灰色距离关联度模型及其性质研究

统计与决策2010年第16期（总第316期）
基金项目：国家自然科学基金资助项目（70901041）；河南省政府决策招标课题（B686、B688）；南京航空航天大学科研创新基金资助项目（Y0811－091）
作者简介：裴玲玲（1985-），女，江苏淮安人，硕士研究生，研究方向：科技管理与科技政策。

灰色距离关联度模型及其性质研究
裴玲玲1，王正新1,2,沈春光1,2
（1.南京航空航天大学经济与管理学院，南京210016;2.许昌学院法政学院，河南许昌461000）
摘要：文章根据灰色系统关联空间的基本理论，从n 维线性空间的视角出发，基于加权明氏距
离构造了一种新的灰色关联度。

研究了该关联度的若干性质并与邓氏关联度进行了比较。

结果表明，该关联度既有邓氏关联度的基本性质，又具有一些独特的优点，能够较好地从距离空间的角度反映系统因素间的关联性，进一步丰富和完善了灰色关联分析的理论体系。

关键词：灰关联空间；邓氏关联度；距离空间；灰色距离关联度中图分类号：N941.5
文献标识码：A
文章编号：1002－6487（2010）16－0011-03
0引言
灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一，它是基
于灰关联空间理论而建立的一种分析方法，较好地融合了距离空间与拓扑空间的特点；它也是灰色关联控制、灰色关联评估与决策的基础。

灰色关联分析的基本思想是根据曲线间量级变化大小的接近性和相似程度来判断因素间的关联程度，由于它对样本量的大小没有过高的要求、不需要典型的分布规律且计算量小，定性与定量分析结果一般能够吻合，近年来得到了广泛的应用。

本文基于灰色系统关联空间的基本理论，将系统因素集合中的各个因素视为维线性空间中的点，将每一因素关于不同时刻或不同对象的观测数据视为点的坐标，在特定的维线性空间中研究各因素之间的关系，构造了一种性质类似于邓氏关联度的灰色距离关联度，较好地从距离空间的角度反映系统因素间的关联性，进一步丰富和完善了灰色关联分析的理论体系。

1灰色距离关联度模型
灰关联分析空间由距离空间和拓扑空间构成，距离空间
中的“距离”是两两比较的测度，而点-集拓扑则是邻域的、整体的比较，所以这两者的结合就构成了有参考系的、有测度的整体比较，这也是灰关联分析的基本特征。

灰关联分析的整体比较，可以做通观全局的、全貌的分析；灰关联分析的比较测度，可以对系统的因子作量化分析。

我们将以系统中各因素为维线性空间中的点，将每一因素关于不同时刻或不同对象的观测数据视为点的坐标，给出一种新的灰色关联度计算公式。

定义1[1]
设X ，Y ，Z 为维空间中的点。

若实数d(X,Y)满
足下列条件：
①d(X,Y)≥0，d(X,Y)=0圳X,Y ；②d(X,Y)=d(Y,X)；
③d(X,Z)≤d(X,Y)+d(Y ，Z)。

则称d(X,Y)为n 维空间中的距离。

定义2[1]设X=(x(1),x(2),…，x(n))；Y=(y(1),y(2),…，y(n))为n 维空间中的点，定义
d p (X,Y)=(n
i =1Σ|x(i)-y(i)|p )
1p
(1)
则d p (X,Y)为维空间中的明氏距离。

明氏距离定义简明，在实际中用得很多，但明氏距离把各个时点或对象都同等看待，没有考虑到每个时点或对象重要程度的差异。

一般地，为了区别每个时点或对象的相对重要性，把权重ωi (i=1,2,…，n)引入明氏距离公式，即：
d p (X,Y)=(n
i =1
Σωi |x(i)-y(i)|p )
1p
(2)
其中，0<ωi <1，
n
i =1
Σωi
=1。

在以上加权明氏距离定义的基础上，就可以给出灰关联空间中距离关联度的相关概念。

定义3
设系统行为序列
X 0=(x 0(1),x 0(2),…x 0(n))X 1=(x 1(1),x 1(2),…x 1(n))
…
…
…
X m =(x m (1),x m (2),…x m (n))
令含核蒙眬集I [a ┇茗
┇b]为系统行为序列集X={X i ,i=0,1,…，m}的灰域，则称[a,b]为序列X i 的环境；分别称a,b 为序列X i 的下环境参数和上环境参数。

其中，a=min i
d(X 0,X i )，b=max i
d(X 0,X i )，环境参数a ，b 体现
了系统的整体性，它使得两个序列的关联度不仅取决于它们本身还与其它因素序列有关。

序列X i 为初值化变换以后的数据且极性一致。

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统计与决策2010年第16期（总第316期）
定义4
对于ξ∈(0,1)，令
γ(X 0,X i )=
min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )
d(X 0,X i )+min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )
(3)
则称γ(X 0,X i )为灰色距离关联度。

其中，d(X 0,X i )为系统行为特征序列X 0与因素序列X i 之间的距离。

2灰色距离关联度的性质
（1）0<γ(X 0,X i )≤1；
（2）γ(X 0,X i )=1的充要条件是X 0=X i ；（3）γ(X 0,X i )的下界为
min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )
min i
d(X 0,X i )+2max i
d(X 0,X i )
；
（4）X i ,X j ∈X={X σ|σ=1,2,…，n}，n ≥2，γ(X 0,X i )≠often
γ(X j ,X i )；（5）X i ,X j ∈X ，X={X i ,X j }圯γ(X i ,X j )=γ(X j ,X i )，反之则不一定成立；
（6）d(X 0,X i )越小，γ(x 0(k),x i (k))越大；（7）具有整体仿射变换的不变性，即：
T:
X →Y 0=αX 0+C
X i →Y i =αX i +C
（C=(c ，c,…，c)，c ≠0）则γ(X 0,X i )=γ(Y 1,Y 0)。

证明：（1）若d(X 0,X i )=0，则X 0=X i ，从而γ(X 0,X i )=1；若d(X 0,X i )≠0，则d(X 0,X i )>0。

从而min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )<d(X 0,X i )+min i
d(X 0,X i )+max
i
d(X 0,X i )，故γ(X 0,X i )<1。

显然，对任意i ，γ(X 0,X i )>0，因此，0<γ(X 0,X i )≤1。

（2）若γ(X 0,X i )=1，则d(X 0,X i )=0圯X 0=X i ，反之亦然。

（3）由于min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )不是无穷大，由式（3）可
以看出，d(X 0,X i )越大，γ(x 0(k),x i (k))越小，因而，当d(X 0,X i )=max
i
d(X 0,X i )时，γ(X 0,X i )取下界值
min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )
min i
d(X 0,X i )+2max i
d(X 0,X i )。

（4）若X={X s |s=0,1,2,…，m.；m ≥2}，则对任意X s1
X s2∈X ，X s1≠X s2
故对于X i ,X j ∈X={X s |s=0,1,2,…，m.；m ≥2}，有γ(X 0,X i )=γ(X j ,X i )(i ≠j)
（5）若灰色关联因子集中只有两个序列X={X 0,X 1}，则d={X 0,X 1}=d{X 1,X 0}
max i
d(X 0,X i )+min i
d(X 0,X i )=d(X 0,X 1)
此时γ(X 0,X i )=γ(X 1,X 0)。

但是，若γ(X i ,X j )=γ(X j ,X i )，灰色关联因子集中只有两个序列的命题则不一定成立，证明如下：
假设灰色关联因子集中存在第三个序列X 2，则
γ(X 0,X 1)=
min i
d(X 0,X i )，d(X 0,X 2)+max i
d(X 0,X i ),d(X 0,X 2)
d(X 0,X i )+min i
d(X 0,X 1)，d （X 0,X 2）+max i
d(X 0,X 1),d(X 0,X 2)
（4）
γ(X 1,X 0)=min i
d(X 1,X 0)，d(X 1,X 2)+max i
d(X 1,X 0),d(X 1,X 2)
d(X 1,X 0)+min i
d(X 1,X 0)，d （X 1,X 2）+max i
d(X 1,X 0),d(X 1,X 2)
（5）
可见，当d(X 0,X 1)≥d(X 0,X 2)=d(X 1,X 2)或d(X 0,X 1)≤d(X 0,X 2)=
d(X 1,X 2)时，γ(X 0,X 1)=γ(X 1,X 0)，对于邓氏关联度也有同样的结论。

（6）由于min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )不是无穷大，由式（3）可
以看出d(X 0,X i )越小，γ(x 0(k),x i (k))越大。

这是对关联度量化的约束，体现灰色关联度基本思想。

（7）|y 0(k)-y i (k)|=|αx 0(k)+c-(αx i (k)+c)|=|α|·|x 0(k)-x i (k)|d p (Y 0,
Y i )=[n
k =1Σωk |y 0(k)-y i (k)|p ]1
p
=[n
k =1
Σ|α|p
ωk |x 0(k)-x i (k)|p ]1p
=|α|·
d p (Y 0,Y i )γ(Y 0,Y 1)=
min i
d(X 0,X i )+max i
d(X 0,X i )
d(Y 0,X i )min i
d(Y 0,X i )+max i
d(Y 0,X i )
=γ(X 0,X 1)
3灰色距离关联度与邓氏关联度的比较
灰色距离关联度与邓氏关联度是基于灰色系统关联空
间的基本理论[1]而构造的，它们的基本思想是一致的，体现着灰色关联的四公理[1]。

同时，由于具体表达式的不同，它们又具有一些不同之处。

邓氏关联度的关联系数计算公式为
γ(x 0(k),x i (k))=
min i
min k
|x 0(k)-x i (k)|+ξmax i
max k
|x 0(k)-x i (k)|
|x 0(k)-x i (k)|+ξmax i
max k
|x 0(k)-x i (k)|
(6)
由于初始化处理，使min i
min k
|x 0(k)-x i (k)|=0，上式可改写为
γ(x 0(k),x i (k))=
ξmax i
max k
|x 0(k)-x i (k)|
|x 0(k)-x i (k)|+ξmax i
max k
|x 0(k)-x i (k)|
(7)
邓氏关联度的一般表达式为γ(X 0,X 1)=1
n n
k =1
Σγ
(x 0(k),x i
(k))，一般地，为了体现不同时点数值的重要性，也可以对关
联系数进行加权平均。

邓氏关联度和灰色距离关联度的相同点主要表现在以下几点：
（1）强调序列位置的绝对差，反映曲线空间位置的接近性。

（2）γ(X 0,X i )≠0表明同一个行为系统中任何两个行为序列都不可能是严格无关联的；另一方面，当且仅当两个序列完全重合时，γ(X 0,X i )=1，说明它们不能满足规范性。

（3）构造思想体现了整体性，能够反映环境因素对关联比较的影响，环境不同，关联度亦随之变化，因此不一定满足对称性。

有些关联度量化模型追求对称性的特点，实际上，系统中的各因素相互作用的同时还受到其它因素的影响，这种错综复杂的关系就会导致它们之间的相互作用并不一定就是对等的。

（4）当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性，体现着偶对对称性公理，然而这一点并不能总是成立。

文献[8]已经证明了邓氏关联度也不能总是满足偶对对称性。

但是，一般情况下这并不影响灰色关联度的应用，因为只有当原始序列满足特定的条件[8]时，偶对对称性才不成立。

（5）灰色距离关联度具有整体仿射变换的不变性，由于
它不满足规范性，也就不具有局部仿射变换不变性，邓氏关联度也具有同样的性质[4]。

可见，邓氏关联度和灰色距离关联度的基本性质相同，但由于具体计算公式的不同，它们又具有一些不同之处，主
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统计与决策2010年第16期（总第316期）
要表现在以下几点：
（1）从模型形式上看，邓氏关联度先计算用两点位移差表示的关联系数，再对关联系数加权平均，而灰色距离关联度先对两点位移差加权平均，即得到序列间的距离，再计算用距离表示的关联度。

（2）灰色距离关联度能够同时体现上环境参数和下环境参数，对于不同行为系统有不同的上、下环境参数，并且赋予它们相同的权重；为了消除不同量纲、数量级对分析结果的影响，在进行灰关联分析时一般要对原始数据进行初始化处理，由式（7）可以看到，序列经过初始化处理，邓氏关联度中下环境参数变成零，仅包含上环境参数，无法体现下环境参数对关联度的影响。

（3）邓氏关联度的大小与分辨系数ξ的大小有关，它随着ξ的增大或减小而增大或减小，而灰色距离关联度计算式中不包含分辨系数，这主要是为了赋予灰关联空间的上、下环境参数相同的权重。

（4）对于不同的行为系统，邓氏关联度取到下界为固定值ξ/(1+ξ)，灰色距离关联度取到下界为不固定值
min i
d(X 0,X i )+max i d(X 0,X i )
min i
d(X 0,X i )+2max i
d(X 0,X i )
，这样，就不会有参数ξ影响到结
果的分辨率和对系统已有信息的利用率，也体现了灰色距离关联度的灵活性。

4算例分析
投资、消费和净出口是拉动经济增长的“三驾马车”，是
经济增长的主要动力，从经济增长动力结构的研究结果看，不同的时期经济增长动力结构会发生深刻的变化。

“十五”期间，江苏省的经济系统行为数据（单位：亿元）如下：
GDP ：X 0=(9456.84，10606.85，12442.87,15003.60,18305.66)投资：X 1=(4393.21,4808.67,6182.38,7957.76,9313.16)消费：X 2=(4141.92,4801.91,5484.04,6227.21,7538.04)净出口：X 3=(921.71,996.27,776.45,818.63,1454.46)
以X 0为系统特征序列，X 1,X 2,X 3为系统因素序列，对江
苏省“十五”期间经济增长动力因素进行分析，分别计算灰色距离关联度和邓氏关联度。

（1）计算灰色距离关联度，取明氏距离中的P=1，则
d(X 0,X i )=5
k =1
Σ|x 0(k)-x i (k)
第一步：求初值像
由X i '
=X i /x i (1)=(x i '
(1),x i '
(2),x i '
(3),x i '
(4),x i '
(5));i=0,1,2,3,得
X 0'
=(1,1.1216,1.3158,1.5865,1.9357)X 1'
=(1,1.09457,1.4073,1.8114,2.1199)X 2'=(1,1.1593,1.3240,1.50346,1.8199)X 3'=(1,1.0809,0.8424,0.8882,1.5780)
第二步：求差序列
由△i (k)=|x 0'
(k)-x i '
(k)|；i=1,2,3，得
△1=(0,0.0270,0.0915,0.2248,0.1842)△2=(0,0.0377,0.0083,0.0831,0.1158)△3=(0,0.0407,0.4734,0.6984,0.3577)
第三步：求序列间的距离
d(X 0,X 1)=0.1055,d(X 0,X 2)=0.0490,d(X 0,X 3)=0.3140
第四步：求灰色距离关联度
γ(X 0,X i )=
d(X 0,X 2)+d(X 0,X 3)d(X 0,X i )+d(X 0,X 2)+d(X 0,X 3)
γ(X 0,X 1)=0.7748，γ(X 0,X 2)=0.8811，γ(X 0,X 3)=0.7318（2）邓氏关联度
取ξ=0.5，经计算邓氏关联度为
γ(X 0,X 1)=0.8108，γ(X 0,X 2)=0.8506，γ(X 0,X 3)=0.7318由以上计算结果可以看出，虽然用两种灰色关联度计算的数值不相等（距离关联度的分辨率要高于邓氏关联度），但是它们的关联序是一致的：X 2>X 1>X 3，即经济增长的动力因素排序为消费、投资、净出口。

“十五”期间江苏省消费对经济保持稳定的拉动态势，但经济仍呈现明显的投资驱动型增长的特点，投资和消费构成的内需是拉动江苏省经济增长的主要驱动力。

需要说明的是，灰色关联度的意义在于关联序而不在于关联度数值的大小，如果提高或降低分辨系数ξ的取值也可以使得邓氏关联度的数值变大或变小，但不改变关联度大小的顺序。

5结束语
与邓氏关联度一样，本文构造的灰色距离关联度是基于
灰关联空间的基本思想而提出的，因而它们在基本性质上表现出很强的相似性，虽然它们不满足规范性，但它们算法有效、计算量小，能够体现灰色系统的基本思想，容易与其它决策和优化方法结合应用。

灰色距离关联度计算式中还能够反映下环境参数的作用，不包含分辨系数，也就避了邓氏关联度的分辨率影响到结果的分辨率和对系统已有信息的利用率的问题。

参考文献：
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（责任编辑/亦民）
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