1-1LP模型的结构及建模步骤及标准型

2012年9月8日9时15分
线性规划模型举例2
运输问题：见课本第七页
分析
可控因素：从仓库
x ij ; i 1 , j , 2
2 3
Ai
运往
B
j
的产品数量
设为
1 , 2 , 3
目标：总运费最小 费用函数 c
i 1 j 1 ij
x ij
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量， 运入各商场的数量不低于 需求量。由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
重点与难点：如何建立线性
规划问题的数学模型？(建模条 件、步骤及相应的技巧)
教学目标：掌握建模的步骤
和方法，能根据实际背景抽象和 建立适当的线性规划模型。
2012年9月8日9时15分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
Ai
运往
B
j
的产品数量
设为
目标：总运费最小 目标函数 min z= c ij x ij
i 1 j 1 2 4
约束条件： 从仓库运出总量不超过可用总量， 运入零售点的数量不低于 需求量。由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1, 2
若5种硫酸价格分别为400, 700, 1400, 1900, 2500元/t， 如何使费用最小？
m in Z 4 0 0 x1 7 0 0 x 2 1 4 0 0 x 3 1 9 0 0 x 4 2 5 0 0 x 5 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 0 0 s.t. 0 .3 x1 0 .4 5 x 2 0 .7 3 x 3 0 .8 5 x 4 0 .9 2 x 5 0 .8 1 0 0 x 0, j 1, 2, ...5 j
x 1 j x 2 j b j ; j 1, 2 , 3 , 4
蕴含约束：数量非负 x ij
0 ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
2012年9月8日9时15分
运输问题模型
建立数学模型
min z= c ij x ij
i 1 j 1
2
4
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1, 2
哪些资源和环境的限 成型机 烘箱 制？
利润（百元/吨）
2
2
1
2
5
11
2012年9月8日9时15分
5
4
Step.3
Step3 --表示约束条件
搅拌机的工时限制： 3x1 + 4x2≤15 成型机的工时限制： 2x1 +x2≤5 烘箱的工时限制： 2x1 +2x2≤11 非负约束：产量非负 x1 ≥0, x2 ≥0
为了达到该目标 ，怎么利用现有 资源才最好呢?
2012年9月8日9时15分
如何利用现有资源才最好？
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）。设 根据销售部门提供的信息可知，目前这两种饼干在市场上都很备 畅销，该厂能生产多少，市场就能卖出多少。但从生产部门得， 知，有三种关键设备即搅拌机、成型机、烘箱的生产能力，限现 制了该厂的饼干生产。该公司每天生产这两种饼干的量应为多有 少，可使其利润最大。其具体数据如表所示： 工 时 辨认哪些是决策的关 受 单位时耗(小时/吨） Ⅰ Ⅱ 每天现有工时 键影响因素？在选取 资源设备 限 这些关键因素时存在 3 4 15 制 搅拌机
目标函数
约束条件
m ax Z 5 x1 4 x 2 3 x1 4 x 2 1 5 2 x1 x 2 5 s.t. 2 x1 2 x 2 1 1 x , x 0 1 2
2012年9月8日9时15分
总结
线性规划模型的三要素
决策变量 问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决定和控制。 一般取值要求非负 目标函数 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小 约束条件 指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制通常把 各种限制条件表达为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策变量的线性函数 当数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不 等式时称此数学模型为线性规划模型。 2012年9月8日9时15分
2
3
ij
x ij
x i1 x i 2 x i 3 a i ; i 1, 2
s.t.
x1 j x 2 j b j ; j 1, 2, 3
x ij 0; i 1, 2, j 1, 2, 3
2012年9月8日9时15分
线性规划模型--- 运输问题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库 A i ; i 1, 2 发送到零售点 B j ; j 1, 2 , 3 , 4 ，仓库 A i 能供应的 产品数量为 a i ; i 1, 2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为
非负约束：
x1 ≥0， x2 ≥0
求解二元一次方程组得解
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线性规划建模课堂练习------产品配比问题
若有5种不同浓度的硫酸可选(30%,45%,73%,85%,92%)会如何呢？
取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 ，有
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 100 0 . 3 x 1 0 . 45 x 2 0 . 73 x 3 0 . 85 x 4 0 . 92 x 5 0 . 8 100
线性规划问题(Linear Programming problem) 研究内容：在一定的人力、财力、资源条件下，
如何合理安排使用，使得效益最高；某项任务确 定后，如何安排人、财、物，使之最省。 线性规划问题的共同点：要求达到某些数量上的
最大化或最小化；在一定的约束条件下追求其目
标最优。
2012年9月8日9时15分
2012年9月8日9时15分
单位时耗(小时/吨) 资源设备 搅拌机 成型机
Ⅰ
Ⅱ
每天现 有工时 15 5
3 2
4 1
烘箱
利润(百元/吨)
2
5
2
4
11
约束条件
例1中建模的过程(小结)
(1)决策变量：x1为饼干I的生产数量，x2为饼干II的生产数量。 (2)目标函数：目标是企业利润最大化 max Z= 5x1 +4x2 (3)约束条件：生产受设备能力制约，能力需求不能突破有效供给量。 搅拌机的工时限制的约束条件表达为 3x1+ 4x2 ≤15 同理，成型机的工时限制约束条件表达为 2x1+ x2 ≤5 烘箱的工时限制，其约束条件为 2x1+ 2x2 ≤11 非负约束：产品的产量为非负
单位时耗(小时/吨） 资源设备 Ⅰ
3 2 2 5
Ⅱ
4 1 2 4
每天现有工时
15 5 11
2012年9月8日9时15分
搅拌机
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
例1 资源利用问题
m a x Z 5 x1 4 x 2 3 x1 2 x1 s.t. 2 x1 x , x 1 2 4 x2 15 x2 5 2 x2 11 0
s.t.
x 1 j x 2 j b j ; j 1, 2 , 3 , 4
x ij 0 ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
2012年9月8日9时15分
例3 生产计划
产品甲 产品乙 生产能力(小 时)
设：产品甲生产x1，产品乙生产x2 目标：Max z=70x1+65x2 约束条件： 设备A生产能力限制：7x1+3x2≤210 设备B生产能力限制：4x1+5x2≤200 设备C生产能力限制：2x1+4x2≤180 产量非负限制： x1，x2≥0
总结
线性规划问题建模步骤
1. 确定决策变量
根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2. 写出目标函数
由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函 数；
3. 确定约束条件
由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的 约束条件。
2012年9月8日9时15分
运筹学的工作步骤
提出和形 成问题
建立 数学模型
Step.2
Step2 --定义目标函数
问题—>目标： 光华食品厂每天生产这两种饼干的量应为多少， 可使其利润最大？
目标函数：max Z=5x1＋4x2
单位时耗(小时/吨） 资源设备 搅拌机 3 4 15 Ⅰ Ⅱ 每天现有工时
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
2
2 5
1
2 4
5
11
x1
x2
2012年9月8日9时15分
b j ; j 1, 2 , 3 , 4 。假设供给总量和需求总量相等，且已知
从仓库 A i 运一个单位产品往 B j 的运价为 c ij 。 问应如何 组织运输才能使总运费最小？
2012年9月8日9时15分
分析
运输问题模型
决策变量：从仓库
x ij ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
第一章 线性规划模型和单纯形法
1.1线性规划模型的结构及建模步骤
主讲：郑来运 机械工程学院
1
2012年9月8日9时15分
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ 型）。根据销售部门提供的信息可知，目前这两种饼干在市场 上都很畅销，该厂能生产多少，市场就能卖出多少。但从生产 部门得知，有三种关键设备即搅拌机、成型机、烘箱的生产能 力，限制了该厂的饼干生产。 该公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最
大？
2012年9月8日9时15分
如何安排生产 使利润最大
？
产品 I
产品 2
2012年9月8日9时15分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
单位时耗(小时/吨） 资源设备 Ⅰ
3 2 2 5
Ⅱ
4 1 2 4
每天现有工时
15 5 11
2012年9月8日9时15分
搅拌机
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
Step.1
Step1 --确定决策变量
未知量，可由决策者决定和控制
设： x1为饼干I的生产数量
x2为饼干II的生产数量
x1
x2
2012年9月8日9时15分
x1 1 吨 ） （ , x 2 3 吨 ）, （ m ax Z 1 7 0 0 元 ） （
即：生产 葱油饼干(Ⅰ型) 1吨 苏打饼干(Ⅱ型) 3吨 企业利润：1700元
2012年9月8日9时15分
பைடு நூலகம்
本节重点和难点及教学目标
Linear Programming problem and its Models
x i1 x i 2 x i 3 a i ; i 1, 2
x1 j x 2 j b j ; j 1, 2, 3
蕴含约束：数量非负 x
ij
0; i 1, 2, j 1, 2, 3
2012年9月8日9时15分
建立数学模型
目标函数
min c
i 1 j 1
LP模型：
m a x Z 5 x1 4 x 2 3 x1 4 x 2 1 5 2 x1 x 2 5 s.t. 2 x1 2 x 2 1 1 x , 2012年9月8日9时15分 1 x2 0
x1 ≥0， x2 ≥0
用数学语言完整描述
解：用变量x1和x2分别表示光华食品厂生产饼干 I和饼干II的数量。
求解
解的检验 解的控制 解的实施
2012年9月8日9时15分
线性规划建模课堂练习------产品配比问题
例：用浓度45%和92%的硫酸配置100吨浓度80%的硫酸。
决策变量：取45%和92%的硫酸分别为 x1 和 x2 吨 约束条件：
x 1 x 2 100 0 . 45 x 1 0 . 92 x 2 0 . 8 100