第六章 系统的稳定性

③ 计算行列式的其余各行
sn s n 1 s n 2 s
n 3
a0 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1
a2 a3 b2 c2 d2 e2
a4 a5 b3 c3 d3
b1 a0 a1 a1 a1 c1 b1 b1 b1 b2 d1 c1 c2 c1 d2 a3 b2 c2 a2 a3 b2 a0 a1 a1 a1 b1 b1 b1 b3 c1 c3 c1
对于如图所示闭环系统，传 递函数为：
F ( s) C ( s) G ( s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s)
1 G( s) H ( s) 0
令该函数的分母等于零就得到系统的特征方程： 故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性。
6.2 劳斯－胡尔维茨稳定性判据
综上所述，判别系统稳定性的 问题可归结为对系统特征方程 的根的判别，即：一个系统稳 定的必要和充分条件是其特征 方程的所有根都必须为负实数 或具有负实部的复数。亦即稳 定系统的全部特征根si均在复平 面的左半平面。
应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴 j ，但对于虚轴上的坐 y（） c t t 标原点应具体分析。当有一个特征根在坐标原点时 ， 常数，系统达到新的平衡状态，仍属稳定。当有两个及两个以 y（） 上特征根在坐标原点时， c t t ，其瞬态响应发散，系统 不稳定。
n A0 ( s) B0 ( s) N 0 ( si ) si t y（）＝ t L [ ] e c A( s) i 1 A( si ) -1
N 0 ( si ) A0 ( si ) B0 ( si )
一般称A(s)=0为系统的“特征方程”，它的解si称为特征根。 若si为复数，则由于实际物理系统A(s)的系数均为实数，因此 si总是以共扼复数形式成对出现，即：
8 16
8 16 0
8 16 0 0
D1 = 8 0 D2
因为这些子式均大于零，故系统稳定
6.3 奈奎斯特稳定性判据
奈奎斯特稳定性判据是一种几何判断，它根据开环传递函数 的特点，通过作奈奎斯特图来研究闭环控制系统稳定性，不仅 能判别稳定性还可以分析系统的稳定和不稳定程度，并从中找 出改善系统性能的途径。 1. 基本原理 如图所示闭环系统，其传递函数 为：
2. 胡尔维茨稳定性判据
胡尔维茨法也属于代数判据，它是把特征方程和系数用相 应的行列式表示，系统稳定的充要条件为：
（1）特征方程的所有系数an,an-1,…,a0均为正；
（2）由特征方程系数组成的各阶胡尔维茨行列式均为正，即
D1 = an－1 0, D2 an 1 an an 3 an 2 an 1 0, D3 an 0 an 3 an 2 an 1 an 5 an 4 0, an 3
1940 年 11 月 7 日 ， 一 阵风引起了桥的晃动，而 且晃动越来越大，直到整 座桥断裂。
6.1 稳定性
1. 稳定性的概念 定义：系统受到外界干扰作用时，其被控制量yc(t)将 偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足 够长的时间内能够恢复到其原来平衡位置或者趋于一 个给定的新的平衡状态，则系统是稳定的。反之若系 统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或产生 持续振荡，则系统是不稳定的。
yi (t ) L-1[ B( s ) X ( s)] A( s)
为式(6-1)的非齐次特解，是与初始条件A0(s)，B0(s)无关而与输 入或干扰x(t)有关的特解。
既然系统的稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况， 因此系统的补函数yc(t)就完全反应了系统是否稳定。
如果当 t 时，y（） c t 0，则系统为稳定；若当 t 时，y（） c t ，或是时间t的周期函数，则系统不稳定。为此需 求解yc(t)。
（3） Routh 判据的特殊情况
1. 特殊情况1：第一列出现0
D(s) s 4 s 3 3s 2 3s 2 0
Back
各项系数均为正数
s4 s3 s
2
1 1 0( ) 2 3 2
3 3 2 0
2 0
第一列出现0
s1 s0
解决方法：用任意小正数代之。
2. 特殊情况2：某一行元素均为0
C (s) G( s) F ( s) = R( s) 1+ G ( s) H ( s)
式中，系数ai(i=0,1,2,…,n)为实数，并且 an 0 。
假设其特征根为si(i=1,2,…,n)，则
an s n an1s n1 an2 s n2 ... a0 an (s s1 )(s s2 )(s sn- 1 )(s sn )
将上式右边展开得到特征根与系数的关系如下：

a4 a5 a5 b3


s n 4 s2 s1 s0



计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。
例如6阶特
征方程 其劳斯行 列式为
a0 s 6 a1s 5 a2 s 4 a3 s 3 a4 s 2 a5 s a6 0
Back
对Routh行列表中的“第一列”各数的符号进行判断：
由
A0 (s) B0 ( s) B( s) Y ( s) X ( s) A( s) A( s)
可知，系统特征方程A(s)=0的特征根与系统闭环传递函数F(s) 的极点是相同的，因此由系统的传递函数
Y ( s) B( s) F (s) X ( s ) A( s )
取其分母A(s)=0，即可分析系统的稳定性。
1) 如果符号为正系统稳定； 2) 如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实 部特征根的个数系统不稳定。
劳斯稳定性判据：系统稳定的充分必要条件是，其特征方 程的全部系数符号相同，并且其劳斯数列的第一列（an，an－1， c1，d1等）所有各项全部为正，否则系统不稳定。
[例]劳斯判据判定稳定性
例6.7 系统特征方程为 s 4 8s3 18s 2 +16s+ 5= 0 判别系统稳定性。 解：写出胡尔维茨主行列式
8 16 0 0 D4 1 18 5 0 0 8 16 0 0 1 18 5
可得各子行列式为
1 18 5 0 = 128 0 D3 1 18 5 1728 0 D4 8640 0 1 18 0 8 16 0 0 8 16 0 1 18 5
线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定特征方程根 在复平面上的位置，劳斯－胡尔维茨稳定性判据是通过分析特 征方程的根与系数的代数关系，由特征方程中的系数来判别特 征根是否在s平面左平面，以及不稳定根的个数。
1. 劳斯稳定性判据 (1) 系统稳定的必要条件 线性定常系统的特征方程为：
an s n an 1s n 1 an 2 s n 2 ... a0 = 0
s1, 2 j 2 s 3, 4 j 3
例如： s 4 5s 2 6 0 求导得: 4s 3 10 s1 0
还可由这些辅助方 程求出相应的极点
s 5 1
说明:劳斯阵列出现全零行表明
系统在s平面有对称分布的根
Back
对称于虚轴
共轭虚根
对称于实轴的 两对共轭复根
再经拉氏反变换可得原函数：
y(t ) L-1[ A0 (s) B0 (s) B( s ) ] L-1[ X ( s)] A( s) A( s)
-1
令：
A0 ( s) B0 ( s) yc (t ) L [ ] A( s)
为式(6-1)的齐次通解，是与初始条件A0(s)，B0(s)有关而与输入 或干扰x(t)无关的补函数。 时，首先 要保证其稳定性；在分析一个系统时，也首先要判定是否稳 定。 线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或 干扰无关。
2. 判别系统稳定性的基本准则
线性定常系统微分方程的一般形式为：
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) an a a a0 y (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt d m x (t ) d m 1 x (t ) dx (t ) bm b b b0 x (t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
（6－1）
其中x(t)为输入，y(t)为输出，ai(i=0~n)，bj(j=0~m)为常数。 由拉氏变换的数学方法求解式(6-1):
A(s)Y (s) A0 (s) B(s) X (s) B0 (s)
A0 (s) B0 ( s) B( s) Y ( s) X ( s) A( s) A( s)
si = ai jbi
此时，只有当其实部ai<0时，方能使得在 t 时
esit
亦即
t
= eait e jbit
t
=0
y（） c t t 0
若si为实数，则只有当实数之值小于0，即ai<0时，方能使得 在 t 时
y（） c t t 0
反之，若si的实部ai>0时，则当 t 时，将使得
D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 0
② 由系统特征方程的各项系数排成Routh行列表的前两行
sn s n 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5
其中,第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成； 第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。
机械控制理论基础
第六章 系统的稳定性
6.1 稳定性
6.2 劳斯－胡尔维茨稳定性判据
6.3 奈奎斯特稳定性判据 6.4 系统的相对稳定性
6.1 稳定性
不稳定的现象
不 稳 定 的 摆
稳 定 的 摆
跨越华盛顿州塔科马 峡谷的首座大桥，开通于 1940 年 7 月 1 日。只要有风， 这座大桥就会晃动。
n an－1 a = - si i＝1 a n n n－2 = si s j an i，j＝1 n an－3 = - si s j sk i，j，k＝1 an n a n 0 =( - 1) si an i＝1
( i j) ( i j k)
e si t
即 则系统不稳定。
t

y（） c t t
+ jbi t - jbi t ( e + e ) y（） t 若 si实部 ai = 0 ，则 si = jbi 。 将包含 ，即 cos bit c 2 这样的时间函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率 等于 bi，系统也不稳定。
若特征根的实部全为负数时，则由上式可以看出系统稳定 的必要条件为：特征多项式所有系数符号相同。若系数中有不 同的符号或其中某个系数为零（a0=0除外），则必有带正实部 的根，系统不稳定。（这只是个必要条件而非充分条件）
(2) 系统稳定的充分条件 2.1 Routh行列式 列写 Routh 行列式 , 是利用 Routh 判据进行系统稳定性 分析的主要工作,其步骤如下: ① 列写系统特征方程
D( s) s 5 s 4 5s 3 5s 2 6s 6 0
s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 1 04 5/ 2 2/5 6 5 5 0 10 6 6 6 0
各项系数均为正数
出现全0行
解决方法：用全 0 行的 上一行元素构成辅助 方程 , 用对该方程求导 后的方程系数替代全 0 行.
胡尔维茨行列式按照下面方法生成：在主对角线上写出特 征方程式的第二项的系数an-1直到最后一项的系数a0 ，在主对 角线以下的各行中，按列填充下标号码逐次增加的各系数；而 在对角线以上各行中，按列填充下标号码逐次减小的各系数。 如果在某位置上按次序应填入的系数下标大于n或小于0，则在 该位置补0。
当主行列式及其主对角线上各子行列式均大于零时，特 征方程式就没有根在s平面的右半平面，即系统稳定。