平板载荷试验地基竖向附加应力和变形的数值分析和理论计算研究

平板载荷试验地基竖向附加应力和变形的数值分析和理论计算研究
摘要：采用abaqus有限元软件开展了天然地基土平板载荷试验的数值分析，基于布辛奈斯克解进行了均布荷载下竖向附加应力理论计算，研究圆形和正方形
均布荷载下的地基竖向附加应力、竖向变形的分布规律，结果表明：承压板采用
圆形和正方形下的地基竖向附加应力和竖向变形结果十分接近，呈现出应力泡现象；各自的数值分析与理论计算结果也基本吻合，本文所建立的模型可为地基基
础检测、设计等研究提供参考。

关键词：平板载荷试验竖向附加应力竖向变形数值分析理论计算
引言：
（在实际工程中，外荷载（建筑物荷载、车辆荷载、地震荷载等）会给地基
带来一定的应力增量，这个应力增量也就是地基附加应力，也是引起地基变形的
主要原因[1-2]。

当前，计算地基附加应力都是基于法国科学家布辛奈斯克（Boussinesq J）采用弹性理论计算出半无限空间弹性体表面上作用竖向集中力F，在弹性体内任意一点M的竖向应力解析解的基础上推导而来。

地基承载力是
土力学的一个重要研究问题，同时也是设计时的一个重要参数。

平板载荷试验是
常用的一种地基承载力的原位测试方法，它是指通过在一定尺寸的刚性承压板上，分级施加竖向垂直荷载，测定承压板下的地基土在各级荷载作用下的变形，从而
根据荷载-变形曲线确定出地基土的承载力。

学者们提出了附加应力与基础底面
的荷载分布、所求点的空间位置等有关，但目前的研究中，相应的有限元模拟较少，同时与理论计算的结果对比较少，本文将采用abaqus有限元软件模拟天然
土地基平板载荷试验受到圆形和方形均布荷载作用[3]，研究其竖向附加应力及竖
向变形分布规律，并验证了模型的正确性，加深了对竖向附加应力的理解，为类
似的地基设计、检测研究等提供借鉴。

1竖向附加应力和竖向变形的数值分析：
地基基础工程检测相关的规范[4]提到平板载荷试验中，承压板可采用圆形、正方形、矩形钢板或钢筋混凝土板，为比较同一尺寸不同形状的效果，本文对使用广泛的圆形和正方形板进行模拟分析。

由于模型具有对称性，故建立了10×10×10m的四分之一模型。

我们按弹性理论假定地基土为均质、各向同性的线弹性体，土体弹性模量为10000kPa，泊松比为0.25。

根据广东省标准《DBJ/T 15-60-2019》规定[4]，承压板面积不应小于0.5m2，当地基设计承载力特征值小于100kPa时不小于1m2。

本文建立三维模型，模型加载区域是边长0.3535m的正方形和半径为0.399m的四分之一的圆。

底面的边界条件施加了3个方向的位移为0，同时对称面和侧面的法线方向的位移也设置为0。

均布荷载为200kPa，不考虑重力。

为了保证计算更加准确，在加载区域附近的地基进行局部加密。

得到圆形板和正方形板平板载荷试验下各自的竖向附加应力如图1和图2所示（单位：kPa）：
图1 圆形板竖向附加应力云图
图2 正方形板竖向附加应力云图
图3 板中心点以下地基竖向附加应力对比
从图1、图2可以看出，正方形板下的地基土最大竖向附加应力值为
222.5kPa，圆形板下的地基土最大竖向附加应力为224.8kPa，两者非常接近，同时，其余的竖向应力分布也大致一样，将空间相同的点的竖向应力连接成曲面，其形状如同泡状，称为应力泡，离加载区域越近，应力越大，水平和竖向逐渐远离加载区域的附加应力越来越小，即向下、向四周扩散开，具有几乎一致的影响范围。

板中心点以下的地基竖向附加应力沿深度的分布对比如图3所示，竖向应力0.1P的位置约在深度1.45m处，约为完整的正方形承压板的2倍，圆板直径的1.8倍。

从受力角度来说，圆形板更加符合布辛纳斯克理论公式，故优先使用圆形板。

观察同一深度处的附加应力，发现圆形板下的应力大于正方形板下的应力。

圆形板下和正方形板中心点下地基的附加变形如图4和图5所示（单位为m），可以看出变形分布也呈现向下、向四周扩散减小的特点，将二者的变形数据进行对比，如图6所示，可以发现也高度吻合。

不同之处是附加应力在荷载施加的板的边缘处共节点弧形泡散开，变形以不共点的弧形泡逐渐散开，水平影响宽度均达到1.8m。

在实际的平板载荷试验中，由于在试验前需进行配重堆载，支墩处对地基也会产生矩形均布荷载，其在试验过程中处于卸载状态，会对基准系统和地基检测点产生应力和位移的变化，因此，为了消除掉影响，规范规定了压重平台支墩、基准桩、承压板相互之间的间距[4]。

除了间距应大于承压板边宽或直径、支墩宽度相应倍数，规范[4]还规定了至少满足2m的距离，与本文研究数据比较接近。

图4 圆形板以下地基竖向变形云图
图5 正方形板以下地基竖向变形云图
图6 板中心点以下地基变形对比
2竖向附加应力的理论计算：
2.1矩形板均布荷载附加应力计算
矩形板受竖直均布荷载时，其板内和板外的下方任意深度为z的点M的应力公式是采用叠加原理基于角点下的应力计算公式计算，如图7所示一共分为2种情况，将板下区域通过M点分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个小矩形[5]。

（a）M点在板内以下（b） M点在板外以下
图7 使用角点法计算M点附加应力
M点下任一个深度z处的附加应力，第一种情况，M点在板内，如图7（a）所示，矩形板内的附加应力如式1所示：
1
）
另外一种情况是，如图7（b）所示，受均布荷载p作用的矩形板外任意一点
M的附加应力计算公式如式2所示：
2
）
式1和式2中，、、、分别是各小矩形Mhbe、Mfce、Mhag、
Mfdg的角点应力分布系数，p为均布荷载，但是必须注意的是，在使用上式在计
算每一块小矩形面积的Ks时，b始终为短边，l始终为长边。

例如，运用矩形板内的附加应力公式，计算矩形板中心点下深度0.3535m处
的竖向附加应力：，
查表3-5 [5]，可以得0.1752，所以，理论解与数值解141.67kPa很接近。

继续计算表3-5[5]中，当m=1.0时，从n=0.2至n=2.0其他10个点的理论解，与前文模拟得到的沿中心点以下10m提取到的数值解进行对比，如图8所示，可以看出曲线高度吻合，说明数值解结果可信。

图8 正方形板中心点以下地基附加应力数值解与理论解对比
2.2圆形板均布荷载中心点附加应力计算
在实际运用中，圆形均布荷载分布情况也较多，因此计算圆形分布荷载作用下附加应力十分有必要[6]。

地表圆形面积上作用均布荷载P时，圆心点处下方任意深度z处M点的竖向附加应力仍是基于布辛内斯克解，在圆面积上积分。

实际
计算时只需根据查表得到，K0为圆心点下的竖直应力分布系数，再由公式求得[5]。

下面以板中心点下为例，K0为0.9，因而理论解为180kPa，由前文模拟得其数值结果为180.33kPa，结果非常接近。

继续求得表3-14[5]中其他8个点的理论解，与前文得到的一系列数值解对比如图9所示，结果显示曲线高度吻合。

图9 圆板中心点以下地基附加应力数值解与理论解对比
3结语
（1）从本文均布载荷200kPa数值模拟结果来看，对于圆板和正方形板，竖
向应力0.1P的位置均在深度1.45m处，即地基主要影响深度，为圆形板直径的
1.8倍，正方形板的影响深度为2倍的边长。

圆形和正方形分布荷载的水平影响
距离均约为1.8m。

（2）虽然影响范围和附加应力分布以及变形相差不大，都呈现出应力泡现象，但圆形板分布荷载更符合平板载荷试验的受力规律，建议优先使用。

（3）对于圆形和正方形均布荷载，各自的基于布辛内斯克理论计算的附加
应力结果和数值解基本吻合，说明数值解结果可信，模型建立正确，为类似模型
分析研究和附加应力计算提供借鉴。

参考文献
[1] 赵明华．土力学与基础工程［M］．武汉: 武汉理工大学出版社，2010．
[2] 赵成刚，白冰，王运霞．土力学原理［M］．北京: 清华大学出版社，2004．
[3] 费康，彭劼.ABAQUS岩土工程实例详解[M].北京：人民邮电出版社，2020.
[4] DBJ/T 15-60-2019，建筑地基基础检测规范[S].广东:中国城市出版社，2019.
[5] 李广信，张丙印，于玉贞.土力学第2版 [M].北京：清华大学出版
社,2021.
[6] 雷胜友，惠会清．三角形分布垂直荷载下条形基础地基附加应力公式的
拓展［J］.路基工程，2012( 4) : 8-11．。