定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数，.然后通过计算f x，化简后看是等于f x还是f x，由此来判断出函数的奇偶性.sin2cos 0，那么2sin 3sin cos的值是A.25B.25C.35D.35【答案】B 【解析】 【分析】 先利用条件求得tan的值，然后对所求的式子除以22sin cos ，再分子分母同时除以2cos ，变为tan的式子，来求得表达式的值.【详解】由sin 2cos得sintan2cos.2sin 3sin cos22222sin 3sin cos tan 3tan462sin cos tan 1415.应选B. 【点睛】本小题主要考察同角三角函数关系式，考察齐次方程的计算.同角三角函数关系包括平方关系22sin cos 1和商数关系sin tancos.形如sin cos sin cos x xx x、2sin sin cos x x x 此类的式子，都可以通过化简为齐次方程的方法，变两弦为正切，来求解出表达式的值.属于根底题.11015ln 2,3,log 6a b c ，那么A.a b cB.a c bC.c a bD.b a c【答案】D【解析】 【分析】首先找到小于零的，然后找到0,1之间的，再找到1,的，由此确定三个数的大小关系.【详解】依题意1155log 6log 10c，另外两个数是正数，故c 是最小的.由于ln 2lne 1a ，，1010331b ，故b a c ，所以选D.【点睛】本小题主要考察根据指数函数和对数函数的性质比较大小，利用的是“0,1分段法〞，属于根底题.11.23,1log ,1a a x a x f xx x 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是A.1, B.,2C.1,2D.1,22【答案】C 【解析】 【分析】由于函数是R 上的递增函数，故分段函数的每一段都是增函数，且第一段的最高点，不高于第二段的最低点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于函数是R 上的递增函数，故20123log 1a a a a a解得12a .应选C.【点睛】本小题主要考察分段函数的单调性，考察一次函数的单调性和对数函数单调性的判断.对于一次函数y kx b 来说，当0k 时，函数为单调递增函数，当0k 时，函数为单调递减函数.对于指数函数log a yx 来说，当1a 时，函数为增函数，当01a 时，函数为减函数.2231m m f x m m x 是幂函数，对任意12,0,,x x ，且12x x ，满足12120f x f x x x ，假设,a b R ，且f a f b的值是负值，那么以下结论可能成立的是A.0,0ab ab B.0,0a b abC.0,0a b abD.以上都可能【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是幂函数，求得m 的两个值，然后根据函数在0,上是增函数，确定m 的详细值.再结合函数的奇偶性可判断得正确选项. 【详解】由于函数f x 为幂函数，故211m m ，解得1,2m m .当1m时，21f x x ，当2m 时，3f x x .由于“对任意12,0,,x x ，且12x x ，满足12120f x f x x x 〞故函数在0,上为增函数，故3f xx .由于fx f x，故函数值单调递增的奇函数.由于0f a f b，所以0a b 且0ab ，应选C.【点睛】本小题主要考察求解幂函数的解析式，考察幂函数的单调性以及奇偶性.属于中档题. 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.1,0()4,0x x x f x x ，那么2f f______【答案】34【解析】 【分析】 先计算2f 的值，将此值再代入对于的函数解析式内，求得最终的函数值.【详解】依题意24242f ，4413212144f . 【点睛】本小题考察分段函数求值，考察指数运算，考察根式的运算，考察运算求解才能，属于根底题.2()(2)(1)2f x k x k x 是定义在,a b上的偶函数，那么k a b______【答案】1【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求得a b 的值.根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，求得k 的值，由此求得ka b 的值.【详解】由于函数为偶函数，故定义域关于原点对称，故0a b .根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，即10k，故1k ，所以101k a b .【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，奇函数或者者偶函数的定义域要关于原点对称，属于根底题.πcos 23f xx的图像右移个单位所得图像关于原点对称，那么的最小值为______ 【答案】5π12【解析】 【分析】 先求得函数右移个单位之后的解析式，再根据新的函数图像关于原点对称，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】函数图像向右移个单位后得到ππcos 2cos 2233xx ，由于新的函数图像关于原点对称，故ππ22132k ，故ππ21322k ，由于0，所以当1k 时，获得最小为5π12. 【点睛】本小题主要考察三角函数图像变换，考察三角函数诱导公式以及三角函数的对称性，属于根底题.32,1x f xa g xx ，假设存在12,0,1x x ，使得12f xg x 成立，那么实数a 的取值范围是______【答案】1,1【分析】 先求得函数,f x g x在0,1上的值域，使两个值域的交集不为空集的a 的范围即是所求.【详解】函数f x和函数g x都是0,1上的增函数，故值域为1,2,1,2f x a ag x ，要使两个值域有交集，那么112a a，或者者122a a ，解得01a ，或者者10a ，即1,1a .【点睛】本小题主要考察函数的单调性，考察函数的值域，考察存在性问题的求解.属于中档题.题目所给的函数一个含有指数，一个含有幂函数.指数函数的单调性要看底数，底数大于1，那么为增函数，底数在0和1之间，那么为减函数.幂函数的指数大于零时，在第一象限是增函数.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔Ⅰ〕计算4114422212e0.040.25log 322〔其中e 为自然对数的底数〕； 〔Ⅱ〕化简22314sin(1050)tan()cos()(1tan 20)cos 2043．【答案】〔I 〕e ；〔II 〕1.【解析】 【分析】 〔I 〕由于2e ，故442e2ee 2，522log 32log 25，其它的将小数化为分数，利用指数运算的公式化简.然后求这几个式子的和.〔II 〕sin 1050sin 336030sin30，31πππtantan 8πtan444，4π2π2πcos cos2πcos333，最后一个式子中21tan 20的正切转化为两弦来化简.【详解】〔Ⅰ〕原式=〔Ⅱ〕原式==【点睛】本小题主要考察利用根式、指数和对数的运算公式化简式子，考察利用三角函数诱导公式化简求值，属于根底题.2,0()1,()1,0x x f x x g x x ，求()()f g x g f x 和的解析式．【答案】21,00,0x x f g xx ,21,11,1x x g f xx【解析】 【分析】 求f g x时，将g x的表达式代入函数f x 解析式，直接交换x 即可.求g f x时，先令10x 求得1x，代入g x 第一段，令10,1x x ，代入g x的第二段，由此求得函数g f x的解析式.【详解】由题意，即【点睛】本小题主要考察符合函数的解析式的求法，在求解过程中，特别是分段函数，要注意求定义域.属于根底题.()log (1),()log (1)a a f x x g x x ，〔其中0,a 且1a 〕． 〔Ⅰ〕求函数()()y f x g x 的定义域； 〔Ⅱ〕判断函数()()yf xg x 的奇偶性,并予以证明．【答案】〔I 〕1,1；〔II 〕偶函数，证明见解析.【解析】【分析】〔I 〕取函数f x和g x 定义域的交集，得到函数y f x g x 的交集.〔II 〕通过化简f x g x f x g x ，可证得函数为偶函数.【详解】〔Ⅰ〕使函数有意义,必须有解得 所以函数y f x g x 的定义域是 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知函数的定义域关于原点对称.且y f x g x 所以函数是偶函数【点睛】本小题主要考察函数定义域的求法，考察函数的奇偶性的判断.判断一个函数的奇偶性，首先要求得函数的定义域，然后根据奇函数和偶函数的定义，通过定义来判断函数的奇偶性.20.根据场调查，某型号的空气净化器有如下的统计规律，每消费该型号空气净化器x 〔百台〕，其总本钱为()P x 〔万元〕，其中固定本钱为12万元，并且每消费1百台的消费本钱为10万元〔总本钱=固定本钱+消费本钱〕，销售收入()Q x 〔万元〕满足20.522,016()224,16x x x Q x x ，假定该产品销售平衡〔即消费的产品都能卖掉〕，根据上述统计规律，请完成以下问题：〔Ⅰ〕求利润函数()y f x 的解析式〔利润=销售收入-总本钱〕； 〔Ⅱ〕假定你是工厂老板，你该如何决定该产品消费的数量？【答案】〔I 〕20.51212016()212-1016x x x f x x x ；〔II 〕应该决定消费16百台，因为这样可使利润最大.【解析】【分析】〔I 〕收件计算得总的本钱P x ，用销售收入减去总本钱得到销售利润的解析式.〔2〕利用二次函数的单调性和一次函数的单调性，对销售利润的两段解析式，分别求得最大值，比较后可得到利润的最大值.【详解】〔I 〕由题意得)1012P x x （故20.51212016212-1016x x x f xx x 〔II 〕当16x时，函数f x 递减，∴212-101652f x 万元 当016x 时，函数20.51212f x x x ,当x=16时获得最大值， 当16x 时，f x 有最大值308万元所以应该决定消费16百台，因为这样可使利润最大.【点睛】本小题主要考察利用函数来解决实际问题，求出函数表达式后，利用一次函数和二次函数的单调性来求得最大值.属于根底题.1,(20)()2sin(),(0)kx x f x x x 的局部图像如图，其中(0),(0,)2， 〔Ⅰ〕求k 、、的值 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调增区间〔Ⅲ〕解不等式()1f x ． 【答案】〔I 〕11π,,226k ；〔II 〕*2π4π2π2,,4π4π333k x k k N ；〔III 〕*8π2,04π,4π3k k k N . 【解析】 【分析】 〔I 〕根据直线过的两个点的坐标，求得k 的值.利用三角函数图像局部的零点和最小值点间的间隔，求得的值，利用8π,23，求得的值.〔II 〕先利用三角函数的单调性，求得当0x 时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.〔III 〕根据图像可知函数在2,0时符合题意.当0x 时，1π2sin126f x x，解三角不等式求得x的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.【详解】〔Ⅰ〕由题知由的图像知24 T，得1 2由故〔Ⅱ〕当时。
洛阳市第一高级中学2020_2021学年高一数学12月月考试题
河南省洛阳市第一高级中学2020—2021学年高一数学12月月考试题一、选择题(本题共计12 小题,每小题5分，共计60分）1。
下列命题中正确的有①一个棱柱至少有个面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；A。
个 B.个 C.个D。
个2. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则A．B．C．D．3。
如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为，则四棱锥的体积为A.B。
C.D.4。
我国古代数学名著《九章算术》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量为（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)A.寸B。
寸 C.寸D。
寸5。
已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为,则该圆锥的体积为A。
B。
C。
D。
6. 如图,在直三棱柱中，,，若半径为的球与三棱柱的底面和侧面都相切,则三棱柱的体积为A.B。
C。
D.7. 若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为A。
B。
C。
D。
8。
在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为A. B. C. D.9. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥为鳖臑,平面，,，且三棱锥的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为A. B.C。
D。
10.如图，在四面体中,已知,，，则四面体被截面分得的上下两部分的体积之比为A.B。
C。
D。
11. 如图所示，正方体的棱长为，，分别为，的中点，点是正方形内的动点包括边界,若平面,则动点的轨迹长度为A. B.C。
D.12. 如图，在正方体中,点，,分别是棱的中点，给出下列四个推断：①平面;②平面；③平面；④平面平面; ⑤平面平面。
高一数学12月月考试题 试题
某校2021-2021学年高一数学12月月考试题〔无答案〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕 ，集合，，那么〔 〕A ．B ．C ．D ．2．在0~2π范围内，与角43π-终边一样的角是〔 〕 A ．23π B ．3π C ．6π D ．43π 3．函数，那么的值是〔 〕A ．B ．C ．D ．4．以下函数中,在其定义域内与函数5y x =有一样的奇偶性和单调性的是〔 〕A ．1y x=-B ．3xy =C ．ln y x =D ．122xx y =-5.()3,P y -为角β的终边上的一点,且13sin 13β=,那么y 的值是〔 〕 A. 12±B.12C. 12-D. 2±6．假设1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A. －13 B.13C.223D. 223-7．?九章算术?是我国古代的数学巨著，其中?方田?章给出了计算弧田面积所用的经历公式为：弧田面积12=⨯〔弦×矢+矢2〕，弧田〔如图阴影局部所示〕是由圆弧和弦围成，公式中的“弦〞指圆弧所对的弦长，“矢〞等于半径长与圆心到弦的间隔 之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是〔 〕 A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+83πtan 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，那么ω的值可能为〔 〕A ．1B ．12C ．1-D ．12-9．24log log 3.2log 2335a ===，b ，c 〕A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>()cos 23f x x =+,(0,3π)∈x 的判断不正确的选项是〔 〕A ．对于任意(0,3π)∈x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，那么12x x -的最小值为2π B ．存在R a ∈，使得函数()f x a + 为偶函数 C ．存在0(0,3)x π∈ ,使得0()4f x = D ．函数()f x 在区间5[,]24ππ内单调递增()2f x x x k =--，假设存在实数k 使得函数有三个零点123,,x x x ，那么123x x x ++的取值范围是〔 〕A．(4,3+ B．(3,4+C．(4,3+D．(3,4+12.t 为常数，函数在区间[]1,1-上的最大值为2，那么t 的值是〔 〕 A ．312--或 B ．1322-或 C ．312或-D ．312或二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕13．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈〞，如今经过了1小时，那么分针转过的角的弧度数是_______.14．用二分法研究函数f 〔x 〕在区间〔0，1〕内的零点时，计算得到f 〔0〕<0，f 〔0.5〕<0，f 〔1〕>0，那么下一次应计算x ＝______时的函数值．()12x f t x x =--15．集合{|123}A x a x a =-<<+，{|24}B x x =-≤≤，全集U R =．假设A B A ⋂=，那么实数a 的取值范围是________． 16．给出定义：假设〔其中M 为整数〕，那么M 叫做离实数x 最近的整数，记作.现给出以下关于函数{}()f x x x =-的四个结论：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为1[0,]2； ②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数()y f x =是偶函数； ④函数()y f x =在11[,]22-上是增函数. 其中正确结论的是________．〔把正确的序号填在横线上〕.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．〔本小题满分是10分〕〔1〕求值：00000tan150cos 210sin(60)sin(30)cos120--； 〔2〕化简：sin()cos()tan(2)cos(2)sin()tan()απαπαπαπαα-++++-.18．〔本小题满分是12分〕函数()sin 214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)用“五点法〞作出()f x 在7,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图; (2)求()f x 的对称中心以及单调递增区间.19．〔本小题满分是12分〕函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠，其中,a b 均为实数.〔1〕假设函数()f x 的图象经过点()0,2,(1,3)A B ，求函数1()y f x =的值域； 〔2〕假如函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-,求+a b 的值.20.〔本小题满分是12分〕据场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，()*x x N ∈为月份,3月份该商品的价格首次到达最高，为9万元，7月份该商品的价格首次到达最低，为5万元.〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕求此商品的价格超过8万元的月份.21．〔本小题满分是12分〕将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象. 〔1〕写出函数()f x 的解析式； 〔2〕假设对任意x ∈ ,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()()210f x mf x --≤恒成立，务实数m 的取值范围.22．〔本小题满分是12分〕函数()2log 11a f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭〔0a >且1a ≠〕.〔1〕判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；〔2〕当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明； 〔3〕是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++？假设存在，求出实数a 的取值范围；假设不存在，请说明理由.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学12月月考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹上学期第二次阶段考试高一数学(文)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求。
〕的真子集一共有〔〕A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据真子集的概念，可知集合的真子集分别为，一共有个，应选C.考点：真子集的概念.2.角α的终边过点P(－4,3)，那么的值是()A.－1B.1C.D.【答案】D【解析】角α的终边过点P(−4,3)，∴r=OP=5，利用三角函数的定义，求得，所以此题选择D选项.OAB的圆心角为，其面积是2cm2那么该扇形的周长是〔〕cm。
【答案】B【解析】扇形的面积公式为，，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，，那么．考点：集合运算．的大致图象为〔〕【答案】D【解析】定义域：，故排除A,D；当时函数单减，排除B，应选D.是〔〕A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数【解析】为偶函数此题选择B选项.在一个周期内的图象，此函数解析式为()A. B.C. D.【答案】B【解析】由于最大值为2,所以A=2;又.∴y=2sin(2x+φ),将点代入函数的解析式求得，结合点的位置,知，∴函数的解析式为可为，此题选择B选项.在[2，+)上是增函数，那么的取值范围是()A.〔B.〔C.〔D.〔【答案】C【解析】【分析】假设函数f〔x〕=log2〔x2﹣ax+3a〕在[2，+∞〕上是增函数，那么x2﹣ax+3a＞0且f〔2〕＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【详解】假设函数f〔x〕=log2〔x2﹣ax+3a〕在[2，+∞〕上是增函数，那么当x∈[2，+∞〕时，x2﹣ax+3a＞0且函数f〔x〕=x2﹣ax+3a为增函数即，f〔2〕=4+a＞0解得﹣4＜a≤4应选：C．【点睛】此题考察的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答此题的关键．的图象，需要将函数的图象〔〕A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】D【解析】由,所以将函数的图像向右平移个单位得到的图像.10.，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到角与所求角的关系，将所求用角及特殊角表示，即，利用诱导公式即可求解.【详解】∵+=，∴，∴=，应选C..【点睛】此题考察了给值求值问题，考察了诱导公式的应用，找准所求角与角的关系并且纯熟掌握公式是解此题的关键．的图像大致是【答案】A【解析】此题考察了函数的零点、幂函数与指数函数图象的变化趋势，考察了同学们灵敏运用所学知识解决函数图象问题的才能。
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高一数学12月份月考试题
（全卷满分：150分 考试时间：120分钟 ） （考试规定不能用计算器，否则以作弊处理）
一、选择题（每题5分，共12题，答案涂在答题卡上，试卷上作答无效）
1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则A ∩C U B ＝( )
A ．{4，5}
B ．{2，3}
C ．{1}
D ．{2}
2．已知集合{}{}13,25A x x B x x A B =-≤<=<≤= ,则（ ）
A. {x |2<x <3}
B.{x |-1≤x ≤5}
C.{x | -1<x <5}
D.{x | -1<x ≤5}
3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台
B.棱锥
C.棱柱
D.都不
4.已知6.3log ,2.3log ,6.3log 442===c b a ，则 （ ） A. c a b << B.c b a << C.b a c << D.a c b <<
5．已知点(31
，9)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是 ( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
6.已知f (x )＝
则f (43)＋f (－4
3
)＝ （ ）
A ．－2
B ．2
C ．4
D ．－4 7.若奇函数f (x )在]3,1[上为增函数，且有最小值5，则它在]1,3[--上 （ ）. A ．是减函数，有最小值-5 B ．是增函数，有最小值-5 C ．是减函数，有最大值-5 D ．是增函数，有最大值-5 8．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积
分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ） A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1
02>x x ，
0),1(≤+x x f
9．函数2()2(03)f x x x x =-≤≤的值域是 ( ).
A.R B ．(,1]-∞ C ．[－3，1] D ．[-3，0]
10.函数2()2log (1)f x x x =-++在[0,2]上的零点个数是（ ） .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a//α,a//β
C.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行 12. 在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，正确的是 （ ）
二、填空题(每题5分，共4题，要求答案写在在答题卡上，试卷上作答无效) 13． 函数23
log (32)y x =
-的定义域为______________
14、满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数有 。
15.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 16.函数 22(0)()1(0)
x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩ ，则 [(2)]f f -= ；若()10f x =，则
x = .
三、简答题（要求答案写在在答题卡上，试卷上作答无效；答案写在答题卡相应每题框内，答错位置或答出框外不给分）
17.求下列各式的值（每题5分，共10分） (1) (lg 2)2＋lg 5·lg 20；
(2) 2
-32
2
1
2
3278
-9.6--41
2）（）（）（）（+
18.（本小题满分12分）已知函数2()x f x a +=，其中0a >，1a ≠．
（1）求(2)f -；
（2）若(1)(2)f f >，求a 的取值范围； （3）求使()2f x =成立的自变量x 的值．
19.（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C-A 1DD 1，求棱锥C-A 1DD 1的体积与剩余部分的体积比。
20.(本题满分12分)已知函数
()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设
（1）求函数()h x 的定义域
（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由.
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
21.(本题满分12分)设x
x
a x f 2
112)(+-⋅=是R 上的奇函数.
（1）求实数a 的值.
（2）判定)(x f 在R 上的单调性,并说明理由。
22.(本题满分12分)已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体
（1）求A 1C 1与B 1C 所成角；
（2）若EF 分别为AB 、AD 的中点，求AD 1与EF 所成角的大小。
B 1
C
D
C 1
A
B
A 1
D 1。