函数与导数练习题(简单,限时训练,含答案)

2.1函数与映射的概念 时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝4－x
x －1
的定义域为( )
A ．(－∞，4)
B ．[4，＋∞)
C ．(－∞，4]
D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．与函数y ＝x ＋1相等的函数是( )
A ．y ＝x 2－1
x －1
B ．y ＝t ＋1
C ．y ＝x 2＋2x ＋1
D ．y ＝(x ＋1)2
3．设集合A 和B 都是平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )
A ．(3,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，－12 D ．(1,3)
4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则f (x －1)的定义域为( ) A ．[－1,2) B ．[0，－2) C ．[0,3) D ．[－2,1) 5．下列各图形中，是函数图象的是( )
A B C D 6．下列函数中，与函数y ＝
1
x
有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1
x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝e x 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．函数y ＝
1
6－x －x
2的定义域是________．8．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是_____． 9．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )
x －1
的定义域是________． 三、解答题(共15分) 10．若函数f (x )＝
1
x ＋1
，求函数y ＝f [f (x )]的定义域．
2.2函数的表示法
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)
f ⎝⎛⎭⎫12＝( )
A ．1
B ．－1 C.35 D ．－3
5
3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝
1x
C ．y ＝1
x D ．y ＝x 2＋1
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )
A B C D
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
＋1，x ＜1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )
A.12
B.4
5
C ．2
D ．9 6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2 (x ≥2)，－2 (x ＜2)，则f (lg20－lg2)＝( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．设函数f (x )＝
4
1－x
，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1(x ≥0)，x 2(x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x 2
(x ≤1)，2(x >1)，
则f (g (3))＝________，g ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝__. 9．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ，x ＞0，
10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.
三、解答题(共15分)
10．(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式；(2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式．
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列函数中，其中是偶函数的是()
A．f(x)＝x＋1
x B．f(x)＝x
3－2x C．f(x)＝
1
x2D．f(x)＝x
4＋x3
2．函数f(x)是偶函数，最小正周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f(11)＝() A．－2 B．2 C．4 D．8
3．若函数f(x)＝
x
(2x＋1)(x－a)
为奇函数，则a＝()
A.1
2 B.
2
3 C.
3
4D．1
4．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝() A．－1 B．1 C．－2 D．3
5．函数y＝x－1
x的图象()
A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称
6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()
A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知f(x)是奇函数，当x＜0时f(x)＝x2＋3x，则f(2)＝________.
8．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.
9．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)
x为奇函数，则a＝________.
三、解答题(共15分)
10．奇函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1＋a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3的减区间是( ) A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，4)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，2)
2．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )
A ．y ＝1－2x
B ．y ＝x －1
C ．y ＝－x 2＋2x
D ．y ＝5 3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2) 4．函数f (x )＝1－1
x 在[3,4)上( )
A ．有最小值无最大值
B ．有最大值无最小值
C ．既有最大值又有最小值
D ．最大值和最小值皆不存在
5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |
6．若函数y ＝ax 与y ＝－b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y ＝1－x 2的值域是____________．
8．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax －3在区间(2,4)单调，则a 的取值范围是____________． 9．函数y ＝x ＋1的单调递增区间为________． 三、解答题(共15分)
10．已知函数f (x )＝1a －1
x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2，求a 的值．
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列运算中，正确的是( )
A ．a 2·a 3＝a 6
B ．(－a 2)3＝(－a 3)2
C ．(a －1)0＝0
D ．(－a 2)3＝－a 6 2．当1<x <3时，化简(x －3)2＋(1－x )2的结果是( ) A ．4－2x B ．2 C ．2x －4 D ．4 3．计算21
2
＋
1
2－1
－(1－5)0的结果是( ) A ．1 B ．2 2 C. 2 D ．2－1
2 4．化简－x 3
x 的结果是( )
A ．－－x B.x C ．－x D.－x 5．下列各式错误的是( )
A ．30.8>30.7
B ．0.50.4>0.50.6
C ．0.75－0.1<0.750.1
D ．(3)1.6>(3)1.4 6．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π
6的值为( ) A ．0 B.3
3 C ．1 D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知a ＝
5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ． 8．函数x x f )3
1
()(=，x ∈[－1,2]的值域为________．
9．指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a
2，则a ＝________. 三、解答题(共15分)
10．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．log 22的值为( )
A ．－ 2 B. 2 C ．－12 D.1
2 2．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若log x 3＝3，则x ＝9；②若log 4x ＝1
2，则x ＝2； ③若
＝0，则x ＝3；④若log 15
x ＝－3，则x ＝125.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．对数式log a －2(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5) 4．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．[2，＋∞)
D ．[3，＋∞) 5．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )
A ．(4，＋∞)
B ．[4，＋∞)
C ．(0,4]
D ．(0,4) 二、填空题(每小题5分，共20分)
6．比较大小：log 0.2π________log 0.23.14(填“<”“>”或“＝”)． 7．函数f (x )＝log a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －12(a ＞0，a ≠1)的定义域是______．
8．设g (x )＝⎩⎨⎧
e x
，x ≤0，ln x ，x ＞0，
则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.
9．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2.则m ＝________. 三、解答题(共15分)
10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是() A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图J2-7-1，则下列结论正确的是()
图J2-7-1
A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0
3．若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是()
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
4．f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)＜0，则a的取值范围是()
A．a≤0 B．a＜－4 C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为() A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题(每小题5分，共20分)
6．若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴是x＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______．7．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2
＝________.
8．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是________．9．函数f(x)＝(k2－3k＋2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是__________．
10．幂函数f(x)＝23
m m
x 的图象关于y轴对称，且在()
0，＋∞递减，则整数m＝______.
三、解答题(共15分)
11．f(x)＝－x2＋ax＋1
2－
a
4在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值．
2.8幂函数
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数是幂函数的是( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝(x ＋1)2
D ．y
2．设α∈⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－1，1，1
2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3 3．下列幂函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2
B ．y ＝x 1
2 C ．y ＝x 13
D ．y ＝x
12
-
4．如图J2-8-1中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±
1
2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－12，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
5．已知点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 6．已知幂函数y ＝x n 的图象如图J2-8-2，则n 可能取的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.1
2
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)2
1m m x --的图象不过原点，则m 的取值是_____．
8．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
18＝________.
9．幂函数f (x )＝2
3m m x -的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.
三、解答题(共15分)
10．已知f (x )＝(m 2＋2m )2
1m m x +-，m 为何值时，f (x )是
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
2.9函数的图象
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知f (x )＝⎩⎨⎧
－x ＋1(x ∈[－1，0))，
x 2＋1(x ∈[0，1])，
则下列函数图象正确的是( )
2．要得到y ＝2·4－
x 的图象，只需将函数y ＝23
－2x
的图象( )
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向左平移1个单位
D ．向右平移1个单位 3．函数f (x )＝4x ＋1
2
x 的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称 4．下列图象中能表示函数y ＝f (x )的是( )
5．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是()
A B C D 6．函数y ＝ln|x －1|的图象大致是( )
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数x
y ⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21的图象关于直线y ＝x 对称的图象的解析式为________．
8．把f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是___． 9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图J2-9-1，则不等式f (x )＜0的解集是________． 三、解答题(共15分)
10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．
2.10函数与方程
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图J2-10-1所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
① ② ③ ④ A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④
2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )
A ．(0,0.5)，f (0.25)
B ．(0.1)，f (0.25)
C ．(0.5,1)，f (0.25)
D ．(0,0.5)，f (0.125) 3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2) 4．方程2x ＝2－x 的解的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点所在的区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1 D ．(1,2) 6．根据上图表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )
A.－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
8．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．
9．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是_________． 三、解答题(共15分)
10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．
2.11抽象函数
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )
2．如果开口向上的二次函数f (t )对任意的t 有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (1)<f (2)<f (4) B ．f (2)<f (1)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 3．已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (x )≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．不确定
4．f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，若f (4)＝256，f (k )＝0.0625，则k 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C.116 D.12
5．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，F (x )＝f (x )＋1，则F (x )的最大值与最小值之和为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能确定
6．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0成中心对称，对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋3
2，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________． 8．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，函数f [log 12
(3－x )]的定义域为________________．
9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1
2对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)
＝______.
三、解答题(共15分)
10．已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2
3.(1)判
断并证明f (x )在R 上的单调性；(2)求f (x )在[－3,3]上的最值．
2.12函数模型及其应用 时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (单位：千米)表示为时间t (单位：小时)的函数，则下列正确的是( )
A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)
B ．x ＝⎩⎨⎧
60t ，0≤t ≤2.5
150，2.5＜t ≤3.5
150－50t ，3.5＜t ≤6.5
C ．x ＝⎩⎨
⎧
60t ，0≤x ≤2.5
150－50t ，t ＞3.5
D ．x ＝⎩⎨⎧
60t ，0≤t ≤2.5
150，2.5＜t ≤3.5
150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5
2．某厂日产手套总成本y (单位：元)与手套日产量x (单位：副)的函数解析式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A ．200副
B ．400副
C ．600副
D ．800副
3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (单位：年)的函数关系图象正确的是( )
A B C D
4．按复利计算利率的储蓄，在银行整存一年，年息8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )
A ．[2(1＋8%)3.5]万元
B ．[2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元
C ．[2(1＋8%)3＋2×2%×5]万元
D ．[2(1＋8%)3＋2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元
5．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1
100e x B ．y ＝100ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝100·2x
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和
L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为__________________．
8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低1 3，
则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．
9．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
三、解答题(共15分)
10．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定购房的职工必须按基本工资的高低缴纳住房公积金，办法如下：
2.13导数的概念及运算 时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )
A.36 B ．0 C.12 x D.32
2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )
A ．x 2e x ＋2x
B ．2x e x
C ．(2x ＋x 2)e x
D ．(x ＋x 2)·e x
3．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为7，则实数a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．±1
D ．－2
4．过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 5．已知函数f (x )＝3x 3－5x ＋1，则f ′(x )是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 6．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15 二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f (x )＝ln x －x 2的导数为____________．
8．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于____________________． 9．曲线y ＝9
x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 三、解答题(共15分)
10．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
2.14导数的应用-单调性、极值、最值
时间：20分钟 分数：60分
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y ＝x 2(x －3)的递减区间是( )
A ．(－∞，0)
B ．(2，＋∞)
C ．(0,2)
D ．(－2,2) 2．函数y ＝x 3－x 2－x ＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )
A.3227
B.2627 C ．0 D ．－3227
3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题(每小题5分，共20分)
6．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，3内可导，其图象如图J2-14-1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，
则不等式f ′(x )≤0的解集为________．
图J2-14-1
7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．
9．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 三、解答题(共15分)
10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .
(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；
(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
2.15导数在生活中的应用
时间：20分钟分数：60分
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝1＋3x－x3有()
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单
位：℃)为f(x)＝1
3x
3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()
A．8 B.20
3C．－1 D．－8
3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()
A．1 B.1
2C．－
1
2D．－1
4．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A.9
4e
2B．2e2 C．e2 D.1
2e
2
5．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()
A．4 B．6 C．4.5 D．8
二、填空题(每小题5分，共20分)
6．若f(x)＝x3，f′(x)＝3，则x0的值为________．
7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
8．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大
面积是________m2.
9．如图已知函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则
f(5)＋f′(5)＝________.
三、解答题(共15分)
10．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
参考答案 2.1
1．D 2.B 3.B 4.C 5.D
6．A 解析：函数y ＝
1
x
的定义域为{x |x ＞0}，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}． 7．(－3,2) 解析：依题意6－x －x 2＞0，得x 2＋x －6＜0.解得－3＜x ＜2.
8．{x |x ＜4且x ≠3} 解析：由⎩⎨⎧ 4－x ＞0，x －3≠0得⎩⎨⎧
x ＜4，
x ≠3.所以函数的定义域为{x |x ＜4，且
x ≠3}．
9．[0,1) 解析：要使g (x )＝f (2x )
x －1有意义，需使⎩⎨⎧
0≤2x ≤2，x －1≠0
成立，解之得0≤x ＜1.
2.2
{x |x ∈R ，x ≠－1，且x ≠－2} 1．B 2.B
3．B 解析：y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1
x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．
4．A
5．C 解析：∵f (0)＝20＋1＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a .又f (f (0))＝4a ，∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.
6．D 7.－1 8.7 31
16
9．－2 解析：由题意，得f (－2)＝10－2＞0，则f (f (－2))＝f (10－2)＝lg10－2＝－2. 10．解：(1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，
∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.
(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1， 即有⎩⎨⎧
2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.
解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x
3＋1.
2.3
1．C 2.B 3.A 4.A 5.A 6.D 7.2
8.13 解析：依题意，得⎩⎨⎧
a －1＝－2a ，
b ＝0.
∴a ＝13，b ＝0.∴a ＋b ＝1
3.
9．－1 解析：∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f (x )＝x 2－1
x 是奇函数，故a ＝－1.
10．解：∵f (x )为奇函数，∴f (1＋a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∵f (x )的定义域为(－1,1)，且是减函数， ∴⎩⎨⎧
－1＜1＋
a ＜1，
－1＜a 2
－1＜1，1＋a ＞a 2－1，
解得－1＜a ＜0.
∴实数a 的取值范围是(－1,0)．
2.4
1．D 2.C 3.D
4．A 解析：注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，故该函数有最小值无最大值．故选A.
5．B 解析：(筛选法)对于A ：y ＝x 3为奇函数，不合题意；对于C ，D ：y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；对于B ：y ＝|x |＋1的图象如图D2，知y ＝|x |＋1符合题意．故选B.
图D2
6．B 解析：∵y ＝ax 与y ＝－b
x 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b
2a ＜0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．
7．[0,1] 8.a ≥－4或a ≤－8
9．[－1，＋∞) 解析：∵x ＋1≥0，∴x ≥－1，∴函数y ＝x ＋1的单调递增区间为[－1，＋∞)．
10．解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.
∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2
x 1x 2
＞0，
∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是在(0，＋∞)上的单调增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，
又由(1)，得f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2上是单调增函数．
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1
2，f (2)＝2，即1a －2＝12，1a －12＝2.解得a ＝25. 2.5
1．D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.m <n
8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－89，2. 9.12或32 解析：当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，∴a 2－a ＝a 2，∴a ＝3
2；当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数，∴a －a 2＝a 2，a ＝12.∴a ＝12或3
2.
10．解：当a >1时，f (x )在[0,2]上递增，
∴⎩⎨⎧ f (0)＝0，f (2)＝2，即⎩⎨⎧ a 0
－1＝0，a 2－1＝2，
∴a ＝±3. 又a >1，∴a ＝ 3.
当0<a <1时，f (x )在[0,2]上递减，
∴⎩⎨⎧
f (0)＝2，f (2)＝0，即⎩
⎨⎧
a 0－1＝2，a 2－1＝0.解得a ∈∅. 综上所述，a ＝ 3.
2.6
1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.< 7.x ＞－1
8.12 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 12＝e 1ln 2＝12.
9.10 解析：由2a ＝m,5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m .则1a ＝log m 2，1b ＝log m 5.∴1a ＋1
b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10.
10．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎨⎧
x ＋1>0，
1－x >0.
解得－1<x <1.
故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．
2.7
1．C 2.D 3.D 4.D
5．C 解析：∵f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，∴当x ＝0时，f (x )取最小值，f (0)＝a ，则a ＝－2，∴f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取最大值1.
6．y ＝1
2x 2－2x ＋1 解析：设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2－1.将点(0,1)代入可得：a ＝12.
7．6 解析：由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 2
2＝
3⇒x 1＋x 2＝6.
8．f (1)≥25 解析：对称轴x ＝m
8≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 9．(1,2)
10．解：f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a
2
4
.
①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 2
4＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意．
②当a 2＞1，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103. ③当a
2＜0，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时，a ＝10
3或－6.
2.8
1．D 2.A 3.C
4．B 解析：方法一：由幂函数的图象与性质，n <0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知n (C 1)>n (C 2)>n (C 3)>n (C 4)．故C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－1
2，－2.
方法二：作直线x ＝2分别交C 1，C 2，C 3，C 4于点A 1，A 2，A 3，A 4，则其对应点的纵坐
标显然为22
，212
，2
12
-
，2－2，故n 值分别为2，12，－1
2，－2.
5．A 解析：设f (x )＝x α
，则⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫ 13－1
＝3，故α＝－1.∴f (x )＝x －1.故f (x )
是奇函数．
6．D
7．1 解析：由⎩⎨⎧
m 2
－3m ＋3＝1，
m 2－m －1＜0，
得m ＝1.
8.24 解析：设f (x )＝x α，则4α
＝2，∴α＝12，即f (x )＝x 12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1812＝24.
9．1或2
10．解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧
m 2
＋m －1＝1，
m 2＋2m ≠0，
解得m ＝1.
所以当m ＝1时，f (x )为正比例函数．
(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧
m 2
＋m －1＝－1，
m 2＋2m ≠0，
解得m ＝－1.
所以当m ＝－1时，f (x )为反比例函数．
(3)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1.所以m ＝－1±2. 所以当m ＝－1±2时，f (x )为幂函数．
2.9
1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.C 7.y ＝log 12
x
8．y ＝(x －1)2＋3 解析：把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y ＝ [(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.
9．(－2,0)∪(2,5) 解析：(数形结合法)利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．
10．解：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋a －14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋a －14，x <0.
当其图象如图D3所示时满足题意．
图D3
由图知，⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >1，a －1
4<1，解得1<a <5
4.
2.10
1．B
2．A 解析：∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0＋0.52＝f (0.25)． 3．B 解析：依题意知，f (－2)＝14－6＜0，f (－1)＝1
2－3＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＞0，f (2)＞0，f (－1)·f (0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．
4．B 5.C 6.C
7．(2,2.5) 解析：∵f (2)<0，f (2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．
8．(－1,0) 解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内， ∴⎩⎨⎧ f (0)<0，
f (1)>0.∴⎩⎨⎧
b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 9．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫15，＋∞
10．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，
依题意，得⎩⎨⎧ m ＞0，f (4)＜0，或⎩⎨⎧ m ＜0，f (4)＞0，即⎩⎨⎧ m ＞0，26m ＋38＜0，或⎩⎨⎧
m ＜0，
26m ＋38＞0.
解得－1913＜m ＜0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1913，0.
2.11
1．D 2.B 3.B 4.B 5.C 6.D 7.(4，－2) 8.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1，114 9.0
10．解：(1)f (x )在R 上是单调递减函数．
证明如下：令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.令－y ＝x 可得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)．
又∵x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)． 由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数．
(2)由(1)知f (x )在[－3,3]上是减函数．∴f (－3)最大，f (3)最小． f (3)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23＝－2.∴f (－3)＝－f (3)＝2.
即f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
2.12
1．D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.3 m 1.5 m 8.2400
9．14 解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为(10＋x )元，销售的个数为100－10x ，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
10．解：当0＜x ＜100时，y ＝x ；
当100≤x ＜200时，y ＝100＋(x －100)(1－5%)＝0.95x ＋5；
当200≤x ＜300时，y ＝100＋100×(1－5%)＋(x －200)(1－10%)＝0.9x ＋15；
当x ≥300时，y ＝100＋100×(1－5%)＋100×(1－10%)＋(x －300)(1－15%)＝0.85x ＋30.
∴y 与x 的关系可用分段函数表示为y ＝⎩⎨⎧
x ，0＜x ＜100，
0.95x ＋5，100≤x ＜200，
0.9x ＋15，200≤x ＜300，
0.85x ＋30，x ≥300.
2.13
1．A 2.C 3.B 4.B 5.B
6．C 解析：y ′＝3x 2，故曲线在点(1,12)处的切线斜率是3.故切线方程为：y －12＝ 3(x －1)，即y ＝3x ＋9，令x ＝0，y ＝9.
7.1x －2x 8.103
9．x ＋y －6＝0 解析：∵y ′＝－9
x 2，∴y ′|x ＝3＝－1.∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)，即x ＋y －6＝0.
10．解：f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k .
(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x . (2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，
则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－6x 0＋2，①
又k ＝y 0x 0
＝x 2
0－3x 0＋2，②
由①②，得x 0＝32，k ＝y 0x 0
＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .
2.14
1．C 2.A 3.D
4．B 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6.
5．D
6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－13，1∪[2,3) 解析：函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上是下降的． 7．2 解析：由题意知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，由f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2，由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．
8.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，＋∞ 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＞0，得x ＞1e ，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞.
9．2
10．解：f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .
(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a
18＝1，所以a ＝9. (2)由Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)＞0， 所以不存在实数a ，使得f (x )是R 上的单调函数．
2.15
1．D
2．C 解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
3．A 4.D
5．A 解析：设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256
x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x .∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8.∴h ＝25682＝4.
6．±1
7．－37 解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为
减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.
8．16解析：设矩形的长为x m，则宽为16－2x
2＝(8－x)m(0＜x＜8)，∴S(x)＝x(8－x)
＝－x2＋8x，∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.
9．2
10．解：设箱底边长为x cm，则箱高h＝60－x
2cm，箱子容积V(x)＝x
2h＝
60x2－x3
2(0＜
x＜60)．
V′(x)＝60x－3
2x
2.令V′(x)＝60x－3
2x
2＝0，
解得x＝0 (不合题意，舍去)，x＝40，并求得V(40)＝16 000.
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.。