苏科数学九下《 二次函数与一元二次方程》同课异构教案 (2)

二次函数和一元二次方程
课型：新授
一、学习目标：
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
2.理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系.
3. 结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式的关系.
二、学习重点与难点：
学习重点是：体会方程、不等式与函数之间的联系；
理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系.
学习难点是：1、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
2、二次函数与不等式的关系
三、（一）思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？
1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？
2、反应在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？
3、结论：
一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2. 反过来也成立.
4、观察与思考：
观察下列图象：
（1）观察函数y=
x2-6x+9与y=
x2-2x+3的图象与
x轴的公共点的
个数；
（2）判断一元二
次方程x2-6x+9=0
和x2-2x+3=0的根的情况；
（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？
（二）归纳提高：
一般地，二次函数y=ax 2+bx+c 图象与一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根有如下关系：
1、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax 2
+bx+c=0有 实数根x 1= ,x 2= .
2、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax 2
+bx+c=0有 实数根x 1=x 2= .
3、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程ax 2
+bx+c=0 实数根.
反过来，由一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax 2
+bx+c 图象与x 轴的交点个数.
当Δ=ac b 4->0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根的情况是 ，此时二次函数
y=ax 2
+bx+c 图象与x 轴有 交点；
当Δ=ac b 4-=0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根的情况是 ，此时二次函数
y=ax 2
+bx+c 图象与x 轴有 交点；
当Δ=ac b 4-<0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根的情况是 ，此时二次函数
y=ax 2
+bx+c 图象与x 轴有 交点.
例1．如图，抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），
则方程2
0(0)ax bx c a ++=> 的根为： .
例2．直接说出下列二次函数的图象与x 轴公共点的个数 （1）y=x 2
－2x ； （2）y=x 2
－2x －3．
例3.已知抛物线2
6y x x a =-+的顶点在x 轴上，则a = ；若抛物线与x 轴有两个交点，则
a 的范围是 ；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是
例4：已知抛物线y= x 2
-2x-3
①与y 轴的交点坐标为________，与x 轴的交点坐标为________，
②当y ＞0时, x 的取值范围是_______,当y ＜0时, x 的取值范围是_______, 当x ＜0时, y 的取值范围是_______
例5、画出函数y 1=2x 2
-4x-1与函数y 2= -x+1的图象，根据图象，指出： (1) 当x 取什么值时，y 1= y 2 ？ (2) 当x 取什么值时，y 1 〉y 2 ？ (3) 当x 取什么值时，y 1< y 2 ？
例6：如图，在同一坐标系中一次函数的图像与坐标轴交于B 、C ，二次函数的图像与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且对称轴平行于y 轴.
（1） 分别求出图中一次函数与二次函数的解析式；
（2） 根据图像指出当x 为何值时，一次函数与二次函数的值均随x 的增大而增大？
y
–1 3
3
O x
P
1
（3） 根据图像指出当x 什么范围时，一次函数的值大于二次函数的值？
二次函数和一元二次方程课堂作业
班级_________姓名 _________
1．判断下列各抛物线是否与x 轴相交
（1）2621y x x =-+ （2）215148y x x =-++ （3）2
44y x x =-+ 2．已知抛物线2
y x px q =++与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0）， 则p = ，q = .
3．抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是（ ） A ． a ＜0 b 2
-4ac≤0 B ．a ＜0 b 2
-4ac ＞0
C ．a ＞0 b 2-4ac ＞0
D ．a ＜0 b 2
-4ac ＜0
4．已知抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
5.抛物线y=3x 2
＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．无 6.抛物线y ＝x
2
－x －2与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______.
7.二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的函数值恒小于0，则a____0，b 2
-4ac_____0 （填≤、≥、＜、＞、＝）
8.函数y=-3x 2
+12x-5，当自变量0≤x ≤3时，函数值y 的取值范围是__________； 9．已知二次函数y=x 2
＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点
10．已知二次函数2
2
22y x kx k k =-++-． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？ （2）当实数k 为何值时，图象的顶点在x 轴上.
11．已知抛物线2
(32)2(0)y mx m x m m =+-+-≠与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；
（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．
二次函数和一元二次方程（1）家庭作业
班级_________姓名 _________
1.方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 _________个，其坐标是 ．
2.方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有
_____ 个，其坐标是 ．
3．下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ）
4．如图,抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x 的方程ax 2
+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3 ,x 2=＿＿＿
5
42-+=x x y 0
25102=-+-x x 25102-+-=x x y 0542=-+x x 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D
5．若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A、无交点
B、只有一个交点
C、有两个交点
D、不能确定
6.已知抛物线y=x2-8x+c,
(1)若抛物线的顶点在x轴上,则c= ；
(2)若抛物线与x轴有两个交点,则c的范围是；
(3)若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c的范围是 .
x 时
当时
当时
2
y=-x-x+12 (2) 不等式ax+b x+c>0的解集 ______
(3)不等式ax+bx+c＜0的解集 ______
10已知:抛物线y=mx2-2(3m-1)x+9m-1,无论x取何值时,函数y的值都是非负数.求:m的取值范围.
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