计算材料学 逾渗理论

转变
堵塞/流通 抑制/流行 断开/联结 绝缘体/金属导体 正常导电/超导 绝缘体/金属导体 非传播/传播 禁闭/非禁闭 正常的/超流的 绝缘体/金属导体 顺磁性的/铁磁体的 液体/凝胶 液体/玻璃 局域态/扩展态 类似于电阻网络
3.1 逾渗的基本理论
逾渗理论应用如此广泛，其主要原因是自然界中广泛地存 在着无序和随机结构。随着结构联结程度或某些参数，诸 如某种密度、占据数等的突然增加出现长程联结．这就使 逾渗理论成为描述这些现象的自然模型。另一方面，逾渗 理论不要求精深的数学能力，却可以为空间随机过程提供 一个明确、清晰、直观的描述。
对于键逾渗过程，每条键或者是联结的，或者是不联结的； 联结的百分率为p，不联结的百分率为1-p。应该指出，这 儿必须假定系统是完全无序的，意即每条键的联结概率与 其相邻键的逾渗的基本理论
对于座逾渗，每条键都是联结的，但“座”具有结构的无 规联结性特征∶每一个座或者是联结的（畅通的），或者 是不联结的（堵塞的），相应的百分率分别为p和1-p。仍 假定，对于每一个座，概率不受其相邻点的状态的影响。
L=150情况下，不 同的概率p下团簇 的尺度分布情况。
p=0.58的情况下， 它的尺度分布密度函数可以拟合为p(x)=0.37*x-1.72
3.2 逾渗阀值的计算
团簇的分形特征
处于临界状态附近 的渗流系统中的大 的团簇基本上都是 具有自相似的分形 体。
通过Box Covering （盒覆盖）方法来 计算这个红色大团 块的分形维。
ps' f ps
p(sn1) p(sn )4 4p(s n )3 (1- p(sn )) 2p(s n )2 (1- p(sn ))2
p(sn)的四次方项对应的是规则中的最后一个规则（也就是说在原始尺度下， 黑格要连续出现4次，它的概率显然是p(sn)4），3次方项是规则左边有三个 黑格的情况，这一共有4条规则，所以系数为4，概率是黑格连续出现3次， 并且最后一次是白格，所以是p(sn)3(1-p(sn))；2次方相对应的是两种两个黑 色竖向连在一起的2条规则，系数为2.
3.1 逾渗的基本理论
逾渗标度理论中的基本定义
3.1 逾渗的基本理论
p∞在临界点过后 ,以无穷大斜率突增 ,且与逾渗阈值的距 离 p – pc的依赖关系遵从幂次律 :
p p pc
3.1 逾渗的基本理论
相互联结的被占座组成的群体称作集团。 孤立座可以看作是集团数s=1的集团。一般将s个被占座组
当p>pc时，出现逾渗；
当p<pc时，不存在逾渗。
Percolation analysis of a twodimensional system. Atoms within the same clusters have the same color. Only the twenty largest clusters are shown. The smaller ones are colored all yellow.
1) 当橡胶粒子的体积分数φr 和橡胶与基体的粘结强度保持恒定时 , 粒径存在一个临界值使体系出现脆韧转变(BD T) .
2) 临界粒径 dc 与φr 的关系可用下式计算 :
dc Tc 6r 1 3 1 1
式中 : Tc 是临界粒子间距 ( 最邻近两粒子的表面间距) ,是基体的本性 参数 ,与φr 和粒径无关.
而对于0.618则是一个不平凡吸引子，恰好就是分形的情况。 当响p。(s是0)=我0.们61要8左找右的的那时个候临，界重点整pc化。操作对逾渗图形不会产生影
3.3 逾渗理论在材料科学中的应用
聚合物共混体的 BDT 逾渗模型
1985 年 Souheng Wu在探讨填充橡胶粒径和体积分数对不同粘结强度 的尼龙/ 橡胶体系( PA66 、非极性橡胶 NR/ PA66 和极性橡胶 PR/ PA66) 的缺口冲击韧性的影响时，认为：
逾渗理论
逾渗的提出
无规介质中的流动
流体在一个由许多通道 组成的网路中流动 ,而某 些通道(无规地) 被堵塞 了。
逾渗的提出
格座以概率p被随机占据，空座为1-p。 随着p的增加，到达pc（逾渗阀值）时，由绝缘体转变为
导体。
3.1 逾渗的基本理论
逾渗理论处理的是在庞大无序系统中由于相互联结程度的 变化所引起的突变效应。换句话说，逾渗理论就是考察一 个具有微观状态A，B，…的给定系统，是否沿着由相同 状态近邻格点确定的某个路径相互渗透。这一理论规定： 在从起点到终点的路径上，每个结点所处的状态(比如说 状态A)与其相邻结点的状态是相同的。
3.1 逾渗的基本理论
逾渗过程采用逾渗阀值来进行标志，也就是转变点，该点 使无序介质的性质发生突然的转变。
逾渗阀值的定义：
(a)假想存在一个巨大的平面网格，每个格点(座)只有两种 状态，被占或空位；
(b)格点(座)被占的概率为p;
(c)逾渗阀值就是指无限大网格上以有限概率第一次出现无
限大集团的有限概率值pc。
一组联结的键或座称为一个集团。 对于键（座）逾渗，相邻的联键（被占座）是彼此联结的。 对键（座）逾渗，若两个联键（被占座）可以通过由一系
列最近邻的联键（被占座）连成的路径联结起来，则称这 两个键（座）属于同一集团。
3.1 逾渗的基本理论
一般而言，给定网格上键比座的近邻数大．例如，四方网 格，一个键可以联6个近邻键，而一个座只能联结4个近邻 座．故大的键集团就更容易生成、也就是说键逾渗阂值比 座逾渗阂值低。
sc Sc dc 3 rc
3.3 逾渗理论在材料科学中的应用
根据实验中测定的共混体系脆韧转变的 dc 、φrc等数据即 可计算出φsc 和τc .
根据逾渗标度理论 ,在脆韧转变区域内 ,材料的冲击韧性 G 与φs 之间存在如下的标度关系 :
成的集团称作s-集团。s-集团数ns定义为s-集团数与网格数 之比。实际上是单位网格节点上的s-集团数，它与浓度p有 关。如果p接近于0，多数占座成为孤立座；当p接近于1， 几乎所有的座都连成一片。 与在某一临界温度出现的热力学相变相比、逾渗描述的是 一种几何相变，其特征是在pc附近的大集团的几何特 征．随着p增加，集团的平均尺度增加．达到pc时，网络 的对边被集团联结起来．这样的集团也称作无限大集团， p再增加，越来越多的座归入无限大集团、当p ＝1时，所 有座都属于无限大集团。
p∈[0.1～0.9] Smax最大的团簇
的尺寸。 对于不同的p计
算15次，进行统 计平均。 得到不同系统尺 寸(L)情况下的 Smax-p的曲线。
pc=0.59274621
3.2 逾渗阀值的计算
标度行为
当p在pc附近的时候，系统还会产生各式各样的标度行为 （也就是幂律行为）。
团簇尺度分布
3.2 逾渗阀值的计算
对原始的渗流模型实施连续的重整化操作4步，如下：
p=0.5
3.2 逾渗阀值的计算
p=0.7
3.2 逾渗阀值的计算
重整化操作对p=0.5 和p=0.7这两种情况 的影响很大 ,在 p=0.5的情况，红色 格子的比例迅速减 小，而p=0.7情况下 的红色格子比例迅 速增加，很快就接 近1了。
而只有在临界状态附近，即p=0.6~pc的情况下，重整化操 作对有色格子的密度，最大团簇的密度几乎没什么影响。
3.2 逾渗阀值的计算
重整化方程
对于渗流模型，唯一的决定参数就在于p，对一个渗流 模型进行一次重整化操作，实际上就是对p进行了变化。 假设再原尺度s下的黑格出现的 概率为p(s)，经过一次 重整化操作，尺度从s变成了s‘，相应的黑格概率p也变 为了p(s’)，这个p(s‘) 与p(s)是否有什么关系呢？
逾渗转变，指的是在庞大无序系统中随着联结程度，或某 种密度、占据数、浓度的增加（或减少）到一定程度，系 统内突然出现（或消失）某种长程联结性，性质发生突变， 我们称发生了逾渗转变，或者说发生了尖锐的相变。
表3.1 逾渗理论的应用例子
现象或体系
多孔介质中流体的流动 群体中疾病的传播 通讯或电阻网络 导体和绝缘体的复合材料 超导体和金属复合材料 不连续的金属膜 螺旋状星系中恒星的随机形成 核物质中的夸克 表面上的液He薄膜 弥散在绝缘体中的金属原子 稀磁体 聚合物凝胶化，流化 玻璃化转变 非晶态半导体的迁移率 非晶态半导体中的变程跳跃
在给定分辨率s的情 况下，测定要覆盖 该几何体所用掉的 盒子的数量l(s)来作 为该几何体的在s尺 度下的近似面积
l(s)~s-D
D=1.95，小于2。对于更大的试验L更大来说，我们 会得到团块的分形维会更小一些，这反映了团簇的 复杂程度就会更加偏离常规几何体。
处于临界状态下的团簇是自相似的分形结构
3.2 逾渗阀值的计算
重整化方法
对于自相似分形
1、用不同的尺度去观察系统； 2、从精细尺度（小尺度）过渡到粗糙尺度（大尺度）的 时候要忽略很多细节信息； 3、即使我们忽略了一些信息，系统仍然展示出了一定的 不变性。
3.2 逾渗阀值的计算
所谓的重整化实际上是如下一系列步骤，在理想情况下， 它应该应用到无穷大的逾渗系统中：
随着φs 增大 ,发生关联的平面应力体积球的数目增多 ,并互相联接 , 形成大小不一的逾渗集团 ,当φs 增大到逾渗阈值(φsc) 时 ,粒子间剪切 应力的叠加超过了基体平面应力状态下的剪切屈服应力 ,体系中出 现一条贯穿整个剪切屈服区域的逾渗通道 ,共混体系即发生脆韧转 变。
此时 Sc dc c
3.2 逾渗阀值的计算
方程的不动点，是指一个特殊的p*满足
p(s*) p(s*)4 4p(s*)3 (1-p(s*)) 2p(s*)2 (1-p(s*))2 即让重整次数趋于无穷大，得到方程的解
[0,1, 1 5 , 1 5 ]
2
2
对于0和1，为平凡的不动点，分别对应于经过重整化后方格 的密度是0（无方格）和1（全部是方格）的情况，是稳定吸 引子。
3.2 逾渗阀值的计算
p=0.4
p=0.59
p=0.7
当p<0.59的时候，团簇相对较小，彼此倾 向于不联通； 当p>0.59的时候，倾向于联通形成一大个 团簇，染色的色彩种类数相对较少。 而当p恰好处于0.59的时候，其中既存在 着较大的团块，同时又会形成各式各样大 大小小的不同团簇。
3.2 逾渗阀值的计算
3.1 逾渗的基本理论
1. 键逾渗，座逾渗，联结百分率，逾渗阈值
空间任何一种点阵都由点（顶点，键之间的交点）和键 （边，联线，两点之间的成对的联结）组成。点阵上的逾 渗过程有两种基本类型：键逾渗和座逾渗。两种情况都是 从规则的、周期的点阵出发，然后对每一个座或每一条键， 无规地指定反映问题统计特征的非几何性的两态性质（是 或非、断或通、有或无、联结或不联结等），从而把规则 几何结构上的问题转变成随机几何结构的问题。
逾渗模型有两种不同的目标： 第一，通过一个能够代表所考察物理条件的算法，确定晶 格节点的状态。这项工作可以利用数值抽样程序来完成。 第二，能够检验评价所考察系统的拓扑结构数据，诸如团 蔟尺寸与分布、宏观连接性等。
图3.2 二维正方点阵导电系统的逾渗模型
3.1 逾渗的基本理论
只有在贝特（Bethe）晶格和简单二维晶格情况下，逾渗 阈值的解析推导才是可能的。对其他任意格栅的情况，其 阈值要用蒙特卡罗方法进行计算。
1、将原模型划分成b*b大小的块（变长为b个小格子的 Block）；
2、将一个b*b大小的块的状态原始信息（也就是染色前的 黑白状态）映射成一个格子的信息（这一步叫做粗粒化 （Coarse Graining），也是重整化方法中的重点）；
就是如果四个格子中黑色的格子超过了一半就把它“忽略”为黑格 子，否则如果黑格子有两个，则这两个黑格子竖排的话就映射为黑 格子，否则还是白格子。
3) 只有当粒子间距 T 小于 T c 时才能有效增韧.
3.3 逾渗理论在材料科学中的应用
当橡胶分散在塑料中时 ,每个橡胶粒子 ( 粒径为d) 与其周围τc/2 的 基体球壳形成平面应力球。在橡胶粒子间距τ≤τc时，相邻平面应力 球发生关联. 平面应力体积球的体积分数(φs) 为
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