2010年全国高考数学试题解析

2010年全国高考数学试题（课标卷）解析（理科数学）

1、D

解析：由已知得{22},{0,1,,16}A x x B =-≤≤= ，所以{0,1,2}A B ⋂=．

2、A

解析：14z i ====，

所以2211(()44z z ⋅=+=．

另解：

14z i =

====，下略． 3、A

解析：22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+．

另解：将点(1,1)--代入可排除B 、D ，而2221222x x y x x x +-=

==-+++，由反比例函数2y x =-的图像，再根据图像平移得在点(1,1)--处的切线斜率为正，排除C ，从而得 4、C

解析：显然，当0t =时，由已知得d ，故排除A 、D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C ．

另解：根据已知条件得2,1,4A πωϕ===-

，再结合已知得质点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C ． 5、C

解析：易知1p 是真命题，而对2p ：112ln 2ln 2ln 2(2)22x x x x y '=-

=-，当[0,)x ∈+∞时，122x x ≥，又ln 20>，所以0y '≥，函数单调递增；同理得当(,0)x ∈-∞时，函数单调递减，故2p 是假命题．由此可知，1q 真，2q 假，3q 假，4q 真．

另解：对2p 的真假可以取特殊值来判断，如取1212x x =<=，得1251724y y =

<=；取3412x x =->=-，得3451724y y =<=即可得到2p 是假命题，下略． 6、B

解析：根据题意显然有

(0.1,1000)2X ，所以()0.110001002X E =⨯=，故200EX =． 7、D

解析：根据题意满足条件的111111(1)()122356223

S =+++=-+-+⨯⨯⨯

115()566

+-=． 8、B

解析：当0x ≥时，3()802f x x x =->⇒>，又由于函数是偶函数，所以x R ∈时，()0f x >的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．

另解：根据已知条件和幂函数3y x =的图像易知3()80f x x =->的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．

9、A 解析：由已知得3sin 5α=-，所以3tan 4α=，又2α属于第二或第四象限，故由22tan 2tan 1tan 2ααα=-解得：tan 32α=-，从而1tan 1221tan 2α

α+=--． 另解：由已知得3sin 5

α=-，所以 222sin

211tan

cos

cos

sin (cos sin )1sin 1222222cos 2

1tan sin

cos sin cos sin 2222221cos 2αααααααααααααααα

+++++=====----+

10、、B 解析：如图，P 为三棱柱底面中心，O 为球心，易知

21,32

AP OP a ===，所以球的半径R 满足：

222217()()3212R a a a =+=，故22743

S R a ππ==球 11、C

解析：不妨设a b c <<，取特例，如取1()()()2

f a f b f c ===，则易得112210,10,11a b c -===，从而11abc =，选C ． 另解：不妨设a b c <<，则由()()1f a f b ab =⇒=，再根据图像易得1012c <<，故选

12、B

解析：由已知条件易得直线l 的斜率为1FN k k ==，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122222222

11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并结合121224,30x x y y +=-+=-得，21221245y y b x x a -=-

，

从而2

2415b a

=，即2245b a =，又229a b +=，解得224,5a b ==，故选B ． 13、1N N

解析：1

0()f x dx ⎰的几何意义是函数()(0()1)f x f x ≤≤其中的图像与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，根据几何概型易知110()N f x dx N

≈⎰． 14、三棱锥、三棱柱、圆锥等

15、22(3)2x y -+=

解析：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则根据已知条件得

2222222(4)(1)3(2)(1)02a b r a a b r b r r ⎧⎪-+-==⎧⎪⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩

16、0

60

解析：设BD a =，则2DC a =，由已知条件有

011sin 22sin 603122ADC S AD DC ADC a a ∆=⋅⋅∠=⨯⨯==⇒=

，再由余弦定理分别得到226,24AB AC ==-1cos 2

BAC ∠=，所以060BAC ∠=． 17、解：

（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，

111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++++

2(1)12n +-=。 而 12,a =

所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知

35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①

从而

2357221222322

n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得