概率论与数理统计假设检验习题课

概率论与数理统计第7章 假设检验

习题课

Ὅ例1在假设检验中，表示原假设, 则显著性检验水平表示( ).

A. 为假，但接受的概率

B. 为真，但拒绝的概率

C. 为假，但拒绝的概率

D. “纳伪”错误的概率.

解

| H0为真检验水平即为犯第一类错误的概率，即P{拒绝H

} = ，因此B为正确答案.

Ἲ方法归纳

假设检验的理论依据是“实际推断原理”，即小概率事件在一次试验中一般不会发生，如果小概率事件在一次试验中偶然发生，就会造成检验结果的错误. 犯第一类错误的概率就是显著性水平 ，即P{拒绝H0| H0为真} = .

解Ὅ例2

考虑检验问题拒绝域取 ，试求c 使得检验的显著性水平为0.05. 在显著性水平0.05下拒绝域为

，因此

，在H 0为真的条件下，

因而

即，2c=1.96，所以c=0.98.

Ἲ方法归纳

犯第一类错误的概率就是显著性水平 ，即P{拒绝H0| H0为真} = .

Ὅ例3设总体，选取样本容量为n的简单随机样本，设为样本平均值，S为样本标准差.检验假设

，，若已知，选取的检验统计量为————，若未知，选取的检验统计量为 .

解关于均值μ的假设检验，若已知，选取的检验统计量

为，若未知，选取的检验统计量，

Ἲ方法归纳

选择合适的检验统计量是假设检验的关键，关于均值μ的假设检验，若已知，选取的检验统计量为

，

若未知，选取的检验统计量为 .

Ὅ例4设总体，其中、均未知，选取样本容量为n的简单随机样本. 为样本均值，为样本方差，则假设的检验使用的统计量为A. B. C. D.

解

由于未知，检验使用统计量 .

Ὅ例5某产品以往的废品率不高于5%，今从一批产品中抽取一样本，以检验这批产品的废品率是否高于5%(显著水平：α)，提出的假设应为( ).

A.

B.

C.

D.

解

假设检验中假设一般有三种形式，分别是双侧检验，右侧检验，左侧检验，右侧检验和左侧检验统称单侧检验. 由于检验是否高于5%，为单侧检验，选择假设B.

Ὅ例6

3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知提出假设解

检验：H

0=3.25; H

1

：μ≠3.25

当H

成立时，选取检验统计量

，

由知拒绝域为 .

n=5, α = 0.01，查表t0.005(4)=4.6041，计算知

，

，

t的值未落入拒绝域，故在α = 0.01下，接受假设H0，认为这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

Ἲ方法归纳

假设检验的基本步骤：(1)建立假设

根据题意合理地建立原假设H

0和备择假设H

1

.

(2)选取检验统计量

选择适当的检验统计量Q，要求在H

为真时，统计量Q的分布是已知的.

(3)确定拒绝域

按照显著性水平 ，由统计量Q确定一个合理的拒绝域.

(4)作出判断

由样本观测值，计算出统计量的观测值q，若q落在拒绝域

内，则拒绝H

0，否则接受H

.

Ὅ例7

某车间生产某种规格的钢筋的强度近似服从正态分布，随机抽取10根检验其强度，得如下数据：578，572，570，568，572，570，572，569，584，570.问可否认为该车间钢筋强度的方差为64（检验水平α=0.05）.

解用X表示钢筋的强度，则X N(μ,σ2).提出假设检验

成立时，选用检验统计量

当H

当H

成立时，选用检验统计量

，

由知，

检验的拒绝域形式为

由题意α=0.05，n=10，查表知

，

.经计算，，不在拒绝域内，接受H

0可认为该车间钢筋强度的方差为64.

Ὅ例8

要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这

种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这批元件是否合格?

解

设总体均值为μ。即需检验假设H

0：μ≥1000，H

1

：μ<1000

由于σ 已知，当在H

为真时，取检验统计量

由知， H

的拒绝域为 .

由题意n=25，α = 0.05，，查表，计算知

故在α = 0.05下，拒绝H

，即认为这批元件不合格.

不同形式的假设有不同形式的拒绝域，由于原假设都可以

写作“等号”，因此拒绝域的形式由备择假设H

1

所决定. 双侧检验的拒绝域在两侧，单侧检验拒绝域中不等式的方向

与备择假设H

1一致.

Ἲ方法归纳

Ὅ例9

用某种农药施入农田中防治病虫害，经过三个月后土壤中如有5ppm以上的浓度时，认为仍有残效.已知土壤残余农药的浓度服从正态分布，现在一块已施农药的农田中随机取10个土样进行分析，其浓度为（单位：ppm）：

2.5 2.1

3.2 2.6

4.8 7.6

5.4

6.0 3.1 3.5

问该农药施入土壤三个月后是否仍有残效？取显著性水平 .

解依题意知，要考虑正态总体的均值是否小于5，故需