10.3.2相互独立事件的概率乘法公式

解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为 事件A，B，C。如下图所示，由题意，这段时间 内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据 独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都 不能闭合的概率是 °JA °J B °JC
P( A B C) P( A) P( B) P(C)
（白，白） （白，白） （白，白） （白，白）
（白，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑）
（白，白） （白，白）
（黑，白） （黑，白）
（白，黑） （白，黑）
（黑，黑） （黑，黑）
（黑，白） （黑，白）
（黑，黑） （黑，黑）
（注：其中每个结果左、右分别表示从甲、乙 坛子里取出球的颜色。）
在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有 3×2种，因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都 是白球的概率是 P(A· B)=（3×2）/(5×4) 另一方面，从两个坛子里分别摸出1个球，甲 坛子里摸出白球的概率是 P(A)=3/5 从两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出 白球的概率是 P(B)=2/4
在一段线路中并联着3个独立控制的常用开关只要其中有1个开关闭合这可以包括恰有其中1个开关闭合恰有其中2个开关闭合恰有其中3个开关闭合3种互斥的情况逐一求其概率较为麻烦为此我们转而先求3个开关都不闭合的概率从而求得其对立事件3个开关至少有1个能够闭合的概率
概 率
统计 概率
统计
10.3.2相互独立事件的概率乘法公式
A
“从两个坛子里分别摸出l个球，都是白球”是一个事 件，它的发生就是事件A，B同时发生，我们将它记Biblioteka Baidu A· B。于是需要研究，两个相互独立事件A，B同时发生 的概率P(A· B)是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙 坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。于是从两个坛 子里各摸出1个球，共有5*4种等可能的结果，如下图所 示。
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.
教材 P 134 习题 6题．
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2 个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个 球，它们都是白球的概率是多少？
我们把“从两个坛子里分别摸出1个球，且从 甲坛子里摸出白球”，叫做事件A,把“从两个坛 子里分别摸出1个球，且从乙坛子里摸出白球”， 叫做事件B。很明显，从一个坛子里摸出的是白 球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率 没有影响。
例3 在一段线路中并联着3个独立控制的常用开 关， 只要其中有1个开关闭合，线路就能正常工作。 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率。 分析： 在一段线路中并联着3个独立控制的常 用开关， 只要其中有1个开关闭合，这可以包括恰 有其中1 个开关闭合、恰有其中2个开关闭合、恰有 其中3个开关闭合3种互斥的情况，逐一求其概率较 为麻烦，为此，我们转而先求3 个开关都不闭合的 概率，从而求得其对立事件——3个开关至少有1个 能够闭合的概率。
由于（3×2）/(5×4)= （3/5）×（ 2/4）
于是我们就得到
P(A· B) = P(A) · P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概 率，等于每个事件发生的概率的乘积。
例2 甲、乙2人各射击1次，如果2人击中目标的 概率都是0.6，求2人都击中目标的概率。
解： 记“甲、乙2人各射击1次，甲击中目标” 为事件A， “甲、乙2人各射击1次， 乙击中目标” 为事件B。由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲） 击中的概率是没有影响的。因此A与B是相互独立 事件，又“两人各射击1次，都击中目标”就是事 件A· B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式， 所求的概率是 P(A· B) = P(A) · P(B) = 0.6 × 0.6 = 0.36 答：2人都击中目标的概率是0.36.
1 P( A) 1 P( B) 1 P(C)
1 0.7 1 0.7 1 0.7 0.027
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从 而使线路能正常工作的概率是
1 P( A B C) 1 0.027 0.973
于是有如下定义： 事件A（或B）是否发生对事件B(或A）发生的 概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件。 在上面的问题里，事件 A 指的是： “从两个坛子里分别摸出1个球，且从甲坛子里 摸出黑球”； 事件 B 指的是： “从两个坛子里分别摸出1个球，且从乙坛子里 摸出黑球”；
显然， 事件A与 B ，A与B， A 与 B 也都是相互独立的. 一般地， 如果事件A与B相互独立，那么A与 B ， A 与B, 与 B 也都是相互独立的。