2022版数学北师大版必修1提升训练：第一章集合本章达标检测Word版含解析

第一章集合
本章达标检测
(总分值:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.以下几组对象可以构成集合的是()
A.充分接近π的实数的全体
B.善良的人
C.世界著名的科学家
D.某单位所有身高在1.70m以上的人
2.以下各组中,集合A和集合B表示同一集合的是()
A.A={π},B={3.14159}
B.A={2,3},B={(2,3)}
C.A={1,√3,π},B={π,1,|-√3|}
D.A={x|-1<x≤1,x∈N},B={1}
3.集合A={x|x2-1=0},那么以下式子表示不正确的选项是()
∈A B.{-1}∈A
C.⌀⊆A
D.{1,-1}⊆A
4.设集合M={x||x|≤2,x∈R},N={x|x2≤4,x∈N},那么()
A.M=N
B.N⫋M
C.M⫋N
D.M∩N=⌀
5.集合A={0,1,2},B={2,3},那么集合A∪B=()
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{2}
D.{0,1,3}
6.M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},那么M∩N=()
A.{x|x≥1}
B.⌀
C.{x|x<1}
D.R
7.假设全集A={x∈Z|0≤x≤2},那么集合A的真子集共有()
个个
个个
8.集合M={x|x=3k,k∈N},P={x|x=3k+1,k∈N},Q={x|x=3k-1,k∈N},假设a∈M,b∈P,c∈Q,那么a+b-c∈()
A.M∪P
B.P
C .Q
D .M
9.集合A ={1,3,√m },B ={1,m },A ∪B =A ,那么m =()
A .0或√3
B .1或√3
C .0或3
D .1或3
10.集合A ={x |x 2-x -6=0},B ={x |ax +6=0},假设A ∩B =B ,那么实数a 不可能取的值为() 11.定义集合运算:A ⊗B ={z |z =(x +y )×(x -y ),x ∈A ,y ∈B },设A ={√2,√3},B ={1,√2},那么集合A ⊗B 的真子集个数为()
A .8
B .7
C .16
D .15
12.如下图,M 、P 、S 是V 的三个子集,那么阴影局部所表示的集合是()
A.(M ∩P )∩S
B.(M ∩P )∪S
C.(M ∩S )∩(∁S P )
D.(M ∩P )∪(∁V P )
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,将答
案填在题中的横线上)
13.全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={2,3,5},集合B ={1,3,4,6},那么A ∩(∁U B )=.
14.方程组{x +y =0,x 2-4=0
的解组成的集合为. 15.集合P ={0,2,5},Q ={1,2,6},定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q },那么P +Q 中元素的个数是.
16.“高铁、扫码支付、共享单车和网购〞称为中国的“新四大创造〞.某中学为了解本校学生对“新四大创造〞的使用情况,随机调查了100名学生,其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名,那么使用过共享单车的学生人数为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解容许写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题总分值10分)集合A ={-4,2m -1,m 2},B ={m -5,1-m ,9},假设A ∩B ={9},求实数m 的值.
18.(本小题总分值12分)集合A ={x |4≤x <8},B ={x |5<x <10},C ={x |x >a }.
(1)求A ∪B ;(∁R A )∩B ;
(2)假设A ∩C ≠⌀,求a 的取值范围.
19.(本小题总分值12分)集合A ={x |2-a ≤x ≤2+a },B ={x |x ≤1或x ≥4}.
(1)当a =3时,求A ∩B ;
(2)假设a>0,且A∩B=⌀,求实数a的取值范围.
20.(本小题总分值12分)集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)假设集合A是空集,求a的取值范围;
(2)假设集合A中只有一个元素,求a的值,并把这个集合A写出来.
21.(本小题总分值12分)设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m<x<1}.
(1)假设A∩B=B,求实数m的取值范围;
(2)假设B∩(∁R A)中只有一个整数,求实数m的取值范围.
22.(本小题总分值12分)假设集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A;
∈A.
②假设x,y∈A,那么x-y∈A,且x≠0时,1
x
那么称集合A是“好集〞.
(1)判断有理数集Q是不是“好集〞,并说明理由;
(2)设集合A是“好集〞,求证:假设x,y∈A,那么x+y∈A;
(3)对任意的一个“好集〞A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:假设x,y∈A,那么必有xy∈A;
命题q:假设x,y∈A,且x≠0,那么必有y
∈A.
x
答案全解全析
第一章集合
本章达标检测
一、选择题
1.D选项A,B,C所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合,选项D的标准唯一,故能构成集合.应选D.
2.CA中,集合A中的元素为无理数,而集合B中的元素为有理数,故A≠B;B中,集合A 中的元素为实数,而集合B中的元素为有序实数对,故A≠B;C中,因为|-√3|=√3,那么集合A={1,√3,π},B={π,1,√3},故A=B;D中,集合A中的元素为0,1,而集合B中的元素为1,故A≠B.应选C.
3.B由A={x|x2-1=0}={1,-1}知,A,C,D选项中的式子正确,B选项中的式子错误,应该是{-1}⫋A,应选B.
4.B M={x||x|≤2,x∈R}={x|-2≤x≤2},N={x|x2≤4,x∈N}={-2,-1,0,1,2},
∴N ⫋M.应选B.
5.B 依题意得A ∪B ={0,1,2,3},应选B.
6.A 因为M ={x |y =x 2+1}=R ,N ={y |y =x 2+1}={y |y ≥1},所以M ∩N ={x |x ≥1},应选A.
7.C 集合A ={x ∈Z|0≤x ≤2}={0,1,2},含3个元素,其子集有8个,除去其本身得真子集共有7个,应选C.
8.C 由题意设a =3k 1,b =3k 2+1,c =3k 3-1(k 1,k 2,k 3∈N ),那么a +b -c =3k 1+3k 2+1-(3k 3-
1)=3(k 1+k 2-k 3)+2=3(k 1+k 2-k 3+1)-1,而k 1+k 2-k 3+1∈N ,∴a +b -c ∈Q .应选C .
9.C 由A ∪B =A 得B ⊆A ,因为A ={1,3,√m },B ={1,m },所以m =3或m =√m ,解得m =3或m =0或m =1(舍去),应选C.
10.B 由x 2-x -6=0,得x =-2或x =3,∴A ={-2,3}.又A ∩B =B ,∴B ⊆A. 当a =0时,ax +6=0无解,B =⌀,符合题意.
当a ≠0时,由ax +6=0得x =-6a
, 依题意得-6a =-2或-6a
=3. 解得a =3或a =-2, 比照四个选项知a 的值不能为2,应选B .
11.B A ={√2,√3},B ={1,√2},那么A ⊗B 中的元素有(√2+1)×(√2-1)=1,(√2+√2)×(√2-√2)=0,(√3+1)×(√3-1)=2,(√3+√2)×(√3-√2)=1四种结果,由集合中元素的互异性得集合A ⊗B 有3个元素,故集合A ⊗B 的真子集个数为23-1=7,应选B .
12.C 题图中的阴影局部是M ∩S 的子集,但不含集合P 中的元素,含于集合P 的补集,用关系式表示出来即可. 二、填空题 13.答案{2,5} 解析∵U ={1,2,3,4,5,6},B ={1,3,4,6},∴∁U B ={2,5}, 又A ={2,3,5},∴A ∩(∁U B )={2,5}.
14.答案{(2,-2),(-2,2)}
解析由x 2-4=0,解得x =2或x =-2,代入x +y =0,得{x =2,y =-2或{x =-2,y =2.
所以方程组{x
+y =0,x 2-4=0
的解组成的集合为{(2,-2),(-2,2)}. 15.答案8 解析根据题意,得P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11},因此集合P +Q 中有8个元素.
16.答案45 信息提取①共调查100名学生;②使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名;③求使用过共享单车的学生人数. 数学建模此题以社会热点问题——“新四大创造〞为背景,将实际问题集合化,通过构建集合模型求解.先用集合A 表示使用过共享单车的人,用集合B 表示使用过扫码支付的人,再根据集合运算确定结果.
解析设参加调查的所有人组成全集U ,使用过共享单车的人组成集合A ,使用过扫码支付的人组成集合B ,card (A )表示集合A 中的元素,由题意card (A ∪B )=80,card (B )=65,card (A ∩B )=30,
∴card (A ∩(∁U B ))=80-65=15,
∴card (A )=15+30=45. 三、解答题 17.解析因为A ∩B ={9},所以9∈A 且9∈B ,所以2m -1=9,或m 2=9, 解得m =5,或m =±3.(3分) 当m =5时,A ={-4,9,25},B ={0,-4,9},A ∩B ={-4,9},不符合题意; 当m =3时,B ={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意; 当m =-3时,A ={-4,-7,9},B ={-8,4,9},A ∩B ={9},符合题意.(9分) 综上所述,m =-3.(10分)
18.解析(1)A ∪B ={x |4≤x <10}.
∵∁R A ={x |x <4,或x ≥8},B ={x |5<x <10},
∴(∁R A )∩B ={x |8≤x <10}.(6分) (2)要使得A ∩C ≠⌀,画出数轴如下图, 由图可知a <8.(12分)
19.解析(1)∵当a =3时,A ={x |-1≤x ≤5},又B ={x |x ≤1或x ≥4},
∴A ∩B ={x |-1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(6分) (2)∵A ∩B =⌀,A ={x |2-a ≤x ≤2+a (a >0)},B ={x |x ≤1或x ≥4},
∴{2-a >1,2+a <4,
∴0<a <1.(12分) 20.解析(1)要使集合A 为空集,方程ax 2-3x +2=0应无实数根,
∴应满足{a ≠0,Δ<0,
解得a >98. 故a 的取值范围是(98
,+∞).(4分) (2)当a =0时,方程为一元一次方程,有一个解为x =23
;(7分) 当a ≠0时,方程为一元二次方程,此时集合A 中只有一个元素的条件是Δ=0,解得
a =98,此时x 1=x 2=43
, ∴a =0或a =98
.(10分) 当a =0时,A ={23
}; 当a =98时,A ={43
}.(12分) 21.解析(1)因为A ∩B =B ,所以B ⊆A.(1分)
①当B ≠⌀时,-1≤2m <1⇒-12≤m <12
;(3分) ②当B =⌀时,2m ≥1,即m ≥12
.(5分) 综上所述,实数m 的取值范围是[-12
,+∞).(6分)
(2)∵A ={x |-1≤x ≤2},
∴∁R A ={x |x <-1 或x >2}.(7分)
①当B ≠⌀时,2m <1,即m <12
. 假设B ∩(∁R A )中只有一个整数,那么-3≤2m <-2,得-32≤m <-1;(9分) ②当B =⌀时,2m ≥1,即m ≥12
,因此B ∩(∁R A )=⌀,不符合题意.(11分) 综上所述,实数m 的取值范围是[-32
,-1).(12分) 22.解析(1)有理数集Q 是“好集〞.(1分) 理由如下:因为0∈Q ,1∈Q ,
对任意的x ,y ∈Q ,有x -y ∈Q ,且x ≠0时,1x
∈Q ,所以有理数集Q 是“好集〞.(4分) (2)证明:因为集合A 是“好集〞, 所以0∈A.假设x ,y ∈A ,那么0-y ∈A , 即-y ∈A , 所以x -(-y )∈A ,即x +y ∈A.(6分) (3)命题p ,q 均为真命题. 理由如下: 对任意的一个“好集〞A ,任取x ,y ∈A , 假设x ,y 中有0或1时,显然xy ∈A.(7分)
假设x ,y 均不为0,1,由定义可知:x -1,1x -1,1x
∈A , 所以1x -1-1x ∈A ,即1x (x -1)
∈A ,所以 x (x -1)∈A.(8分) 由(2)可得x (x -1)+x ∈A ,即x 2∈A , 同理可得y 2∈A , 假设x +y =0或x +y =1,那么(x +y )2∈A ; 假设x +y ≠0且x +y ≠1,那么(x +y )2∈A. 所以2xy =(x +y )2-x 2-y 2∈A ,
所以12xy ∈A.(10分)
由(2)可得:1xy =12xy +12xy ∈A ,所以xy ∈A.
综上可知,xy ∈A ,即命题p 为真命题.
假设x ,y ∈A ,且x ≠0,那么1x ∈A ,所以 y x =y ·1x ∈A ,即命题q 为真命题.(12分)。