2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二下学期期
中数学试题
一、单选题
1．设3()8f x x x =-，则0
(2)(2)
lim x f x f x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．4-
B ．8-
C ．4
D ．8
【答案】C
【分析】根据导数的定义，得到0
(2)(2)
lim (2)x f x f f x
∆→+∆-='∆，然后计算即可求解.
【详解】
(2)f '=
0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆30(2)8(2)(816)lim x x x x
∆→+∆-+∆--=∆ 23028484lim 288x x x x x x x x ∆→+∆+∆+∆+∆+∆--∆∆23
046lim
x x x x x
∆→∆+∆+∆=∆ 0
2(46)4lim x x x ∆→=+∆+∆=
故选：C
2．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（ ） A ．6 B ．23 C ．42 D ．43
【答案】B
【分析】根据分步计数法进行计算. 【详解】解：由题意得可知：
由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有32种走法. 故选：B
3．已知双曲线2
2
2:1y C x b
-=的一条渐近线过圆22:(2)(4)1P x y -++=的圆心，则C 的
离心率为（ ）
A
B ．32
C D ．3
【答案】C
【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程求出b ，然后求解双曲线的离心率． 【详解】解：圆22:(2)(4)1P x y -++=的圆心(2,4)-， 双曲线2
2
2:1y C x b
-=的渐近线为：y bx ±=，
双曲线2
2
2:1y C x b
-=的一条渐近线过圆22:(2)(4)1P x y -++=的圆心，
可得24b =，所以2b =，1a =，则
c
则C 的离心率5c
e a
==． 故选：C ．
4．函数y ()y ()f x f x ==，
的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*112,(2)n n n a a a n N +=+=∈，则13S =（ ） A ．1324
3
-
B ．13223
+
C ．14243
-
D ．14223
+
【答案】D
【分析】由12n
n n a a ++=并项求和结合等比数列求和即可得解
【详解】由题()()24121312312132222S a a a a a =+++++=+++
+
()26214214
-=+=- 1422
3
+ 故选D
【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题 6．设()f x 是R 上的可导函数，且满足()()f x f x '>，对任意的正实数a ，下列不等式恒成立的是
A ．()(0)a f a e f <；
B ．()(0)a f a e f >；
C ．(0)
()a f f a e <； D ．(0)
()a
f f a e >
【答案】B
【分析】根据条件构造函数()
()x
f x F x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】解：设()
()x
f x F x e =， 则2()()()()
()[]x x x x f x e f x e f x f x F x e e ''-=='-，
∵()()f x f x '>，
'()0F x ∴>，即函数()F x 在定义域上单调递增．
任意正实数a ，满足0a >，
F ∴（a ）(0)F >，
即
0()(0)
a f a f e e
>， ∴()(0)a f a e f > 故选：B ．
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
7．若函数()()e 1ln 2x f x a x =--+在区间(0，1)上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,e 1+
B ．()1,e 1+
C ．(][),1e 1,-∞⋃++∞
D ．()(),1e 1,-∞⋃++∞
【答案】B
【分析】对()f x 求导并将问题转化为e 1x y x a -=+在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究y 的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.
【详解】由题设，1e 1
()e x x
a x a f x x x
-+'-=-=，又()f x 在(0,1)上不单调， 所以e 1x y x a -=+在(0,1)上存在变号零点，而(1)e 0x y x '=+>， 则y 在(0,1)上递增，只需(1)(e 1)0a a -+-<，即1e 1a <<+. 故选：B
8．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数.若3n n a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =（ ）
A ．23122n n -
B ．231
22n n +
C ．232n n -
D ．29322
n n -
【答案】A
【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.
【详解】解：由题意，当3n k =，31n k =+，32(N )n k k +=+∈时，均有33n n n a f k ⎛⎫⎡⎤
=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
故可知：
31(1)
00111222333(1)(1)(1)3(1)2
n n S n n n n n n +-=++++++++++++-+-+-+=⨯
⨯-+23122
n n =
-. 故选：A 二、多选题
9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A ．从中任选1个球，有15种不同的选法 B ．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C ．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D ．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD
【分析】利用排列知识计算得到选项ABD 正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的选法，所以选项C 错误.
【详解】解：A. 从中任选1个球，有456++=15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有456=⨯⨯120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有45+56+46=74⨯⨯⨯种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有1514=⨯210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD
10．已知数列{}n a 的通项公式为32
n n
n k
a +=，若数列{}n a 是递减数列，则实数k 不能取的值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】AB
【分析】根据数列单调性的性质可知11
3302n n n n k
a a ++---=
<，然后可得33k n >-，根据
不等式恒成立的条件可知k 得取值范围. 【详解】解：由题意得： 数列{}n a 是递减数列
10n n a a +∴-<对于一切的N n +∈恒成立 即111
3(1)3330222n n n n n n k n k n k
a a ++++++--=
--=<对于一切的N n +∈恒成立
故33k n >-对于一切的N n +∈恒成立，当1n =时，33n -有最大值0 故0k >，所以(0,)k ∈+∞ 故选：AB
11．下列命题中正确的是（ ）
A ．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则68a =±
B ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2040S =，则3090S =
C ．已知数列{}n a 满足115a =，*
12(N )n n a a n n +-=∈，则
n
a n 的最小值为274
D ．已知数列{}n a 满足13n
n n a a +⋅=，且11a =，则数列{}n a 前9项的和9241S =
【答案】BCD
【分析】对于A ，根据1344a a a ==，求得公比，即可判断； 对于B ，利用等差数列前n 项和的性质即可判断；
对于C ，利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，从而可判断； 对于D ，根据递推公式求出239,,
,a a a ，即可判断.
【详解】解：对于A ，设公比为q ，
因为1344a a a ==，所以223
11a q a q =，
所以1a q =，
故444a q ==，所以2
2q =，
所以2
648a a q =⋅=，故A 错误；
对于B ，已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以()20101030202S S S S S -=+-,
即30601040S =+-，解得3090S =，故B 正确；
对于C ，由*
12(N )n n a a n n +-=∈，
当2n ≥时，得212a a -=， 324a a -=， 436a a -=，
()121n n a a n --=-，
累加得()()1246211n a a n n n -=+++
+-=-，
所以2
15n a n n =-+，
则
15
1n a n n n
=+-， 当3n =时，
7n a n
=，当4n =时，27
4n a n =，
根据双钩函数得性质可知，当4n =时，n
a n 取得最小值为274
，故C 正确； 对于D ，因为13n
n n a a +⋅=，且11a =，
则23a =，33a =，49a =，59a =，627a =，727a =，881a =，981a =， 所以91339927278181241S =++++++++=，故D 正确. 故选：BCD.
12．已知函数()3
f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ）
A ．e e m n >
B ．
1
1
n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <
【答案】AC
【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得
,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断.
【详解】因为()()()()()3
3
f x x x x x f x -=-+-=-+=-，
所以()f x 为奇函数，
因为()2
310f x x '=+>，
所以()f x R 上单调递增， 由()()2320f m n f n -+->， 得()()()2322f m n f n f n ->--=-， 所以232m n n ->-， 即1m n ->，m n >，
因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；
因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确； 因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误； 令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC 三、填空题
13．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果1210x x +=，那么AB ＝__________. 【答案】12
【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答. 【详解】抛物线24y x =的准线为：1x =-，设抛物线24y x =的焦点为F ， 由抛物线定义得：12||||(1)(1)12AB AF BF x x =+=+++=， 所以12AB =. 故答案为：12
14．函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______. 【答案】2e 0x y -=.
【分析】设切点为()020,e x x ，根据导数的几何意义求出函数切点为()
020,e x
x 的切线方程，
再根据切线过原点求出0x ，即可得解.
【详解】解：设切点为()
020,e x
x ，
2()2e x f x '=，则020()2e x
f x '=，
故切点为()
020,e x x 的切线方程为()00220e 2e x x
y x x -=-，
又因此切线过原点， 所以0
0220e
2e x x x -=-，解得012
x =
， 所以函数2()e x f x =过原点的切线方程是1e 2e 2y x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
即2e 0x y -=. 故答案为：2e 0x y -=.
15．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若95
19,495
S S a =-=，则10a 的值为__________. 【答案】27 【分析】根据
95
495
S S -= 求出公差d , 又19a = 即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 因为()
1995992a a S a +=
=,()1553552
a a S a +== 所以95532495
S S
a a d -=-==
所以2d =，又19a = 101999227a a d ∴=+⨯=+⨯=
故答案为：27 四、双空题
16．中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.
【答案】 8 c m 2
π+ ()32
128 c m 2ππ+
【分析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据已知条件可得出262
h r π
+=-，根据柱体的体积公式可得()
23262
V r r πππ+=-，利用导数可求得V 的最大值及其对应
的r 的值，即为所求.
【详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h . 则由题意可得2212r h r π++=，所以()1222622
r h r ππ
-++==-.
由0h >，得12
2r π
<
+. 故容器的容积()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛
⎫
⎛⎫==-
=-<< ⎪ ⎪+⎝
⎭⎝
⎭，
容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.
()232122
V r r πππ+'=-
，令0V '=，解得0r =（舍）或8
2r π=+. 显然当80,2r π⎛⎫∈ ⎪
+⎝⎭时，0V '>，函数()2
3262V r r πππ+=-单调递增； 当812,22r ππ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭时，0V '<，函数()23262
V r r πππ+=-单调递减. 所以当8
cm 2
r π=
+时，V 取得最大值， 此时28
62cm 22h ππ+=-⨯=+，()
2
32
81282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+. 故答案为：8 c m 2π+；()32
128 c m 2ππ+. 五、解答题
17．已知函数()32
f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在1x =-处取得
极值.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)当[]2,2x ∈-时，求函数()f x 的最大值. 【答案】(1)32()1f x x x x =+-+； (2)11.
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可.
【详解】(1)2()32f x x ax b '=++，由题意得(1)2,
(1)4,(1)0,f f f =⎧⎪
=⎨⎪-='⎩'即12,324,320,a b c a b a b +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
解得1a =，1b =-，1c =.所以32()1f x x x x =+-+， 2()321f x x x '=+-，令()0f x '=，得1x =-或13
x =.
符合题意；
(2)由（1）可知：122
(1)0,()327
f f -==，而(2)11,(2)1f f =-=-，
所以max ()11f x =.
18．已知数列{}n a 中，12a =，*121(N )n n a a n n +=-+∈. (1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)见解析 (2)(1)212
n n
S n n +=
+- 【分析】（1）由递推公式化简，根据等比数列的定义证明 （2）由分组求和法求解 【详解】(1)212114=-+=a a ，
121(1)2((1))n n n a n a n n a n +=-+-+-+=-，
111a -=，故{}n a n -是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得12n n a n --=，即1
2n n a n -=+，
11(1)
(12)(122)212
n n n S n n n -+=++
+++++=
+- 19．已知函数f (x )＝ax －2ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)设函数g (x )＝x －2，若存在3
1,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)22e 2,e ⎛⎤+-∞ ⎥⎝
⎦. 【分析】（1）根据实数a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】(1)()()220ax f x a x x x
-'=-=> 当a ≤0时，()0f x '<在(0，＋∞)上恒成立；
当a ＞0时，令()0f x '>得2x a >；令()0f x '<得20x a
<<； 综上：a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
a ＞0时，f (x )在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； (2)由题意知 ax －2ln x ≤x －2 在(0，＋∞)上有解
则ax ≤x －2＋2ln x ，22ln x x a x -+≤
． 令()22ln x x g x
-+=
，()242ln x g x -'=
所以()()222max e 2e e g x g +==，因此有22e 2e a +≤ 所以a 的取值范围为：22e 2,e ⎛⎤+-∞ ⎥⎝
⎦ 【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.
20．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足)2n a n ≥.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式24n T a a <-恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)21n a n =-；
(2)1a ≤-或2a ≥.
【分析】（1）化简数列的递推公式，得11n n S S --=，进而可求解数列的通项公式； （2）利用裂项法，求解n T ，列出不等式，即求. 【详解】(1)当2n ≥时，1n n n a S S -=+， ∴11n n n n S S S S ---=+，即11n n S S --=，又11S =， 所以数列{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，故n S n =，
又由1n n n a S S -=+121n n n =+-=-（2n ≥），
当1n =时，11a =也适合，
所以21n a n =-.
(2)∵()()()
111111*********n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111111233521212212
n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 又∵对任意的*N n ∈，不等式24n T a a <-恒成立，，
∴22a a ≤-，解得1a ≤-或2a ≥.
即所求实数a 的范围是1a ≤-或2a ≥.
21．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====
（1）求证：//EF DA ；
（2）求二面角A EF B --的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）35
． 【解析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.
（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向
量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|
m n m n m n ⋅<>=求解. 【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，
AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF
//AD ∴平面BCEF ，
因为平面ADEF
平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，
所以//EF AD ；
（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，
因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
取CD 中点M ，连EM ，OM ， 60BAD ︒∠=，23,1BC OA OC OB OD =∴====，
2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，3EM =，
11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ， //,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴， 从而31(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(3)2
A B C D E --， 设平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3031302x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令13,1,(1,3,1)x y z m =∴=-==-，
设平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，
则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0102y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，
令11,(1,3,1)x y z n =∴==-=--， 3cos ,5
|||,|m n m n m n ⋅∴<>==， 因此二面角A EF B --的余弦值为35
. 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
22．已知函数()ln f x x x =-.
(1)求证：()1f x ≤-；
(2)若函数()()()x
x h x af x a e =+∈R 无零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)1(,0(,) ]e
-∞+∞. 【分析】（1）求出()1x f x x
-'=
，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.
（2）分0,0,0a a a =<>三种情况讨论，当0a >时求出()h x '，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当0,0a a =<时，可得()0h x >满足无零点.
【详解】(1)()1x f x x -'=， 则当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，
故()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，
故()()max 11f x f ==-即()1f x ≤-. (2)()ln e x x h x a x ax =-+
，故()()()1111e e x x a x x a h x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭， 当0a =时，()0,x x h x e =>()h x 在定义域上无零点; 当0a >时，0x >，故10e
x a x +>，
所以当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<， 故()h x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，
因为函数()h x 无零点，故()()max 110e
h x h a ==-+<，即1e >a ； 当0a <时，因为()1f x ≤-，所以(ln )0a x x ->， 即()(ln )0x
x h x a x x e =-+>， 所以()h x 在定义域上无零点.
综上，a 的取值范围是1(,0(,) ]e
-∞+∞.。