2020春北师大版数学九年级下册第三章 圆 3 垂径定理

(2)求点A,B的坐标.
解:(2)因为E(1,-4),EF⊥AB, 所以F(1,0). 又因为AF=BF=3, 所以OB=1+3=4,AO=3-1=2, 所以A(-2,0),B(4,0).
1.(分类讨论题)在☉O 中,弦 AB=4,AC=2 6 ,半径为 2 2 ,则∠BAC=
75°或15°
.
2.(探究题)图1是某品牌的香水瓶.从正面看上去(如图2),它可以近似看作 ☉O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B,C在☉O上), 其中BC∥EF;从侧面看,它是扁平的,厚度为1.3 cm. (1)已知☉O的半径为2.6 cm,BC=2 cm,AB=3.02 cm,EF=3.12 cm,求香水瓶的 高度h.
(B)2 5 cm (D)9 cm
3.如图,AB为☉O直径,AB=4,C为OA中点,则过C点的最短弦长为 2 3 .
4.如图,已知 AB 是☉O 的弦,C 是 的中点,AB=8,AC=2 5 ,求☉O 的半径.
解:如图,连接 OA,连接 OC 交 AB 于点 D. 设☉O 的半径为 r.
因为 C 是 的中点,所以 = ,
解:(2)作 OM⊥EC 于 M,连接 OC.Rt△BOH 中,OH=1, 因为 EH= 6 ,易证四边形 OMEH 是矩形,
5 所以 OM=EH= 6 ,ME=OH=1,
5
在 Rt△OMC 中,CM=
22


6 5
2
=8 5
,
所以 CE=ME+CM=1+ 8 = 13 ,所以立柱 CE 的长度为 13 .
8.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图,把一个直径 为10 mm的小钢球紧贴在孔道边缘,测得钢球顶端离孔道外端的距离为8 mm,求这个 孔道的直径AB.
解:连接 OA,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则 AB=2AD. 因为钢珠的直径是 10 mm, 所以钢珠的半径是 5 mm. 因为钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm,所以 OD=3 mm. 在 Rt△AOD 中,
5
(1)求出圆洞门☉O的半径;
解:(1)作 OH⊥AB 于 H,连接 OB,OA. 因为 的度数为 120°,AO=BO, 所以∠BOH= 1 ×120°=60°,
2 所以 AH=BH= 3 , 在 Rt△BOH 中,sin∠BOH= BH ,
OB 所以 OB=2,即圆洞门☉O 的半径为 2.
(2)求立柱CE的长度.
(A)1
(B) 1 2
(C) 1 3
(D)2
2.已知在半径为 5 的☉O 中,AB,CD 是互相垂直且相等的两条弦,垂足为点 P,
且 OP=3 2 ,则弦 AB 的长为( C )
(A)4
(B)6
(C)8
(D)10
3.(2019 德州)如图,CD 为☉O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 E, = , 48
2 解得 x=8 或 12.5(舍去), 所以 MQ=6,MN=1.5. 因为 2.6×2=5.2<6;1.3<1.5;7.5<8, 所以能装入盒子.
因为 AD= OA2 OD2 = 52 32 =4(mm), 所以 AB=2AD=2×4=8(mm). 则这个孔道的直径 AB 为 8 mm.
1.(2019 哈尔滨模拟)如图,AB 是☉O 的弦,点 C 在 AB 的延长线上,AB=2BC,连接 OA,OC,若∠OAC=45°,则 tan C 的值为( B )
55
5
6.如图,在直角坐标系中,☉E的半径为5,点E(1,-4).
(1)求弦AB与弦CD的长;
解:(1)如图所示,过 E 作 EF⊥AB 于 F,作 EG⊥CD 于 G,
则 BF= 1 AB,CG= 1 CD.
2

2
因为☉E 的半径为 5,
E(1,-4), 所以 BE=5,EF=4,GE=1.
所以在 Rt△BEF 中,BF= 52 42 =3. 在 Rt△CEG 中,CG= 52 12 =2 6 , 所以 AB=2BF=6,CD=2CG=4 6 .
所以 OC⊥AB, 所以 AD=DB= 1 AB=4,
2 在 Rt△ACD 中,CD= AC 2 AD2 =2, 在 Rt△ADO 中,OA2=OD2+AD2, 即 r2=(r-2)2+16,解得 r=5. 所以☉O 的半径为 5.
垂径定理的应用 5.小明家阳台呈圆弧形,阳台的宽度AB为8 m,阳台的最外端C点离AB的距离 CD为2 m,则阳台所在圆的半径为( B )
CE=1,AB=6,则弦 AF 的长度为 5 .
4.(2018孝感)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm, CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm.
5.如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的立柱 CE,DF 来支撑,点 A,B,C,D 在☉O 上,CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F,且 AB=2 3 , EF= 12 , =120°.
(A)4 m (B)5 m (C)6 m (D)7 m 6.(2019沈河模拟)如图,圆弧形拱桥的跨径AB=12米,拱桥的直径为13米,则 拱高为 4 米.
7.位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复,其中一处中式圆形门的平
面示意图如图所示,已知AB过圆心O,且垂直CD于点B,测得门洞高度AB为1.8米, 门洞下沿CD宽为1.2米,则该圆形门洞的半径为1 米.
(2)用一张长22 cm,宽19 cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪,将实线部分折 叠制作成一个底面积为S四边形MNPQ=9 cm2的有盖盒子(接缝处忽略不计).请你计 算这个盒子的高度,并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里.
解:(2)设盒子的高为 x cm. 由题意得(22-2x)· 19 2x =9,
解:(1)作 OG⊥BC 于 G,延长 GO 交 EF 于 H,连接 BO,EO.
因为 EF∥BC, 所以 OH⊥EF,
所以 BG= 1 BC,EH= 1 EF,
2
2
所以 GO= 2.62 12 =2.4; OH= 2.62 1.562 =2.08, 所以 h=2.4+2.08+3.02=7.5(cm).
*3 垂径定理
垂径定理及其推论
1.如图,☉O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE=3,则AB的长是 ( C) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10
2.已知,过☉O 内一点 M 的最长弦长为 12 cm,最短弦长为 8 cm,那么 OM 的长为 ( B)
(A)6 cm (C)4 5 cm